新九年级(上)数学期中考试试题(含答案)

新九年级（上）数学期中考试试题(含答案)
一、选择题：（本大题满分30分，共10小题，每题3分．）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．x+3＝0 B．x2﹣3y＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣＝0
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）
A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36
C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9
5．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
6．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD绕点A沿逆时针方向旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）
A．75°B．60°C．45°D．15°
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035
8．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
9．如图，AB为半圆直径，D、E为圆周上两点，且AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（）
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
二、填空题：（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为．
12．若A（﹣4，y l），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y l，y2，y3的大小关系是．（用＜号连接）
13．已知圆锥的底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆锥的侧面积为．
14．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．
16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC 于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．
（1）EF＝OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BF＝OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF 的面积之和最大时，AE＝．
三、解答题：（本大题满分102分，共9小题）
17．解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
18．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1；
（2）直接写出A1、C1点的坐标，并求弧AA1的长．
19．用一条长为40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能否围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝﹣6x1x2时，求m的值．
21．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
22．某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m（根）与时间t（天）的关系如表．
前40天每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝x+25（1≤t≤40且t为整数）；
（1）认真分析表中的数据，用所学过的知识确定m（件）与t（天）之间是满足一次函数的关系还是二次函数的关系？并利用这些数据求m（件）与t（天）之间得函数关系式；
（2）请计算40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
23．△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到．
（1）如图1，当B，C，D在同一直线上，AC交BE于点F，AD交CE于点G，求证：CF＝CG
（2）如图2，当△ABC绕点C旋转至AD⊥CD时，连接BE并延长交AD于M，求证：MD＝ME．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；
（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB＝120°，求顶点P的坐标及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB＝90°，是直接写出a的取值范围．
25．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD＝2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q 为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．x+3＝0 B．x2﹣3y＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x﹣＝0 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、方程x+3＝0是一元一次方程，故本选项错误；
B、方程x2﹣3y＝0是二元二次方程，故本选项错误；
C、方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，故本选项正确；
D、方程x﹣＝0是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
【解答】解：对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x＝m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选：D．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）
A．（x﹣6）2＝﹣4+36 B．（x﹣6）2＝4+36
C．（x﹣3）2＝﹣4+9 D．（x﹣3）2＝4+9
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
移项，得x2﹣6x＝4，
配方，得（x﹣3）2＝4+9．
故选：D．
5．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：∵P（﹣3，4），
∴关于原点对称点的坐标是（3，﹣4），
故选：C．
6．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD绕点A沿逆时针方向旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）
A．75°B．60°C．45°D．15°
【分析】由△ABD经旋转后到达△ACE的位置，而AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x
（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．
故选：B．
8．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【分析】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A＝30°，同理可得∠B＝30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB．
【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，OD＝OC＝OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A＝30°，
同理可得∠B＝30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
故选：B．
