第八章 静电场中的导体与电介质.
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试求此系统的电荷、电场分布以及球与球壳间的电势差。 如果用导线将球壳和球接一下又将如何？
解：设球壳内外表面电量 为q2、q3 ，在球壳内作一
半径为r的高斯面，由高斯
定理得到 q1 q2 0
q3
q2 R3
q1
r
R2
R1
由电荷守恒定律 q3 q q2 q q1
E
q1 4πεor2
电场的相互影响。
自由电子
1.金属导体电结构模型
构成导体框架、形状、大小
的是那些基本不动的带正电荷的 原子实，而自由电子充满整个导 体——公有化。
当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀 分布，宏观上呈电中性。
当有外电场或给导体充电，在场与导体的相互作
用的过程中，自由电子的重新分布起决定性作用。
金属导体的电结构特征：内部有大量的自由电子
电介质:不能导电的绝缘体（理想）
C0
（内部没有可以移动的电荷，就是电
子和原子核的结合力很强，电子处于
束缚状态）（或者说电阻率很大）
+Q –Q
r
C
电介质对电场、电容的影响 静电计测电压
U
U0 U
r
r 1U U0
U0
板间距不变
C C0
r,C
rC0,C
C0
E
E0 r
空腔内部及导体内部电 场强度处处为零，它们形成 等电势区。取球心点分析
球心处的电势
U q Q
4 0d 4 0R
Q
R
q
O
导体球壳接地
q Q 0
4 0d 4 0R
QRq d
演示程序：接地对球面感生电荷的影响
例题：空腔导体是半径分别为R1和R2、带电量为Q的
导体球壳，里面有一半径为r 、带电量为q 同心导体小 球。求（1）小球的电势；（2）空腔导体球壳的电势； （3）若球壳接地，小球与球壳的电势差；（4）再将
C q q1 q2 qn
U
U
2.电容器的串联
U C C1 C2 Cn
U U1 U2 Un
C q
q
U U1 U2 Un
U
1 1 1 1
C C1 C2
Cn
8.3 静电场中的电介质
8.3.1 电介质对电场、电容的影响 +Q –Q 相对介电常数
E0
• SI单位制中，P 的单位是C/m2 ，与σ 同。
• P一般的是空间位置的函数
对非极性分子的电介质：P np
E0
实验证明，当电介质（各向同性）中的E不太大时有：
P 0(r 1)E 0eE e—电介质电极化率
2.电极化强度P与/的关系
以非极性分子电介质为例，假定负 电荷不动，正电荷沿电场的方向发生位 移l，则由于电极化越过dS面的总电荷为
-
两导线间的电压为
U
E dx
1
d R
(
)dx
l
2 0 R x d x
0
p
x
ln d 0 R
于是，长直导线单位长度的电容为
C
Q U
l
Vl
V
0
ln d
R
0
ln d
R
R
8.2.3 电容器的联接
1.电容器的并联
q q1 q2 qn
不能导电的绝缘体理想内部没有可以移动的电荷就是电子和原子核的结合力很强电子处于束缚状态或者说电阻率很大电介质对电场电容的影响ruu0板间距不变00reeee01uur?r电介质相对介电常数相对电容率0r介电常数电容率qqqqrc831电介质对电场电容的影响相对介电常数uc0静电计测电压u0000ccccccrr83静电场中的电介质1?clh832电介质的极化机理电介质极化的微观机理2?ohp?heh4?chhhhe?1
1. 内部各处净电荷为零，净电荷只能分布在表面 2.表面某处电荷面密度正比于该处的电场，即
0E （一般 C ）
(
E
ds
EΔ
s
Δ
s
)
s
0
E
ΔS
（注：E仍是由所有的感应电
E
0
荷及外电场共同产生的，不是 仅由ΔS上的电荷产生）
E
ΔS
3.孤立导体表面电荷分布由 导体形状决定
4 0R 4 0r
4 0R 4 0r
R r r R
例如尖端放电：
+++++++ +++++++
+
Q
例：A、B为靠得很近的两块平行金属板，板的面
积为S ，板间距为d ，使A、B板带电分别为qA 与 qB ，且qA 大于qB 求各板两侧所带的电量及两板间 的电压。
解：设各侧面所带的电量及面电荷密度如图
qA
q1 q2
qB
q3 q4
