高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012

第一章 行列式
1. 习题1.4（2）第2题 计算行列式。

1
49
16491625916253616
253649⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2. 习题1.5第4（2）题 计算行列式中所有元素的代素余子式之和。

1210
0...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
0,1,2, (i)
i n a
≠=
解：
3. 习题1.6第1（3）题 计算行列式：
1
101231211232
1023
21⎡⎤
-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
第6题 计算2n 阶行列式
a
b
a b b a b a 0
000
000
解:
得
列列加到第第，
列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-
D ＝
a
b
a a
b a a b a b b a b b a b b a 000
00000000000000000000
++++++ 行）
行减第，第行
行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-
b a b a b a b b
a b
b a b b a ---+++0
00
000000
00000000
000000
＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+
4. 复习题 1
第4题 计算行列式
n
n 2
22
2
2
122222
3
222222222221
-----------
解: 原式
2
4
44
00
01440000
6400000500222222222221)
2()()2()4()
2()3(++------------n n n
=
24
44
4
01
44400
7440006
4
000052221++⋅-n n
=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41
+n
第 6 题 计算行列式
1
2121231212321
----n n n n n n
解：1212123
1
212
321
----n n n n n n
行）
行减第第，
行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝
1
2
211
11
1
11
1
11111111
11111
--n n n －－－－－－－－－－ （第
n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）
＝1311
1
0000120
001220012220 -+n n
n （对第1列展开）
＝阶
)1(11000
12000122001222012222)
1()1(-++-n n n ＝
21
2)1(1-++n n n ）（－
第 7 题 计算行列式
01
21
1...
110...01...0.........
(10)
n a a
a a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
(1
...0n
a a
≠)
第二章 线性方程组
1. 习题
2.1 第 1 （4） 题
1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïï
ï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî
5656
16156156
56115656
156156156
15
15
15
5616565656551566566156191563015151515155616565616
19563065114150515150565191145
665
D 解：方程组的系数行列式
对第行展开
=
-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。

116562625615625621566
156********
15
4
15
4155616
562651566
566215662561515154155626
56171566
36256
15
154
15
26
5616561756636011615
0515********
3017315
D --=
=
-----骣÷ç÷ç÷ç÷=-----ç÷ç÷ç÷ç÷-桫
=-+--骣÷ç÷=--+ç÷ç÷ç桫=- ＋116621357919
5107223
665
´=?-?-
由此求得 D
D x 1
1=
=-1, 代入第1个方程, 求得 12=x . 再由第2个方程求得 13-=x ,由第3个方程求得 14=x , 由第5个方程求得 15-=x .
2.习题 2.2(1) 解下列线性方程组
(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+-=+--=++-=++-4
33323523336232432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换:
A =
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------413133211362312100
21))2(),1((41313321131002162312)1()2(41313321135233362312⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→-7135
08233010210100
21))2(),3(()3(217135020420823301002171350621508233010021)2()3(⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⨯--1340
09810010210100
2113400112900102101002112113001129001021010021)4(2)3()3()4(⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⨯-⨯-11000101001021010021110009810010210100213535000981001021010021)4(8)3()4(351⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⨯+⨯+1100010100100101000111000101001001010021)2(2)1()3(2)2( 由这个约化梯阵,可得解: )1,1,1,1(),,,(4321=x x x x
3.习题 2.5(2) 第 3 题
12s 12s 12s 12s 121122s 121122s 1,,...,,,...,,,,...,,,...,,,,...,,...0,0,0,,..., 0
s s s s k k k k k k k k k k k k k k k k 证明：如果线性无关，而线性相关，则可以由线性表出，并且表法唯一。

证：因线性相关，故有不全为0的数使
而且其中否则，若，
则不全为0，且使
这与a a a a a a b b a a a a a a b a a a b a a a a ++++=?+++=()2s 1122s 12s ,,...,01
...,,...,s k k k k k
线性无关相矛盾，所以。