9．如图，AB为半圆直径，D、E为圆周上两点，且AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由题意易证得△OAD≌△OED，又由等腰三角形的性质，可得∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO，由AB为半圆直径，利用圆周角定理，可求得∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，然后由等角的余角相等，求得∠DAB＝∠BCE，即可得∠BCE＝∠DCA＝∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO．
【解答】解：∵AD＝DE，AO＝DO＝OE，
∴△OAD≌△OED，
∴∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD，∠BCE＝90°﹣∠DBE，
∴∠DAB＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO，
则与∠BCE相等的角有5个．
故选：D．
10．已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（）
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
【分析】由于点P（x0，y0）是该抛物线的顶点且y0≤y2＜y1，可得出抛物线开口向上，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出a、b之间的关系，进而可得出﹣＜4，即x0＜4，此题得解．
【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，
∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，
∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+c，
∴8a＞﹣b，
∴﹣＜＝4，
∴x0＜4．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为﹣4 ．
【分析】把x＝1代入方程得到一个关于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入得：4+m＝0
解得：m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．若A（﹣4，y l），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y l，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．（用＜号连接）
【分析】将二次函数y＝x2+4x﹣5配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l，y2，y3的大小．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∵A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，
∴y2＜y1＜y3．
故本题答案为：y2＜y1＜y3．
13．已知圆锥的底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆锥的侧面积为12πcm2．
【分析】把已知数据代入圆锥的侧面积公式，计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×4＝12π（cm2），
故答案为：12πcm2．
14．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为（2，﹣4）．
【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案．
【解答】解：将函数y＝x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣3﹣1，
即y＝（x﹣2）2﹣4，
其顶点坐标为（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交
BC于点M，切点为N，则DM的长为．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O 相切于E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF ＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在R t△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3+＝．
故答案为．
16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC 于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（1）（2）（3）．
（1）EF＝OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BF＝OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF 的面积之和最大时，AE＝．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论；
（2）由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOC＝S正方形ABCD，则可证得结论；
（3）由BE＝CF，可得BE+BF＝BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF＝OA；
（4）首先设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴EF＝OE；故正确；
（2）∵S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOE＝S△BOE+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；故正确；
（3）∴BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA；故正确；
（4）过点O作OH⊥BC，
∵BC＝1，
∴OH＝BC＝，
设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，
∴S△BEF+S△COF＝BE•BF+CF•OH＝x（1﹣x）+（1﹣x）×＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，
∴当x＝时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；故错误；
故答案为（1）（2）（3）．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】利用求根公式x＝进行解答即可．
【解答】解：3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1
∴△＝b2﹣4ac＝13，
则x＝，
解得x1＝，x2＝．
18．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1；
（2）直接写出A1、C1点的坐标，并求弧AA1的长．
【分析】（1）分别作出A，C的对应点A1，C1即可．
（2）根据A1，C1的位置写出坐标即可，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（﹣1，1），C1（0，2）．
的长＝＝．
19．用一条长为40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的长方形？能否围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
【分析】分别根据情况设出长方形的长，利用周长40表示出宽，根据面积作为相等关系列方程求解即可．如果有解则能够围成，如果无解则不能围成．
【解答】解：设围成面积为75cm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）＝75
整理，得
x2﹣20x+75＝0
解方程，得
x1＝5，x2＝15
∵当长＞宽
∴x＝15即这个长方形的长为15cm，则它的宽为5cm．