联立上3 个式子得：
q1
qA
2
qB
, q2
qA
2
qB
, q3
q2, q4
q1
(2)E q2 qA qB s0 2s0
2q0A 1q0B
VAB
Ed
qA qB 2s0
d
例：qA 20C, qB 10C
15 5 5 15
d
A 1 2
因板相互靠得很近，可近似当无 限大带电平面分析，对A、B板内 的A、B点，板内的电场为0
EA
1 20
2 20
3 20
4 20
0
即q1 q2 q3 q4 0(1)
qA
qB
q1 q2 q3 q4
A 1 2
B 3 4
同理由EB=0得：q1 q2 q3 q4 0（2） 由电荷受恒有：q1 q2 qA，q3 q4 qB（3）
单位为：F（法拉）=106 μF=1012 pF
类比：水 桶的容量
8.2.2 几种常见电容器的电容
设电容器中的两个导体分别带有等量异号的电
荷q，周围没有其它带电体，其间电势差UAB
电容器的电容
C q q VA VB U AB
1. 平行板电容器
无电介质（真空）
E 0 q/S
0
0qd
q q
VR
q q
4 0R2
4
q(r 0 (R1R2
R1 ) rR2
rR1)
0
8.2 电容 电容器
8.2.1 电容器 电容 由两个用电介质隔开的金属导体组成 的器件
电容器电压：两金属导体间的电压
电容：电容器升高单位电压所需的电量
CQ U
C 由器件本身的结构所决定，与所带 的电量和电压无关
其表面面电荷密度与各
点的曲率半径有关，曲率半 径大处面电荷密度小，曲率 半径小处面电荷密度大。
初略证明如下：
q 导体
取两带电导体球（相隔较远，互相不影响电荷分布）
R r
用一导线连接，静电平衡时，忽略导线上所带的电 荷,设大球带电量为Q，小球带电量为q
R
r
Q
q
Q q 即 R 4R2 r 4r2 可得
U AB Ed
0S
C0
q U AB
0S
d
2.圆柱形电容器(同轴电缆)
内筒上电荷线密度为，外筒 上电荷线密度为
B
U AB
E dl
A
RB dr RA 2π 0r
ln RB
2π0 RA
考虑长度为l的圆柱形电容器
C q l
U AB VAB
------
E
演示程序：导体的静电平衡
E0
++++++
3. 导体静电静电平衡条件
（1）导体内部电场为0，即Eint=0；
（2）导体表面处的电场垂直导体表面，即 Es 表面；
（如果不垂直，电荷切向方向还受力，还会移动，
不满足平衡条件）
（3）导体是等势体，表面是等势面。
8.1.2 静电平衡时导体上电荷的分布
B 3 4
思考：若此 板接地，情 况如何？
则 q1 15C, q2 5C, q3 5C, q4 15C
思考：图中三个区 域的场强为多少？
一、利用导体表面附近紧邻 处的电场与该处电荷面密度 的关系得：
qA
qB
q1 q2 q3 q4
I
II
IIIABFra bibliotek1 2 3 4
EI
1 0
第八章 静电场中的导体与电介质
内容： 1. 静电场中的导体 2.电容 电容器 3. 静电场中的电介质 4. 有介质时的高斯定理 5. 静电场的能量 能量密度
重点：导体的静电平衡条件、有导体和介质存在 时静电场的分析与计算
8.1 静电场中的导体
8.1.1 静电感应 静电平衡条件
本章只限于讨论各向同性均匀金属导体，与
q
q
q
E0
E 0
E 0
E 0
q
q
演示程序：内部有带电体的空腔导体
应用：
高压设备都用金属导体壳接地做保护，它 起静电屏蔽作用，内外互不影响。
电子仪器、传输微弱信号的导线，为了避 免外界的干扰，在导线外包一层用接地的 金属丝编织的屏蔽线层。
讨论：接地对球面感生电荷的影响
将一不带电的空腔导体球壳 放入点电荷q所产生的电场 中，接地后球壳外表面带电 量为Q 。
没有固有的电偶极矩，在外电场的作用下，中心分开，
产生感应电偶极矩
H
H
p
C 4
He
E
H
H
电介质的极化
自由 状态 下无 极分 子
自由 状态 下有 极分 子
演示程序：电介质的极化
转向极化： 介
质
F
表
面
F 出
现
位移极化：
F
F
负 电 荷
E/
E
E0
E,
E
E0
R
将地球看作导体球
q
C 4π0R
4π 8.851012 6.4106 F 7.11104 F
法拉是一个很大的单位!