于是即可由线性表出。

a a
b a a a b a a a ¹=-+++
现证明 β 由 s ααα,,,21 线性表出的表法唯一： 用反证法。

设表法不唯一，则β可有两种不同的表达式
s s l l l αααβ+++= 2211 及 s s m m m αααβ+++= 2211 ， 将两式相减，得 0)()()(222111=-++-+-s s s m l m l m l ααα ， 但 s ααα,,,21 线性无关，则 0,,0,02211=-=-=-s s m l m l m l , 即1122,,,s s l m l m l m === 。

所以，β 由 s ααα,,,21 线性表出的表法唯一。

第 5 题：s ααα,,,21 是一组向量，假设 （1）a1 ≠ 0;
(2) 每个
i
a
（i =2,3….s ）都不能被
1
2
1
...
n a a
a
-线性表出，求证：s ααα,,,21 线性无关.
证明：反证法：假设他们线性相关，则存在一组不全为0的数x1,x2,……,x s 得
x1a1+x2a2+……+x sas = 0
从这s 数的右边数第一个不为0的数记为xk 。

（下标最大的不为0的数） 则x(k+1),x(k+2),……,x s 是0.
所以x1a1+x2a2+……+x sas=0 消去后面几个=0的项 变成x1a1+x2a2+……+xkak=0 因为xk 不等于0所以
ak=-(x1a1+x2a2+……+x(k -1)a(k-1))/xk
这与每个ai 不是看它前面i-1个向量的线性组合矛盾。

所以假设不成立 即他们线性无关
4.习题 2.5(3) 第 4题
12121212s 12s 12s 12s 12s 12s 12s 4,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,r r r i i i i i i i i i r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 、设的秩为，且是中的个向量，使得中的每个向量都可被它们线性表出。

证明：是的一个极大线性无关组。

证：因是的部分组，当然可以由线性
表出。

又知{}{}12121212121212s 12s 12s ,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,,...,,,...,,,...,r r r r r r i i i i i i i i i i i i i i i i i i r r r r
r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==中每个向量都可由线性表出。

故与等价，所以它们有相同的秩：
由此可知，向量组的秩等于它所含的向量个数所以，线性无关。

由于线性无关，而且中12s ,,...,a a a 每个向量都可由它们线性表出，按定义，它们是中的一个极大线性无关组。

6. 已知a1,a2...at 与a1,a2...at,at+1…as 有相同秩,试证明a1,a2...at ，与a1,a2...at,at+1…as 等
价
证明：因为a1,a2...at 与a1,a2...at,at+1…as 有相同秩，所以a1,a2...at,at+1…as 能用a1,a2...at
线性表示。

因此向量组a1,a2...at 与a1,a2...at,at+1…as 能相互线性表示，所以两者等价。

5.习题2.7（1）
第 3 题 l 取何值时，下述齐次线性方程组
123123123(2)320(8)20214(3)0x x x x x x x x x l l l ì---=ïïïï-+--=íïïï+++=ïî有非零解，并且求出它的一般解。

222
3323232182182
2
1431
143
3
2
0832218218210
31
3
1
8322(1)(3)3
1
13D 解：此齐次方程组有个未知量，个方程，它有非零解的充要条件是
系数行列式等于0。

现计算其系数行列式
①-③
③+①①-②（对第列展开）③+②当或时，齐次l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l -----=
-----+--+---+------+-+--+--=-=--+-==123123123132132072021440132132132102
172040010010214408000000020
0x x x x x x x x x x x x 方程组有非零解。