同理，设围成面积为101cm2的长方形的长为ycm，依题意，得
y（40÷2﹣y）＝101
整理，得
y2﹣20y+101＝0
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0
∴此方程无解，故不能围成面积为101cm2的长方形．
答：长为15cm，宽为5cm时，所围成的长方形的面积为75cm2；
用一条长40cm的绳子不能围成面积为101cm2的长方形
20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝﹣6x1x2时，求m的值．
【分析】（1）由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可知x1+x2＝、x1•x2＝﹣，结合x12+x22＝﹣6x1x2即可得出关于m的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴，
解得：m≥﹣1且m≠0．
∴m的取值范围为m≥﹣1且m≠0．
（2）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝﹣6x1•x2，
∴（）2+＝，
解得：m＝1，
经检验，m＝1是分式方程的解．
∵m≥﹣1且m≠0，
∴m的值为1．
21．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
【分析】欲证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作OE⊥AC于E 点，证明OE＝OD．
【解答】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，
则∠OEC＝90°，
∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠ODB＝∠OEC；（3分）
又∵O是BC的中点，
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△OBD≌△OCE，（6分）
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．（9分）
22．某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m（根）与时间t（天）的关系如表．
前40天每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝x+25（1≤t≤40且t为整数）；
（1）认真分析表中的数据，用所学过的知识确定m（件）与t（天）之间是满足一次函数的关系还是二次函数的关系？并利用这些数据求m（件）与t（天）之间得函数关系式；
（2）请计算40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售1件，所以判断为一次函数关系式，待定系数法求解可得解析式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得出结论．
【解答】解：（1）由表格中数据可知，当时间t每增加1天，日销售量相应减少1件，
∴m与t满足一次函数关系，
设m＝kt+b，将（1，51）、（3，49）代入，
得：，
解得：，
∴m与t的函数关系为：m＝﹣t+52；
（2）设日销售利润为P，
当1≤t≤20时，
P＝（﹣t+52）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣16）2+324，
∴当t＝16时，P有最大值，最大值为324元；
当21≤t≤40时，
P＝（﹣t+52）（﹣t+40﹣20）＝（t﹣46）2﹣18，
∵当t＜46时，P随t的增大而减小，
∴当t＝21时，P取得最大值，最大值为（21﹣46）2﹣18＝294.5元；
∵324＞294.5，
∴第16天时，销售利润最大，最大利润为324元．
23．△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到．
（1）如图1，当B，C，D在同一直线上，AC交BE于点F，AD交CE于点G，求证：CF＝CG
（2）如图2，当△ABC绕点C旋转至AD⊥CD时，连接BE并延长交AD于M，求证：MD＝ME．
【分析】（1）先根据SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA＝∠CEB，再根据ASA判定△DCG≌△ECF，即可得出CF＝CG；
（2）先根据SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA＝∠CEB，再连接CM，根据HL判定Rt△CDM≌Rt△CEM，即可得出MD＝ME．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，CD＝CE，CA＝CB，
∴当B，C，D在同一直线上时，∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD＝120°，
在△EBC和△DAC中，
，
∴△EBC≌△DAC（SAS），
∴∠CDA＝∠CEB，
在△DCG和△ECF中，
，
∴△DCG≌△ECF（ASA），
∴CF＝CG；
（2）如图2，∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，CD＝CE，CA＝CB，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△EBC和△DAC中，
，
∴△EBC≌△DAC（SAS），
∴∠CDA＝∠CEB，
∵AD⊥CD，
∴∠CEB＝∠CDA＝90°＝∠CEM，
连接CM，则
在Rt△CDM和Rt△CEM中，
，
∴Rt△CDM≌Rt△CEM（HL），
∴MD＝ME．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；
（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB＝120°，求顶点P的坐标及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB＝90°，是直接写出a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）令y＝0得：ax2+2ax﹣3a＝0，解关于x的方程可求得点A和点B的横坐标，然后可求得AB的长，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴方程；
（Ⅱ）如图1所示，利用抛物线的对称性可知：AH＝2，∠APH＝60°，然后可求得PH＝，从而可的点P的坐标，最后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；
（Ⅲ）以AB为直径作⊙H，则点N在⊙H上，当点P在⊙H上或点P在⊙H外时，∠ANB＝90°，故此HP≥2，接下来，依据HP≥2列不等式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）令y＝0得：ax2+2ax﹣3a＝0，即a（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，AB＝4．
（Ⅱ）如图1所示：
设抛物线的对称轴与x轴交于点H．
∵∠APB＝120°，AB＝4，PH在对称轴上，
∴AH＝2，∠APH＝60°．
∴PH＝．
∴点P的坐标为（﹣1，±）．
将点P的坐标代入得：±＝﹣4a，解得a＝±．
（Ⅲ）如图2所示：以AB为直径作⊙H．
∵当∠ANB＝90°，
∴点N在⊙H上．
∵点N在抛物线上，
∴点N为抛物线与⊙H的交点．
∴点P在圆上或点P在圆外．
∴HP≥2．
∵将x＝﹣1代入得：y＝﹣4a．
∴HP＝4a．
∴4a≥2，解得a≥．
∴a的取值范围是a≥．
25．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD＝2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．
【分析】（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．
（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB 是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．
（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG＝2∠MBG．易得∠OCA＝60°，从而得到∠MBG＝60°，进而得到∠MQG＝120°，所以∠MQG是定值．