例：设有两根半径都为R的平行长直导线，它们中心
之间相距为d,且d>>R，求单位长度的电容。
解：如图，p点的电场强度为
E 1 ( ) 2 0 x d x
er
R1 r R2
E
q1 q
4 or2
er
,
( r R3)
在金属球与金属壳内部的场强为零
所以金属球A与金属壳B之间的电势差为：
U AB
R2 R1
q1 4πεo r 2
dr
q1
4 o
(1 R1
1) R2
如果用导线将球和球壳接一下，则金属球壳B的内 表面和金属球A球表面的电荷会完全中和，重新达 到静电平衡，二者之间的场强和电势差均为零。
,
E
E0
r—电介质相对介电常数（相对电容率） 0 r = —介电常数(电容率）
8.3.2 电介质的极化机理 电介质极化的微观机理
1.有极分子（极性）：正常情况下，分子中正、负 电荷的中心不重合，有固有电偶极矩
p
H
H p
Cl 1
O 2 H
2.无极分子：在正常情况下，正负电荷的中心重合，
2.静电感应 静电感应现象：导体在静电场中与电场相互影响， 结果导体上出现电荷——感应电荷
E
E
E
感应电荷也要产生电场，方
------
+ E
++ +
++
E
E
------E
+ ++ 0+ ++
向与外电场方向相反，当导 体内的感应电荷产生的电场 与外电场完全抵消后，导体 与外电场处于静电平衡
4 0
qA qB
2S 0
EIII
EI方向向左，EIII方向向右
EII
2 0
3 0
qA qB
2S 0
EII方向向右
二、利用四个无限大带电平面共同产生电场的叠加结 果同上。
例： 一个带电金属球半径R1，带电量q1，放在另一个带 电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳带电量为q 。
E
E0 r
E0 介 质 表 面 出 现 正 电 荷
E0
电介质极化——在外电场的作用下，介质端面出现 电荷（束缚电荷）束缚电荷产生的电场与外电场反 向，故介质内的电场削弱了。
8.3.4 电极化强度
1.电极化强度
单位体积内的分子电偶极矩的矢量和
• P 简称为极化强度
pi
P i
V
• 空间某点附近电介质的极化程度
球壳绝缘而小球接地，求小球所带的电荷量及球壳的 电势。
解：（1）静电平衡时，球壳
R2
R1
内表面带电荷-q，外表面有 Q+q
q
o
r
q
r
Vr
1
4
0
(q r
q R1
Q R2
q)
1 Qq
(2)VR1 VR2 4 0 R2
Qq
演示程序：内部有带 电体的空腔导体
(3)Vr
1
4 0
dS en θ EP
l
dq qndV qnldS cos
q1 0 q2 0 q3 q q1
球壳外表面仍保持有q1+ q的
q3
q2 R3
电量，而且均匀分布，它外
q1
r
面的电场仍为
R2
R1
E
q1 q 4πεor2
er , (
r R3)
8.1.3 静电屏蔽（空腔导体可隔离腔内与腔外 带电体间的相互作用）
1.腔内无隔 离电荷
2.腔 内有 隔离 电荷
2π0l
ln RB RA
3.球形电容器
U AB
B E dl
A
RB RA
4
q
π 0
r
2
dr
qq
4π0RA 4π0RB
C q 4π0RARB U AB RB RA
4.孤立导体的电容
例:一个半径为R的孤立导体球的电容
Cq
q
4π 0 R
4π 0 R
(q r
q )
R1
R2
R1
（4）小球接地，静电平衡，
o
r
q
r
电荷重新分配，设小球上
有电荷为q/，球壳内表面
有-q/，外表面就有-q+q/，
解：设球壳内外表面电量 为q2、q3 ，在球壳内作一
半径为r的高斯面，由高斯
定理得到 q1 q2 0
q3
q2 R3
q1
r
R2
R1
由电荷守恒定律 q3 q q2 q q1
E
q1 4πεor2
电场的相互影响。
自由电子
1.金属导体电结构模型
构成导体框架、形状、大小