时，齐次方程组为
系数矩阵
同解方程组为：l =ì---=ïïïï---=íïïï++=ïî轾轾轾轾---------犏犏犏犏犏犏犏犏---? 犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌臌
臌
ì+=ïïí
ï=î13322()
x x x x 一般解为为自由未知量ïì=-ïïíï=ïî
12312312313
233320*********
10213213213211520840210122146020100000001212x x x x x x x x x x x x x 时，齐次方程组为
系数矩阵
一般解为l =ì--=ïïïï---=íïïï++=ïî轾犏-犏轾轾轾------犏
犏犏犏犏
犏犏犏---?- 犏
犏犏犏犏
犏犏犏犏臌臌臌犏犏臌
ì=í
=-3()
x 为自由未知量ïïïïïïïïïî
6.习题2.7（2） 第一题 （2）题
求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系表出方程组的全部解
（2）1234512345
12345123452020
333340455570
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪-++-=⎪⎨
+--+=⎪⎪+--+=⎩ 解：对齐次方程组的系数矩阵进行初等行变换：
(4)2(1)(3)(1)(2)2111121111111121111233334033354555703335A -⨯------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
----⎢
⎥⎢⎥=−−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ (1)2(2)
((1),(2))(4)(3)(3)(2)0333511112111120333503335000000000000000-⨯------⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢
⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 同解方程组 123452
34520
33350x x x x x x x x x -++-=⎧⎨--+=⎩
一般解：15234513
53x x x x x x
⎧
=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
（ 345,,x x x 为自由未知量 ）
取 345(,,)(1,0,0)x x x = 得 1(0,1,1,0,0)η= 取 345(,,)(0,1,0)x x x = 得 2(0,1,0,1,0)η= 取 345(,,)(0,0,1)x x x = 得 3(1,5,0,0,3)η=-
123,,ηηη 是齐次方程组的基础解系 。

齐次方程组的全部解为 112233k k k ηηη++ （ 123,,k k k P ∀∈ ）
7.习题2.7（3） 第 2 题
8.复习题 2 第1 （1）题
1. 用基础解系表示出下列方程组的全部解
（1）1234512345
12345123452321236222223517105
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩
解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换
12
1
3
2
112132
121113603177411222201154
12
35171050171163A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥⎢
⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥-----⎣⎦⎣⎦
((2),(3))
12132112132
101154101154103177400485101711630081610
2--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥⎢
⎥−−−→→⎢⎥⎢⎥-----⎢
⎥⎢
⎥-----⎣⎦⎣⎦
→ 12132101154100485100000
0-⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥--⎢
⎥⎣⎦
于是 ()()3r A r A == ，()532n r A -=-= ，则方程组的导出组的基础解系 有两个独立解。

原方程组的同解方程组：
12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪
-++-=⎨⎪--+=⎩
一般解为：1452453
451594451134415244x x x x x x x x x ⎧
=-+⎪⎪
⎪
=-+-⎨⎪
⎪=--+⎪⎩ （ 45,x x 为自由未知量）
取 450,0x x == ，得非齐次线性方程组的特解 ： 01551
(,,,0,0)444
γ=--
导出组的一般解为 1
452453
4594
1134524x x x x x x x x x ⎧
=-+⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪
=-+⎪⎩
取 45(,)x x 分别为 （1，0） ，（0，1） 得导出组的基础解系 ：
12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- 故方程组的全部解 01122k k γγηη=++ 12(,)k k P ∀∈
第2(1)题
第 10 题
1212121212121212,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,;,,...,,,...,r r s t s t s i i i t j j j r αααβββαααβββααααααββββββ已知两向量组有相同的秩，并且其中之一可以由另一组线性表出，
试证明：这两个向量组等价。

证：设两个向量组与有相同的秩，且
可由线性表出。

取的极大线性无关组取的极大线性无关组。

12121
2
1
2
12121212121212,,...,,,...,,,...,,,...,
,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,(1r r
r
r
r s i i i t j j j s t i i i j j j j j j t t l ααααααββββββαααβββαααβββββββββββββ因与等价，与等价。

由题设可由线性表出，则
可由线性表出。

由于是的一个极大线性无关组，在
中任取一个向量1
2
121212
121212),,...,,,...,,,...,1,1,,,...,0,,...,, 0
0(0r
r r r r l j j j
i i i l j j j i i i l r i i r i l l t r r r r k k k k k k k k k k ββββαααββββαααβαααβ≤≤++>++++=≠=，则可由线性表出。

于是，向量组,可由线性 表出,但前者的向量个数为，后者的向量个数为故,线性相关，从有不全为的数使
而且否则，若，则有不全()
12121212121212121212120,,...,...0,,,...,)1
...,,...,,,...,,,...,,,...,,,...,r r r r r r i i r i i i i l i i r i t l i i i t i i i s k k k k k k k k k k
ααααααβαααββββαααβββαααααα+++==-
+++为的数使这与线性无关相矛盾。

