初中数学_变量之间的关系教学设计学情分析教材分析课后反思

第三章变量之间的关系
-----专题回归评价课
一、教学目标
（一）知识与技能目标
1.进一步理解常量、变量，自变量、因变量的概念，并能识别.
2.能从表格中获取信息，写出自变量与因变量的关系式，并会求自变量或因变量的值.
3.能从图象中获取信息，并用语言描述.
（二）过程与方法目标
通过观察、分析，体会转化、数形结合和分类讨论数学思想的应用，提高归纳概括的思维能力，同时培养积极探究、勇于创新的学习态度.
（三）情感态度与价值观目标
1.在解决实际问题的活动中，体会数学与现实生活的密切联系，增强学数学的兴趣.
2.在交流过程中，体会合作的快乐，增强合作的意识.
二、教学重难点
重点：会从表格、图象获取信息，利用关系式求自变量或因变量的值.
难点：从复杂图象中获取信息解决实际问题.
三、教学方法：自主探究、独立思考、合作交流、精讲点拨
四、教学过程
（一）创设情境，问题导入：
1.学生齐喊口号，揭示课题
常量与变量，特征不一样，变量有两种，自与因变量，三种表示法，表格与关系，图象最形象，横表自变量，纵示因变量，从中获信息，本领我最强！
我们生活在一个不断变化的世界中，今天来复习第三章变量之间的关系。

2.复习回顾：本章我们学习了哪些内容？
学生交流后回答，教师板书本章学习内容。

3.投放本章的知识框架：
学生结合框架图继续回忆本章知识，形成知识网络。

（二）复习回顾、合作交流
通过三个问题复习回顾本章的知识，进一步掌握从表格、图象获取信息，用关系式解决问题，会找自变量与因变量，体会数学与生活
的联系。

在处理三个问题中及时根据学情组织独立思考、合作探究的学习活动，以达到预期的教学目的。

各组成员对于自己认为有把握的题到相应的位置进行展讲，对于比较难懂的问题教师及时进行引领分析，以便同学们能进行理解和记忆.
展讲要求
1．展讲的同学注意：面向同学，语言规范，展讲内容要全面（答案、思路、方法）.
2．其他同学注意倾听，记录，补充与质疑。

【知识点一】从表格中获取信息
果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是
因变量？
(2)如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？
(3)请你列出果子落下的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系
式 .
通过本题唤醒学生的知识储备，让学生学会从表格中获取信息，会找自变量与因变量，并能写出它们之间的关系式。

【知识点二】利用关系式解决问题
某种油箱容量为60升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的
油量Q （升）随汽车行驶时间t （时）变化的关系式如下：Q ＝60－6t
（1） 请完成下表
(2)汽车行驶5小时后，油箱中油量是 升；
(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为12升，则汽车行驶了 小时 ；
(4)贮满60升汽油的汽车，最多行驶 小时；
(5)哪个图象能反映变量Q 与t 的关系：（ ）
本题主要复习根据关系式求值，明确常量在关系式中的意义，并
能识别对应的图象，体会表格、关系式、图象三者之间的对应关系，增强学生的观察、分析、计算、比较、总结等思维能力。

【知识点三】从图象中获取信息
t （A ） t
（B ） t （C ）
小明骑单车上学，当他骑了一段时间后，想起要买某本书，于是又折回去经过的书店，买到书后继续去学校．如图所示是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是米；
（2）小明在书店停留了分钟；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了米
本题的设计目的在于让学生学会从图象中获取信息，明确图象
中点的实际意义，并解决实际问题。

（三）巩固训练，深化理解
学生独立完成训练题，教师巡视批阅，及时了解学生的掌握情况，并针对出现的问题及时给予指导。

完成后，订正答案。

一、识别常量与变量
1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中_ _____ _是自变量，是因变量．
2. 圆面积S与半径r之间的关系式S= πr2中，自变量是，因变量是，常量是.
二、从表格中获取信息，写出关系式，并求值.
3.弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间
的关系如下表：
（1）在这一变化过程中，自变量是____ _______,因变量是__________________.
（2）当所挂物体的质量是3kg时，弹簧的长度是______cm；不挂物体时，弹簧的长度是______cm.
（3）若用x (kg)表示所挂物体的质量，用y (cm)表示弹簧的长度，则y与x之间的关系式是___________,当x=7时，y=_______;当y=20时，x=______.（在弹性限度内）
三、从图象中获取信息
4. 星期日，小明同学从家中出发，步行去超市买文具，又去书店购书，然后回到家里．小明家、超市、书店在同一直线上，如图是小明所用的时间x（分）与离家的距离y(千米)的关系的图象，根据图象回答下列问题：
（1）此变化过程中，是自变量，是因变量．（2）超市离小明家________千米；小明走到超市用了_____分钟.（3）超市离书店多远？小明在书店购书用了多长时间？
（4）书店离小明家多远？小明从书店走回家的平均速度是每分钟多
少
米？
设计意图：检测学生对基础知识的掌握情况，及时调整教学。