【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．
∵PO⊥AD，
∴AO＝DO．
∵AD＝2，
∴OA＝．
∵点P坐标为（﹣1，0），
∴OP＝1．
∴PA＝＝2．
∴BP＝CP＝2．
∴B（﹣3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．
如图2所示，线段MB、MC即为所求作．
四边形ACMB是矩形．
理由如下：
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，
∴四边形ACMB是平行四边形．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB＝90°．
∴平行四边形ACMB是矩形．
过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP＝∠AOP，∠HPM＝∠OPA，MP＝AP，
∴△MHP≌△AOP．
∴MH＝OA＝，PH＝PO＝1．
∴OH＝2．
∴点M的坐标为（﹣2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，
∴∠BMC＝90°．
∵EG⊥BO，
∴∠BGE＝90°．
∴∠BMC＝∠BGE＝90°．
∵点Q是BE的中点，
∴QM＝QE＝QB＝QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG＝2∠MBG．
∵∠COA＝90°，OC＝1，OA＝，
∴tan∠OCA＝＝．
∴∠OCA＝60°．
∴∠MBC＝∠BCA＝60°．
∴∠MQG＝120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．
新九年级上册数学期中考试题(含答案)
一、选择题：每小题3分，共36分
1．下列方程一定是一元二次方程的是（）
①ax2+bx+c＝0；②（k2+1）x2+kx+1＝0；
③2（x+1）（x﹣4）＝x（x﹣2）；④（2x+3）（2x﹣3）＝4x（x﹣3）
A．①②B．③④C．②③D．①③
2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（9，3）B．（3，3）C．（6，6）D．（6，4）
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC＝6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE 的值为（）
A．3B．3 C．2D．6
5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+10＝0 D．x2+4x﹣5＝0
7．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是（）
A．B．C．D．
8．函数y1＝x﹣k与y2＝（k≠0）的图象在同一坐标系内，其中正确的是（）
A．B．
C．D．
9．在函数y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）三个点，则下列各式正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
10．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
11．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC．则BN：NQ：QM等于（）
A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
12．如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16
A．①③B．②③C．②④D．③④
二、填空题：每小题3分，共18分．
13．若＝，则＝
14．已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝．
15．a，b为实数且（a2+b2）2+4（a2+b2）＝5，则a2+b2＝．
16．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为．
17．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是m．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．
三、解答题：本大题共66分
19．（12分）解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是；请补全条形统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A，B，C，D四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答）21．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足+＝2，求m的值．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？
24．（10分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
25．（12分）矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．下列方程一定是一元二次方程的是（）
①ax2+bx+c＝0；②（k2+1）x2+kx+1＝0；③2（x+1）（x﹣4）＝x（x﹣2）；④（2x+3）（2x﹣3）＝4x（x﹣3）
A．①②B．③④C．②③D．①③
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①当二次项系数a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；故本选项错误；
②（k2+1）x2+kx+1＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
③由原方程，得x2﹣6x﹣8＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
④由原方程，得12x﹣9＝0，未知数的最高次数是1；故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
解：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段不成比例；
∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（9，3）B．（3，3）C．（6，6）D．（6，4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，
∵点A的坐标为（2，2）、
∴点C的坐标为（2×3，2×3），即（6，6），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC＝6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE 的值为（）
A．3B．3 C．2D．6
【分析】由正方形的性质得出∠PAF＝∠PCE＝45°，证出△APF和△CPE是等腰直角三角形，得出PF＝AP，
PE＝PC，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠PAF＝∠PCE＝45°，
∵PF⊥AD，PE⊥CD，
∴△APF和△CPE是等腰直角三角形，
∴PF＝AP，PE＝PC，
∴PF+PE＝（AP+PC）＝AC＝3；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．
解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+10＝0 D．x2+4x﹣5＝0
【分析】找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac大于等于0时，
设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．解：A、x2+2x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，本选项不合题意；
B、x2﹣4x+4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴b2﹣4ac＝16﹣16＝0，
设方程的两个根为x1，x2，。