于是得
即中任意一个向量都可由线性表出。

利用等价关系可知，可由与等价的向量组
线1212,,...,,,...,s t αααβββ性表出。

所以与等价。

第三章
矩阵
习题3.2 第 2 题 第6题
设 A ，B 都是 n 阶矩阵，试证：如果 AB ＝0，那么 n B r A r ≤+)()( 。

证：设n 阶矩阵A,B 的秩分别为 )(),(B r A r ，并记 r A r =)( 。

设B 的列向量组为
n B B B ,,,21 ，则有 0),,,(),,,(2121===n n AB AB AB B B B A AB ，即
0=i AB （n i ,,2,1 =）
故B 的任何一个列向量i B （n i ,,2,1 =）都是齐次方程组 0=AX 的解，都可由齐次方程组
0=AX 的基础解系r n -ηηη,,,21 线性表出，于是 {})(,,,)(21A r n r n B B B r B r n -=-≤= 由此得 n B r A r ≤+)()( 。

习题3.3 第6（4）题
习题3.4 第5（1）题 求下列矩阵A 的逆矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=234135712
A 解: 因 2
1
7
531210432
A =-=-≠-- ，则 A 可逆 。

为求A 的逆矩阵,考虑
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+100234110101001712
100234010135001712)
3()2(AE
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⨯+10216100017121101011021610110101001712))
2(),1(()1(2)3(
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−+⨯-123210022151011
01011021610221510110101)
2()3()1(2)2(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
-----⨯--⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⨯211212711002137213272
0102122212371001)3(5)2()3()1(21121271100221
51011010121
1)3( 故 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-----=-2112127
121372132722122212371
1
A
习题 3.5 第 9 题
求与向量组(1,0,1,1) ,(1,1,1,-1) ,(1,2,3,1)等价的正交单位向量组. 解: 记 )1,1,0,1(1=α,)1,1,1,1(2-=α ,)1,3,2,1(3=α ,分别取它们的前3个分量,得
)1,0,1('1=α,)1,1,1('2=α,)3,2,1('
3=α.由于
023
211111
01≠=,故 '
3'
2'
1,,ααα线性无关. 每个向量再加一个分量,它们仍线性无关,故
321,,ααα线性无关.下面用Schmidt 正交化方法,求与321,,ααα等价的正交单位向量组. 正交化--- 令11αβ=
)3
4
,32,1,32()1,1,0,1(31)1,1,1,1(),(),(1111222-=--=-=ββββααβ
222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--
==(11
6
,118,1112,1114-)
再把321,,βββ单位化: 111ββγ=
=(33
,33,0,33) ,)33334,33332,1133,33332(222
-==ββγ )110
110
3,551102,551103,1101107(333-==
ββγ 321,,γγγ 是与321,,ααα等价的正交单位向量组.
复习题 3
9. 设A 是一个n 阶方阵，如果对于任一n 维列向量X ，都有0AX =，则0A =。

证法1：因为对于任一n 维列向量X ，都有0AX =，于是可取n 个线性无关的n 维列向量
12,,,n B B B ，每个都满足0(1,2,,)i AB i n = =
以12,,,n B B B 为列向量组构成矩阵B ，则
1212(,,,)(,,,)(0,0,,0)n n AB A B B B AB AB AB ===
因12,,,n B B B 线性无关，故B 可逆，
于是由0AB =右乘1B -，得1100A ABB B --===
证法2：既然对于任一n 维列向量X ，都有0AX =，不妨取n 维基本向量组12,,,n εεε ，
则有111211121222211112
1000n n n n n nn a a a a a a a a A a a a a ε ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故112110n a a a ====
由11121122122
2222212
0100n n n n n nn a a a a a a a a A a a a a ε ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得122220n a a a ====
………………
由1112112122
22120001n n n n n n n nn nn a a a a a a a a A a a a a ε ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得120n n nn a a a ====
故A =0
第10题 设A 是一个n 阶矩阵（2≥n ），试证：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-===*.1)(,0;1)(,1;
)(,)(n A r n A r n A r n A r 当当当
解：当n A r =)( 时，A 可逆，0≠A 。

