2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题）
1．已知（x，3），（3，1），且∥，则x＝（）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1
2．若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）A．2B．C．D．4
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）
A．B．C．D．1
4．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33B．72C．84D．189
5．在△ABC中，∠A＝90°，，，则k的值是（）A．5B．﹣5C．D．
6．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B 的大小为（）
A．B．C．D．
7．下列命题正确的是（）
A．若，则
B．，则0
C．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
D．若与是单位向量，则1
8．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，x y，且3，则（）
A．x，y B．x，y C．x，y D．x，y
9．已知△ABC中，，，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
11．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘
船的速度是每小时（）
A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里12．已知函数，则（）A．2018B．2019C．4036D．4038
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2+b2，则△ABC为三角形．
14．若向量、满足，，且与的夹角为，则．15．数列{a n}的前n项的和S n＝3n2+n+1，则此数列的通项公式．
16．已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为．
三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．
18．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
19．已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1、a2、a5成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求
n的最小值；若不存在，说明理由．
20．已知数列{a n}满足a1＝1，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）设b n＝a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sin A+sin C）+（b ﹣a）sin B＝0．
（1）求C；
（2）若c＝2，2sin2A+sin（2B+C）＝sin C，求△ABC的面积．
22．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）若b n＝a n a n，S n＝b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）
1．已知（x，3），（3，1），且∥，则x＝（）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1
【分析】利用向量共线定理即可得出．
解：∵向量∥，
∴9﹣x＝0，
解得x＝9．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．
2．若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）
A．2B．C．D．4
【分析】本题根据向量在方向上的投影公式为，然后代入进行向量的计算可得正确选项．
解：由题意，可知
向量在方向上的投影为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，定义法，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）
A．B．C．D．1
【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sin A的值代入即可求出sin B的值．
解：∵a＝3，b＝5，sin A，
∴由正弦定理得：sin B．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
4．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33B．72C．84D．189
【分析】根据等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．
解：在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21
故3+3q+3q2＝21，
∴q＝2，
∴a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）q2＝21×22＝84
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能
熟练灵活的应用．
5．在△ABC中，∠A＝90°，，，则k的值是（）A．5B．﹣5C．D．
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．解：△ABC中，∵∠A＝90°，，，
∴2（2﹣k）+3×2＝0，求得k＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．6．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B 的大小为（）
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2ac，由余弦定理可得cos B，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．
解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sin B，sin A，sin C，
∵，可得：，整理可得：c2+a2﹣b2ac，
∴由余弦定理可得：cos B，
∵B∈（0，π），
∴B．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．下列命题正确的是（）
A．若，则
B．，则0
C．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
D．若与是单位向量，则1
【分析】当时，可得A、C不正确，把平方可得0，得到B正确，根据1×1cos，可得D不正确．
解：当时，成立，而的大小和方向都是不确定的，故A不正确．由可得，∴0，故B正确．当时，与是共线向量，与是共线向量，但与的大小和方向都是不确定的，故C不正确．
若与是单位向量，则1×1cos cos，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点．
8．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，x y，且3，则（）
A．x，y B．x，y C．x，y D．x，y
【分析】由3，利用向量三角形法则可得，化为，又x y，利用平面向量基本定理即可得出．解：∵3，
∴，
化为，
又x y，
∴，y．
故选：D．
【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．已知△ABC中，，，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．
解：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
∴5＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝2（bc）2﹣3bc，
解得bc，或bc＝﹣1（舍去），
∴S△ABC bc sin A，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，
a1＝5（尺），S30＝9×40+30＝390（尺），设公差为d（尺），
则30×5390，解得d．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继
续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）
A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里
【分析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，由此能求出这艘船的速度．解：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10，
在直角三角形ABC中，得AB＝5，
于是这艘船的速度是10（海里/小时）．
故选：C．