的是那些基本不动的带正电荷的 原子实，而自由电子充满整个导 体——公有化。
当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀 分布，宏观上呈电中性。
当有外电场或给导体充电，在场与导体的相互作
用的过程中，自由电子的重新分布起决定性作用。
金属导体的电结构特征：内部有大量的自由电子
电介质:不能导电的绝缘体（理想）
C0
（内部没有可以移动的电荷，就是电
子和原子核的结合力很强，电子处于
束缚状态）（或者说电阻率很大）
+Q –Q
r
C
电介质对电场、电容的影响 静电计测电压
U
U0 U
r
r 1U U0
U0
板间距不变
C C0
r,C
rC0,C
C0
E
E0 r
空腔内部及导体内部电 场强度处处为零，它们形成 等电势区。取球心点分析
球心处的电势
U q Q
4 0d 4 0R
Q
R
q
O
导体球壳接地
q Q 0
4 0d 4 0R
QRq d
演示程序：接地对球面感生电荷的影响
例题：空腔导体是半径分别为R1和R2、带电量为Q的
导体球壳，里面有一半径为r 、带电量为q 同心导体小 球。求（1）小球的电势；（2）空腔导体球壳的电势； （3）若球壳接地，小球与球壳的电势差；（4）再将
C q q1 q2 qn
U
U
2.电容器的串联
U C C1 C2 Cn
U U1 U2 Un
C q
q
U U1 U2 Un
U
1 1 1 1
C C1 C2
Cn
8.3 静电场中的电介质
8.3.1 电介质对电场、电容的影响 +Q –Q 相对介电常数
E0
• SI单位制中，P 的单位是C/m2 ，与σ 同。
• P一般的是空间位置的函数
对非极性分子的电介质：P np
E0
实验证明，当电介质（各向同性）中的E不太大时有：
P 0(r 1)E 0eE e—电介质电极化率
2.电极化强度P与/的关系
以非极性分子电介质为例，假定负 电荷不动，正电荷沿电场的方向发生位 移l，则由于电极化越过dS面的总电荷为
-
两导线间的电压为
U
E dx
1
d R
(
)dx
l
2 0 R x d x
0
p
x
ln d 0 R
于是，长直导线单位长度的电容为
C
Q U
l
Vl
V
0
ln d
R
0
ln d
R
R
8.2.3 电容器的联接
1.电容器的并联
q q1 q2 qn
不能导电的绝缘体理想内部没有可以移动的电荷就是电子和原子核的结合力很强电子处于束缚状态或者说电阻率很大电介质对电场电容的影响ruu0板间距不变00reeee01uur?r电介质相对介电常数相对电容率0r介电常数电容率qqqqrc831电介质对电场电容的影响相对介电常数uc0静电计测电压u0000ccccccrr83静电场中的电介质1?clh832电介质的极化机理电介质极化的微观机理2?ohp?heh4?chhhhe?1
1. 内部各处净电荷为零，净电荷只能分布在表面 2.表面某处电荷面密度正比于该处的电场，即
0E （一般 C ）
(
E
ds
EΔ
s
Δ
s
)
s
0
E
ΔS
（注：E仍是由所有的感应电
E
0
荷及外电场共同产生的，不是 仅由ΔS上的电荷产生）
E
ΔS
3.孤立导体表面电荷分布由 导体形状决定
4 0R 4 0r
4 0R 4 0r
R r r R
例如尖端放电：
+++++++ +++++++
+
Q
例：A、B为靠得很近的两块平行金属板，板的面
积为S ，板间距为d ，使A、B板带电分别为qA 与 qB ，且qA 大于qB 求各板两侧所带的电量及两板间 的电压。
解：设各侧面所带的电量及面电荷密度如图
qA
q1 q2
qB
q3 q4
联立上3 个式子得：
q1
qA
2
qB
, q2
qA
2
qB
, q3
q2, q4
q1
(2)E q2 qA qB s0 2s0
2q0A 1q0B
VAB
Ed
qA qB 2s0
d
例：qA 20C, qB 10C
15 5 5 15
d
A 1 2