因 E A AA =* ，两边取行列式，得
n n A E A A A ==*，则有 01
≠=-*n A
A ，故n A r =*)( 。

当1)(-=n A r 时，A 的非零子式的最高阶数为1-n ，0=A ，从而 0==*E A AA
这表明，*A 的列向量组都是齐次方程组 0=AX 的解，故*A 的列向量组可由
0=AX 的基础解系线性表出。

0=AX 的基础解系所含独立解的个数为)(A r n -， 于是 1)1()()(=--=-≤*n n A r n A r 。

但因 A 的非零子式的最高 阶数为1-n ，则矩阵A 的元素ij a 的代数余子式ij A 中至少有一个不为零，故
1)(=*A r 。

当1)(-<n A r 时，A 的所有1-n 阶子式全等于零，即*A 的全部元素均为零， 故0)(=*A r 。

第11题 设A 是一个n 阶矩阵(2≥n ),求证 : 1
-*=n A
A
证 因 E A AA =*，两边取行列式，得n n
A E A A A ==*，若A 可逆,0≠A ,则得
1
-*=n A
A .
若A 不可逆,0=A ,则1)(-≤n A r .由第10题知,此时1)(≤*A r ,但题设
2≥n ,即A 与*A 均为阶数大于或等于2的方阵,从而*A 至少是2阶方阵,但
1)(≤*A r ,于是*A 的非零子式的最高阶数小于或等于1 ,则*A 的2阶及2阶以上的子式全为
0.*A 显然是*A 的2阶或2阶以上的子式,所以 0=*A .故有01
==-*n A A
第四章 矩阵的对角化
习题4.1 第 1 题
习题4.2 第 1（3） 题
1. 求下列复系数矩阵的特征值和特征向量
（3）3732524103A -⎡⎤
⎢⎥--=⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
2373373
252252
4103021
37250
021
(1)(5)(3)414(1)
E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλ-----=+-⨯+---+--+-+=++--++解：特征多项式
③-2②③+① 3221(1)(1)
λλλλλ=-+-=-+
特征值为1
λλλ===-，，i i
当1λ=时，求齐次方程组()0λ-=E A X 的基础解系：
2732732732042620110110114102044000000λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
E A - - - - - - - - - - - - - -
一般解为 13
232=-⎧⎨=⎩X X X X （X 3为自由未知量）
基础解系为 1211α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
11αk 是矩阵A 的属于特征值1λ=的特征向量。

1()∀∈k P
当λ=i 时，求齐次方程组()0λ-=E A X 的基础解系：
3733731212522522524103021021(1)i i i i E A i i i i i i i i i λ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=+-→+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-+⨯ ①②① 23231252021021021231(1)021000i i i i i i i i i i i -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦--⎡⎤-⨯⎢⎥-⎢⨯⎢⎣⎦ ②①①③+② i +1 i + i + 201230212000i i i -⎡⎤
+⎢⎥⨯-⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦
①-②
一般解为 132
3122
12
-+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩i X X i X X （X 3为自由未知量）
基础解系为 2212α⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
i i -1+
22αk 是矩阵A 的属于特征值λ=i 的特征向量，2()∀∈k P 。

当λ=-i 时，求齐次方程组()0λ-=E A X 的基础解系：
37337325222524103021121252021i i E A i i i i i i i i i λ------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+--⨯-+-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
-----+-- ③②①+② 121252*********(1)25221021021i i i i i i i i i i i i i i i i i ++-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⨯--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
① 0
2312012212100000i i i i i i i --+⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⨯--⨯--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3-③-②①-②2 0 0 0
一般解为 1323122
12
+⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩i X X i X X （X 3为自由未知量）
基础解系为 31212i i α--⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
33αk 是矩阵A 的属于特征值λ=-i 的特征向量，3()∀∈k P 。

习题 4.3
第4题 A 是一个3阶方阵。

已知它的特征值为0,1,1321=-==λλλ ，
A 的属于特征值321,,λλλ的特征向量依次为 ：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211,120,121321ααα ， 求 矩阵 A 。

