高中数学 第一节 绝对值不等式

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绝对值不等式
结 束
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5． 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}， f(x)<－1
ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔______________________
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[小题体验]
1． 若不等式|kx－4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ， 则实数 k＝________．

3 3 综上知，原不等式的解集为x|－2≤x≤2 ．
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1 1 法二：原不等式可化为x－2＋x＋2≤3，
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1 1 其几何意义为数轴上到 ， － 两点的距离之和不超过 3 的点的集 2 2 3 3 1 1 合，数形结合知，当 x＝ 或 x＝－ 时，到 ，－ 两点的距离之 2 2 2 2 3 3 和恰好为 3，故当－ ≤x≤ 时，满足题意，则原不等式的解集 2 2
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 ，∴k＝2． 答案：2

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2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8
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考点一
绝对值不等式的解法
[题组练透]
1．不等式|2x－1|＞3 的解集为________．
解析：由|2x－1|＞3 得， 2x－1＜－3 或 2x－1＞3，即 x＜－1 或 x＞2． 答案：{x|x＜－1 或 x＞2}
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3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是________．
－3，x≤－1， 解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1<x<2， 3，x≥2. 当－1<x<2 时，由 2x－1≥1，解得 1≤x<2． 又当 x≥2 时，f(x)＝3>1 恒成立． 所以不等式的解集为 x|x≥1 ． 答案： x|x≥1
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选修 4－5
不等式选讲
第一节
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1．绝对值三角不等式
|a|＋|b| ，当且仅 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤_______ ab≥0 时，等号成立． 当_______
|a－c|≤|a－b|＋|b－c| ， 定理 2： 如果 a， b， c 是实数， 那么____________________
(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． 当且仅当________________
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2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
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2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值 范围是________．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4． 答案：[－2,4]
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1．对形如|f(x)|>a 或|f(x)|<a 型的不等式求其解集时，易忽视 a 的符号直接等价转化造成失误． 2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的 条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≤0 时等号成立，其 他类似推导．
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2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6．
1 1 3 解： 法一： 当 x> 时， 原不等式转化为 4x≤6⇒ <x≤ ； 2 2 2 1 1 当－ ≤x≤ 时，原不等式转化为 2≤6，恒成立； 2 2 1 3 1 当 x<－ 时， 原不等式转化为－4x≤6⇒－ ≤x<－ ． 2 2 2
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[小题纠偏]
1．设 a，b 为满足 ab<0 的实数，那么 A．|a＋b|>|a－b| C．|a－b|＜||a|－|b|| B．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<|a|＋|b| ( )
解析：∵ab<0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|． 答案：B
3 3 为x|－2≤x≤2 ．
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3．(2016· 全国乙卷)已知函数 f(x)＝|x＋ 1|－|2x－3|． (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1 的解集．
结 束
x－4，x≤－1， 3x－2，－1<x≤3， 2 解：(1)由题意得 f(x)＝ 3 －x＋4，x> ， 2 故 y＝f(x)的图象如图所示．
不等式 |x|<a |x|>a

结 束
a>0

a＝0


a<0
x|－a<x<a
∅
x|x∈R且x≠0

∅
x|x>a或x<－a
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： －c≤ax＋b≤c ； ①|ax＋b|≤c⇔______________