因板相互靠得很近，可近似当无 限大带电平面分析，对A、B板内 的A、B点，板内的电场为0
EA
1 20
2 20
3 20
4 20
0
即q1 q2 q3 q4 0(1)
qA
qB
q1 q2 q3 q4
A 1 2
B 3 4
同理由EB=0得：q1 q2 q3 q4 0（2） 由电荷受恒有：q1 q2 qA，q3 q4 qB（3）
单位为：F（法拉）=106 μF=1012 pF
类比：水 桶的容量
8.2.2 几种常见电容器的电容
设电容器中的两个导体分别带有等量异号的电
荷q，周围没有其它带电体，其间电势差UAB
电容器的电容
C q q VA VB U AB
1. 平行板电容器
无电介质（真空）
E 0 q/S
0
0qd
q q
VR
q q
4 0R2
4
q(r 0 (R1R2
R1 ) rR2
rR1)
0
8.2 电容 电容器
8.2.1 电容器 电容 由两个用电介质隔开的金属导体组成 的器件
电容器电压：两金属导体间的电压
电容：电容器升高单位电压所需的电量
CQ U
C 由器件本身的结构所决定，与所带 的电量和电压无关
其表面面电荷密度与各
点的曲率半径有关，曲率半 径大处面电荷密度小，曲率 半径小处面电荷密度大。
初略证明如下：
q 导体
取两带电导体球（相隔较远，互相不影响电荷分布）
R r
用一导线连接，静电平衡时，忽略导线上所带的电 荷,设大球带电量为Q，小球带电量为q
R
r
Q
q
Q q 即 R 4R2 r 4r2 可得
U AB Ed
0S
C0
q U AB
0S
d
2.圆柱形电容器(同轴电缆)
内筒上电荷线密度为，外筒 上电荷线密度为
B
U AB
E dl
A
RB dr RA 2π 0r
ln RB
2π0 RA
考虑长度为l的圆柱形电容器
C q l
U AB VAB
------
E
演示程序：导体的静电平衡
E0
++++++
3. 导体静电静电平衡条件
（1）导体内部电场为0，即Eint=0；
（2）导体表面处的电场垂直导体表面，即 Es 表面；
（如果不垂直，电荷切向方向还受力，还会移动，
不满足平衡条件）
（3）导体是等势体，表面是等势面。
8.1.2 静电平衡时导体上电荷的分布
B 3 4
思考：若此 板接地，情 况如何？
则 q1 15C, q2 5C, q3 5C, q4 15C
思考：图中三个区 域的场强为多少？
一、利用导体表面附近紧邻 处的电场与该处电荷面密度 的关系得：
qA
qB
q1 q2 q3 q4
I
II
IIIABFra bibliotek1 2 3 4
EI
1 0
第八章 静电场中的导体与电介质
内容： 1. 静电场中的导体 2.电容 电容器 3. 静电场中的电介质 4. 有介质时的高斯定理 5. 静电场的能量 能量密度
重点：导体的静电平衡条件、有导体和介质存在 时静电场的分析与计算
8.1 静电场中的导体
8.1.1 静电感应 静电平衡条件
本章只限于讨论各向同性均匀金属导体，与
q
q
q
E0
E 0
E 0
E 0
q
q
演示程序：内部有带电体的空腔导体
应用：
高压设备都用金属导体壳接地做保护，它 起静电屏蔽作用，内外互不影响。
电子仪器、传输微弱信号的导线，为了避 免外界的干扰，在导线外包一层用接地的 金属丝编织的屏蔽线层。
讨论：接地对球面感生电荷的影响
将一不带电的空腔导体球壳 放入点电荷q所产生的电场 中，接地后球壳外表面带电 量为Q 。
没有固有的电偶极矩，在外电场的作用下，中心分开，
产生感应电偶极矩
H
H
p
C 4
He
E
H
H
电介质的极化
自由 状态 下无 极分 子
自由 状态 下有 极分 子
演示程序：电介质的极化
转向极化： 介
质
F
表
面
F 出
现
位移极化：
F
F
负 电 荷
E/
E
E0
E,
E
E0
R
将地球看作导体球
q
C 4π0R
4π 8.851012 6.4106 F 7.11104 F
法拉是一个很大的单位!
