1.6 事件的独立性

是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.
容易知道, 若P ( A) 0 , P ( B ) 0 ,则A, B相互
独立与A, B互不相容不能同时成立 .
3.定理
设有四对事件 A与B， A与B , A 与B , A 与B ,
如果其中有一对事件独立，则其余三对事件也独立. 证
ห้องสมุดไป่ตู้
若事件A与B相互独立 , 画图 因为 A A( B B ) AB AB 于是 P ( A) P ( AB AB ) P ( AB) P ( AB )
作”,以 A 表示事件“系统正常工作” . 系统由两条线路I和II组成. 当且仅当至少有一 条线路中两个元件均正常工作时, 系统才正常工作, 故有
A A1 A2 A3 A4 .
由事件的独立性, 得系统的可靠性
P ( A) P ( A1 A2 ) P ( A3 A4 ) P ( A1 A2 A3 A4 )
第六节
事件的独立性 一、两个事件的独立性 二、多个事件的独立性 三、小结
4/9/2016
实例 可靠性问题
一、两个事件的独立性
1.引例
盒中有5个球 ( 3绿 2红 ) , 每次取出一个 , 有放回 地取两次 .记 A 第一次抽取 , 取到绿球 , B 第二次抽取 , 取到绿球 ,
则有
P ( B A) P ( B) ,
P ( A) P ( B ) P ( AB )
P ( AB ) P ( A)[1 P ( B )] P ( A) P ( B )
因此A与B 相互独立 .
重要结论
两个事件独立，则一个与另一个逆事件独立。 由此可得
A与B独立 A 与B独立 A 与B 独立
思考
两事件相互独立与两事件互斥的关系.
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 . P ( B A) P ( B)

P ( AB ) P ( A) P ( B )
2.定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B )
则称事件 A, B 相互独立 ,简称 A, B 独立 .
说明 事件 A 与 事件 B 相互独立,
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立
例3 设试验E为“抛甲,乙两枚硬币 , 观察正反面 设事件A为“甲币出现H ” , 事件B 出现的情况”.
为“ 乙币出现H ” . E的样本空间为
S { HH , HT , TH , TT } .
2 1 2 1 1 1 P ( A) , P ( B ) , P ( B A) , P ( AB ) . 4 2 4 2 4 2 所以P ( B A) P ( B) , P ( AB ) P ( A) P ( B )
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB
例1
B
AB
A
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
则 P ( AB) P ( A) P ( B ) .
由此可见两事件独立则不互斥.
1 1 若 P ( A) , P ( B ) 2 2
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
三、小结
1. A, B 两事件独立 P ( AB) P ( A) P ( B)
2. 重要结论 A, B 相互独立 A 与 B, A 与 B , A 与 B相互独立 .
则 P ( AB) 0 ,
1 P ( A) P ( B ) , 4
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B ) .
由此可见两事件互斥但不独立.
例2
设P A 0，PB 1,
且A B .则A与B不独立.
证
P AB P A P APB
A与B不独立 .
由题意, 甲币是否出现正面与乙币是否出现 正面是互不影响的.
例4 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件 (或系统)的可靠性. 如下图, 设有4个独立工作的元 件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接. 设第i个元件
的可靠性为pi (i 1,2,3,4), 试求系统的可靠性.
1 2
4
3
解 以 Ai (i 1,2,3,4) 表示事件“第 i 个元件正常工
A, B , C 三个事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , P ( BC ) P ( B ) P (C ) , P ( AC ) P ( A) P (C ) , P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ) .
注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立

推广
设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件 , 如果对于任意
k (1 k n) , 任意 1 i1 i2 ik n , 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ) ,
学生练习
证明 概率为0或概率为 1的事件A与任一事件B独立.
二、多个事件的独立性
1.定义
设A, B, C是三个事件 , 如果满足不等式
P AB P AP B 两两独立 P BC P B P C P AC P AP C P ABC P AP B P C 则称事件 A, B, C相互独立 .