【点评】本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．12．已知函数，则（）A．2018B．2019C．4036D．4038
【分析】根据题意，求出f（1﹣x）的解析式，进而可得f（1﹣x）+f（x）＝2，又由
f（）+f（）+f（）+f（）+……
+f（）+f（），分析可得答案．
解：根据题意，函数，则f（1﹣x）＝（1﹣x）+3sin（x）
x﹣3sin（x），
则f（1﹣x）+f（x）＝2，
f（）+f（）+f（）+f（）+……
+f（）+f（）＝1009×2＝2018．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的计算，注意分析f（x）+f（1﹣x）的值，属于基础题．
一、选择题
13．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形．【分析】利用余弦定理即可得出．
解：∵c2＜a2+b2，
∴cos C0，
∴C为锐角．
∵a＜b＜c，∴C为最大角．
∴△ABC为锐角三角形．
故答案为：锐角．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
14．若向量、满足，，且与的夹角为，则13﹣6．【分析】根据条件可求出，然后进行数量积的运算即可求出的值．解：∵，，且与的夹角为，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．数列{a n}的前n项的和S n＝3n2+n+1，则此数列的通项公式．
【分析】首先根据S n＝3n2+n+1求出a1的值，然后根据a n＝S n﹣S n﹣1求出当n≥时数列的递推关系式，最后计算a1是否满足该关系式．
解：当n＝1时，a1＝5，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3n2+n+1﹣3（n﹣1）2﹣n+1﹣1＝6n﹣2，
故数列的通项公式为，
故答案为．
【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用a n＝S n﹣S n﹣1求出数列的通项公式，此题难度一般．
16．已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为3．
【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．
解：由题意，根据向量的减法有：，，
∵
∴（）+（）＝﹣m；
∴（m﹣2），
∵，
∴m﹣2＝1，
∴m＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．
三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．
【分析】设，则cos cos可得，解方程可求
解：设，则cos cos
∴
∴或
∴，
【点评】本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式
18．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
【分析】（Ⅰ）根据2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C，可得2sin B cos A＝sin（A+C），从而可得2sin B cos A＝sin B，由此可求求角A的大小；
（Ⅱ）利用b＝2，c＝1，A，可求a的值，进而可求B，利用D为BC的中点，可求AD的长．
解：（Ⅰ）∵2sin B cos A＝sin A cos C+cos A sin C
∴2sin B cos A＝sin（A+C）
∵A+C＝π﹣B
∴sin（A+C）＝sin B＞0
∴2sin B cos A＝sin B
∴cos A
∵A∈（0，π）
∴A；
（Ⅱ）∵b＝2，c＝1，A
∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝3
∴b2＝a2+c2
∴B
∵D为BC的中点，
∴AD．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的
边与角．
19．已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1、a2、a5成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式可得S n，再利用一元二次不等式的解法即可得出．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1＝2，且a1、a2、a5成等比数列．
∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．
∴a n＝2，或a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．
（2）当a n＝2时，S n＝2n，不存在正整数n，使得S n＞60n+800．
当a n＝4n﹣2时，S n2n2，假设存在正整数n，使得S n＞60n+800，即2n2＞60n+800，化为n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，
∴n的最小值为41．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知数列{a n}满足a1＝1，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）设b n＝a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
解：（1）数列{a n}满足a1＝1，．整理得a n a n+1＝2a n﹣2a n+1，
故（常数），
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．
（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．
所以，故
所以，
则：2．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sin A+sin C）+（b ﹣a）sin B＝0．
（1）求C；
（2）若c＝2，2sin2A+sin（2B+C）＝sin C，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C 的值．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积．
解：（1）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sin A+sin C）+（b﹣a）sin B＝0．
利用正弦定理得：（a﹣c）（a+c）+（b﹣a）b＝0，
整理得：a2﹣c2+b2﹣ab＝0，即，
由于0＜C＜π，
所以：C．
（2）由于2sin2A+sin（2B+C）＝sin C，
整理得2sin2A+sin（2π﹣2A﹣C）＝sin C，
化简得：，
所以，
由于，
所以．
故或，
解得或，
①当A时，由于C，
所以B，且c＝2，则利用勾股定理设a＝x，b＝2x，
故：（2x）2﹣x2＝4，解得x，
所以．
②当A时，C，所以B．
同理解得b．
所以．
综上所述：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
22．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）若b n＝a n a n，S n＝b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
【分析】（Ⅰ）根据数列是一个各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0，注意数列是一个正项数列，得到a n+1﹣2a n＝0，得到数列是一个等比数列，写出通项．
（Ⅱ）本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2＝0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0，
∵数列{a n}的各项均为正数，
∴a n+1+a n＞0，
∴a n+1﹣2a n＝0，
即a n+1＝2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4＝2a3+4，
∴2a1+8a1＝8a1+4，
∴a1＝2，
∴数列{a n}的通项公式a n＝2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n得，b n＝﹣n•2n，
∵S n＝b1+b2++b n，
∴S n＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①
∴2S n＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②
①﹣②得，S n＝2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1
，
要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，
∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
【点评】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．。