解：A 的属于不同特征值的特征向量 321,,ααα线性无关，则A 可对角化，以
321,,ααα为列向量组构成可逆矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=211122101X
则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-0111AX X ，于是 1011-⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=X X A 。

先求 1-X ：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10111001212000110
1100211010122001101E X
→
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--214100113010215001214100101110001101 ， 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-2141132151
X 于是 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-10264162150111X X A
习题 4.4第 1（1）题
1.求正交矩阵T ，使T -1AT 为对角矩阵:
（1）220212020-⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦A 解：A 的特征多项式
220
212(1)(2)44(2)
02λλλλλλλλλ
--=-=-----E A
(1)(4)(2)λλλ=--+
A 的特征值1,2,4λλλ==-=
A 是实对称矩阵，下面分别求属于不同特征值的特征向量。

1λ=时，求()0λ-=E A X 的基础解系：
120120120101202042021021021021000000λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
E A
由此得一般解： 13
231
2
=-⎧⎪
⎨=-⎪⎩X X X X （3X 是自由未知量） 基础解系1212α⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1α是属于1λ=的特征向量。

因为A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交，故只须将1α单位化：
111231323αηα⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4λ=时，求()0λ-=E A X 的基础解系：
220220110102232012012012024024000000λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
E A
由此得一般解： 13
23
22=⎧⎨=-⎩X X X X （3X 是自由未知量）
基础解系2221α⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2α是属于4λ=的特征向量，将它单位化：222232313αηα⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
=
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2λ=-时，求()0λ-=E A X 的基础解系：
420044232232201232232022011011022022000000000λ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-=-→-→→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣E A - ⎤
⎥⎢⎥⎢⎥⎦
由此得一般解： 13
23
12⎧
=⎪⎨⎪=⎩X X X X （3X 是自由未知量）
基础解系3122α⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3α是属于2λ=-的特征向量，将它单位化：333132323αηα⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 123,,ηηη是正交单位向量组，以它们为列，构成正交矩阵
221333122333212333⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
T
则1142-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
T AT
复 习 题 4
第8题 如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，则A 是一个数量矩阵。

证：因任意n 维非零向量都是A 的特征向量，那么很容易找到A 的n 个线性无关的特征向量，从而A 可以对角化，即存在可逆矩阵X ，使
121λλλ-⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ n X AX 其中12,,,λλλ n 是A 的全部特征值。

下面证明12,,,λλλ n 全相同。

用反证法。

设(,1,2,,;)λλ≠=≠ i j i j n i j
设αi 是A 的属于特征值λi 的特征向量，αj 是A 的属于特征值λj 的特征向量。

它们均为非零向量，且线性无关，从而αα+i j 是n 维非零向量，由题设可知，αα+i j 是A 的特征向量，于是有()()ααλαα+=+i j i j A ，但,αλααλα==i i i j j j A A ，故有
()λαλαλααλαλα+=+=+i i j j i j i j
即()()0λλαλλα-+-=i i j j
然而,ααi j 线性无关，故有λλλ==i j ，于是12λλλλ==== n
所以1λλλλ-⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
X AX E 即1()λλ-==A X E X E ,
A 是数量矩阵 .
10. 设A ，B 都是实对称矩阵，试证：存在正交矩阵T ，是T -1AT=B 的充分必要条件是：A 与B 的特征多项式相等。

证：充分性——A ，B 的特征多项式相等，则A ，B 有相同的特征值12,,,λλλ n 。

因A ，B 都是n 阶实对称矩阵，则分别存在正交矩阵T 1，T 2使
12111λλλ-⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ n T AT
12122λλλ-⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ n T BT 于是得111122--=T AT T BT 两端左乘2T ，右乘12-T 得
112112--=T T AT T B
即 1111212()()---=T T A T T B
记112T T T -=，因112,-T T 均为正交矩阵，则T 也是正交矩阵，从而有1-=T AT B 必要性——因有正交矩阵T ，使1-=T AT B ，那么
1111()λλλλ-----=-=-=-E B E T AT T ET T AT T E A T
1λλ-=-=-T E A T E A （因1
1--=T T
）
所以，A ，B 的特征多项式相等。