九年级数学 反比例函数的专项 培优练习题含答案解析

九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案解析
一、反比例函数
1．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）
（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．
【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，
∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；
（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；
（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，
∴OE= OA= ，点D（，2），
∴点B（3，4），
又∵点F在正比例函数y= x图象上，
∴F（，），
∴DF= 、BC=3、EA= ，
∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.
2．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．
【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，
将x= ，y= 代入解析式可得：
k=2；
（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
在△CFB和△AOB中，
，
∴△CFB≌△AOB（AAS），
同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，
∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，
设A（a，0），B（0，b），
则D（a+b，a）C（b，a+b），
可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，
解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．
【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.
3．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
所以双曲线的解析式为y=﹣．
设点B的坐标为（m，﹣m）．
∵点B在双曲线上，
∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．
∵点B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，﹣2）．
将点A、B、C的坐标代入得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．
（2）解：如图1，连接AC、BC．
令y=0，则x2﹣3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∵点D是直线AB与x轴的交点，
∴D（1，0），
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；
（3）解：存在，理由：如图2，
由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，
∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），
∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，
而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴平移后点A（﹣，），B（，），
∴点A关于y轴的对称点A'（，），
连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，
由对称性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，
∵B（，），A'（，），
∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，
∴P（0，﹣）．
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.
4．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接
AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= = = ．
思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设
α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =
= ．
思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四…
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：方法一：如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tan∠DAC=tan75°= = = = ；
方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =
（2）解：如图2，
在Rt△ABC中，AB= = = ，sin∠BAC= ，即
∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，∴DB=AB•tan∠DAB= •（）= ，∴DC=DB﹣BC= = ．
答：这座电视塔CD的高度为（）米
（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C 作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．
解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣2，
﹣2）．对于，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，∴tan∠ACF= ，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan
（45°+∠ACF）= = =3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），
则有：，
解得：或，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）；
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．
由①可知∠ACP=45°，P（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴．∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，∴，∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为
．联立：，消去y，得：，整理得：，∵△= ，∴方程没有实数根，∴点P 不存在．
综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或
（，3）．
【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°，tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°，从而得到∠DAB=75°，在Rt△ABD中，可求出DB，DC=DB﹣BC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△<0 点P不存在.
5．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），
∵F为AB的中点，∴F（6，2），
又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，
∴该函数的解析式为y= （x＞0）
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），
∴，
=
=
=
= ，
∴当k=12时，S有最大值．S最大=3
【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=
，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）平行
（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，
∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将x= 带入y=k1x得y= ，
故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），
又∵OA=OB，
∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，
整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，
∵k1≠k2，
所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；
（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，
∴a= = = ，
∴a﹣b= ﹣ = = ，
∵x2＞x1＞0，
∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，
∴＞0，
∴a﹣b＞0，
∴a＞b．
【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
故答案为：平行；
【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．
7．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面
积．
【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y1=x+5
（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，
∴2= ，解得x=3，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5=2，
解得x=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，
点A到CD的距离为6﹣2=4，
联立，
解得（舍去），，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，
S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．
【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．
8．已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

（1）求出A，C两点的坐标；
（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；
（3）在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）解：
在一次函数y=− x−12中，当x=0时，y=−12；
当y=0时,x=−16,即A(−16,0),C(0,−12)
（2）解：过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。

则OC2=OA⋅OB,此时OB=9,可求得B(9,0)；
此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y= x2+ x−12
（3）解：当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB；则有：
= ,即 = ，
解得m= .
当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；有：
= ,即 = ，
解得m= .
【解析】【分析】（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.
9．已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2．
（1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？
（2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明；
（3）当时，求的取值范围
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（0，0）和（2，0），
所以抛物线的解析式为与
当时，
所以点（3,3）在此抛物线上 .
（2）解：抛物线的顶点为，则对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，
可得抛物线与轴的两个交点为（，，0）和（，0）
所以抛物线的解析式为与
由得
所以；
（3）解：由（2）知即整理得
由对称轴为直线，且二次项系数
可知当时，b的随a的增大而增大
当a=10时，得
当a=20时，得
所以当时，
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线，再得出与x 轴的两交点坐标为（，0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点
式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.
10．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB ＝4；
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3
（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP
（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝
，
∵S△ABD＝AB•DN＝AD•DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，
∵△AMN∽△ABP，∴，即
当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），
或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），
S△ABP＝PB•AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），
∴，
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ ，k2＝2﹣
当点P在B点下方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）
∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，
综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于
【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA 证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一元二次方程.
11．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.
（1）求线段AB的长度；
（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.
①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；
②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x 轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：当x=0时，y=4，
∴A（0，4），
∴OA=4，
当y=0时，- x+4=0，
x=3，
∴B（3，0），
∴OB=3，
由勾股定理得：AB=5
（2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，
tan∠OAB= ，
∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，
∴M（3x，-4x+4），
由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠EAM+∠HAN=90°，
∵∠EAM+∠AME=90°，
∴∠HAN=∠AME，
∵∠AHN=∠AEM=90°，
∴△AHN≌△MEA，
∴AH=EM=3x，
∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴，∴NG=OH，
则5x=3x+4，
2x=4，
x=2，
∴M（6，-4）；
②如图2，由①知N（8，10），
∵AN=DN，A（0，4），
∴D（16，16），
设直线DM：y=kx+b，
把D（16，16）和M（6，-4）代入得：
，
解得：，
∴直线DM的解析式为：y=2x-16，
∵直线DM交x轴于E，
∴当y=0时，2x-16=0，
x=8，
∴E（8，0），
由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），∴E与切点G重合，
∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，
∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：
i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE，
∵∠QNA=∠DNF，
∴∠NFD=∠QAN=90°，
∵AO∥NE，
∴△ACO∽△NCE，
∴，
∴，
∴CO= ，
连接BN，
∴AB=BE=5，
∵∠BAN=∠BEN=90°，
∴∠ANB=∠ENB，
∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵∠CNE=∠NDE+∠NED，
∴∠ANB=∠NDE，
∴BN∥DE，
Rt△ABN中，BN= ，
sin∠ANB=∠NDE= ，
∴，
∴NF=2 ，
∴DF=4 ，
∵∠QNA=∠DNF，
∴tan∠QNA=tan∠DNF= ，
∴，
∴AQ=20，
∵tan∠QAH=tan∠OAB= ，
设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，
∴5x=20，
x=4，
∴QH=3x=12，AH=16，
∴Q（-12，20），
同理易得：直线NQ的解析式：y=- x+14，
∴P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，
∴∠APN=∠CDE，
∵∠ANB=∠CDE，
∵AP∥NG，
∴∠APN=∠PNE，
∴∠APN=∠PNE=∠ANB，
∴B与Q重合，
∴AN=AP=10，
∴OP=AP-OA=10-4=6，
∴P（0，-6）；
综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB
的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB= ，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；
②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，
顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：
i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO= ，根据三角函数得：
tan∠QNA=tan∠DNF= ，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB= ，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.
12．如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB≌△POC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3
∴B（3，0）．
∵A（1，4）为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）解：存在．
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3）．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC．
作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM＝∠PON＝45°．
∴PM＝PN．
设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝．
∵点P在第三象限，
∴P（，）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先确定出点C坐标，然后根据△POB≌△POC建立方程，求解即可。