例：设有两根半径都为R的平行长直导线，它们中心
之间相距为d,且d>>R，求单位长度的电容。
解：如图，p点的电场强度为
E 1 ( ) 2 0 x d x
er
R1 r R2
E
q1 q
4 or2
er
,
( r R3)
在金属球与金属壳内部的场强为零
所以金属球A与金属壳B之间的电势差为：
U AB
R2 R1
q1 4πεo r 2
dr
q1
4 o
(1 R1
1) R2
如果用导线将球和球壳接一下，则金属球壳B的内 表面和金属球A球表面的电荷会完全中和，重新达 到静电平衡，二者之间的场强和电势差均为零。
,
E
E0
r—电介质相对介电常数（相对电容率） 0 r = —介电常数(电容率）
8.3.2 电介质的极化机理 电介质极化的微观机理
1.有极分子（极性）：正常情况下，分子中正、负 电荷的中心不重合，有固有电偶极矩
p
H
H p
Cl 1
O 2 H
2.无极分子：在正常情况下，正负电荷的中心重合，
2.静电感应 静电感应现象：导体在静电场中与电场相互影响， 结果导体上出现电荷——感应电荷
E
E
E
感应电荷也要产生电场，方
------
+ E
++ +
++
E
E
------E
+ ++ 0+ ++
向与外电场方向相反，当导 体内的感应电荷产生的电场 与外电场完全抵消后，导体 与外电场处于静电平衡
4 0
qA qB
2S 0
EIII
EI方向向左，EIII方向向右
EII
2 0
3 0
qA qB
2S 0
EII方向向右
二、利用四个无限大带电平面共同产生电场的叠加结 果同上。
例： 一个带电金属球半径R1，带电量q1，放在另一个带 电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳带电量为q 。
E
E0 r
E0 介 质 表 面 出 现 正 电 荷
E0
电介质极化——在外电场的作用下，介质端面出现 电荷（束缚电荷）束缚电荷产生的电场与外电场反 向，故介质内的电场削弱了。
8.3.4 电极化强度
1.电极化强度
单位体积内的分子电偶极矩的矢量和
• P 简称为极化强度
pi
P i
V
• 空间某点附近电介质的极化程度
球壳绝缘而小球接地，求小球所带的电荷量及球壳的 电势。
解：（1）静电平衡时，球壳
R2
R1
内表面带电荷-q，外表面有 Q+q
q
o
r
q
r
Vr
1
4
0
(q r
q R1
Q R2
q)
1 Qq
(2)VR1 VR2 4 0 R2
演示程序：内部有带 电体的空腔导体
(3)Vr
1
4 0
dS en θ EP
l
dq qndV qnldS cos
q1 0 q2 0 q3 q q1
球壳外表面仍保持有q1+ q的
q3
q2 R3
电量，而且均匀分布，它外
q1
r
面的电场仍为
R2
R1
E
q1 q 4πεor2
er , (
r R3)
8.1.3 静电屏蔽（空腔导体可隔离腔内与腔外 带电体间的相互作用）
1.腔内无隔 离电荷
2.腔 内有 隔离 电荷
2π0l
ln RB RA
3.球形电容器
U AB
B E dl
A
RB RA
4
q
π 0
r
2
dr
4π0RA 4π0RB
C q 4π0RARB U AB RB RA
4.孤立导体的电容
例:一个半径为R的孤立导体球的电容
Cq
q
4π 0 R
4π 0 R
(q r
q )
R1
R2
R1
（4）小球接地，静电平衡，
o
r
q
r
电荷重新分配，设小球上
有电荷为q/，球壳内表面
有-q/，外表面就有-q+q/，