四、例题精讲，拓展提高（15分钟）
用图象表示变量之间的关系能形象直观的反应事物变化的全过程、变化趋势和某些性质。

对于一个图象中有两条线的情况也是课标的要求，动点问题更是中考的重点，通过例题的进一步提高学生的识图、读图的能力。

例1.如图，l A , l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系，根据图象回答下列问题：
（1）B出发时与A相距千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是小时．
（3）B出发后小时与A相遇．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
小时与A相遇．
知识应用：
甲骑自行车、乙骑摩托沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的关系的图象如图所示．根据图象可知
(1)在这一情境中自变量、因变量是什么？
(2)先出发的是谁?早出发几分钟？
(3)谁先到达？早到多长时间？
(4)甲的行驶速度是公里/分；
乙的行驶速度是公里/分.
(5)点A所表示的意义是什么？
学生独立思考、小组交流后共同解决。

例2.用图象解决动点问题
如图①，在长方形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→D→A→B 的方向运动至点B处停止.设点P运动的路程为x，△BCP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则
（1）当x=3时，点P在边______上；
当x=9时，点P应运动到点处．
（2）当点P在AB上时，y随x的增大如何变化？
当点P在AD上时，△ABP的面积是多少？
（3）点P在AB上时，你能写出y与x之间的关系式吗？
本题是中考中的重要数学思想-数形结合、分类讨论和动点问题的综合题，对于七年级的学生来说独立解决有一定的困难，所以在解决本题时先用几何画板给学生演示点P的运动过程，让学生直观的感受图形与图象之间的对应关系，在此基础上再分析题目条件，学生理解起来就会变得容易了，有效突破难点。

设计意图：所选例题都在基础考查的基础上有所提高，目的在于提高学生分析问题解决问题的能力，渗透分类讨论、数形结合的的思想，体会变量之间关系的综合应用。

五、打点收获，提升意义
1.学生回忆本节所学，谈收获。

2.学生展示收获。

六、知识运用，当堂测试（8分钟）
1.独立完成训练单的达标测试：规范书写，独立完成，反复检查，
减少失误，有能力的同学可以完成选做题.
2.教师巡视批阅学生的答题情况，重点巡视批阅学科长或者学困生.
3.完成后，展示答案，学科长完成分数统计.
4.教师调查学生的总体答题情况，提出建议.
达标测试（共90分，其中A、B组必做，C组选做；时间10分钟）A组（每小题3分，共12分）
1. 明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）
A．明明B．电话费C．时间D．爷爷
2.△ABC的高是3cm，则面积S与底边x间的数量关系可表示为．
3.在关系式y=3x﹣1中，当x由1变化到5时，y由变化到．
B组（每空3分，共48分）
4.为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，
并把试验的数据记录下来，制成如表：
（1）上表反映的两个变量中，自变量是，因变量是；（2）根据上表可知，该车油箱的大小为升，每小时耗油升；
（3）请求出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）____________________.
5.一艘轮船和一艘快艇都从甲港驶往乙港，图1表示了距甲港的距离与行驶时间之间的关系，根据图象，回答问题：
（1）在本题中，自变量是___________，因变量是___________. （2）先出发，提前小时．
（3）大约在轮船走后小时两船相遇，相遇地离甲港千米．
（4）轮船的速度是千米/时，快艇速度千米/时．（5）先到达乙港的船用了小时，此时距后到达乙港的船是千米．
（6）写出轮船离开甲港的距离y（千米）与时间t （小时）之间的关系式．
图1
C组（每题10分，共30分；供学有余力的同学选做）
6.李大爷按每千克2.1元批发了一批蜜橘到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降低出售．售出蜜橘千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图2，结合图象回答下列问题：
（1）李大爷自带的零钱是元；
（2）降价前他每千克蜜橘出售的价格是元/千克；
（3）卖了几天，南丰蜜橘卖相不好了，随后他按每千克下降1.5元将剩下的蜜橘售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的蜜橘？
7. 如图3，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，动点P从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图4所示，则（1）BC=_______,CD=______;(2)当x=5时，点P 所在的边是_______；当x=9时，点P应运动到点处．
图3 图4
8.某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表．
印数a （单位：千册）1≤a＜55≤a＜10
彩色（单位：元/张） 2.2 2.0
黑白（单位：元/张）0.70.6
（1）印制一本纪念册的制版费为元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
六、知识架构，总结提升（3分钟）
1．投放知识树，形成知识网络。

2．数学家名言共享。

给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。

-----高斯
《第三章变量之间的关系》学情分析
对于七年级的学生来说，他们已经具备了初步探究问题与自学的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建本章的认知结构，促进学生的发展，教师联系生活实际，结合本课特点，挖掘适合学生的学习材料，注重激发学生的求知欲；通过对探究过程的反思，进一步强化对数形结合思想、转化思想的认识。

学生在前面已经在七年级上册学习代数式、探究规律时，对变化思想有了初步的感知，通过本章的学习，学生对变量、常量，自变量、因变量的概念有了一定的认识，能从表格、图象中获取信息、识别自变量、因变量，但是对于比较复杂的一个坐标系中有两个图象、分段函数类、动点类的问题，掌握不好，本节在复习基础知识的基础上，重在让学生在解决问题的能力也有所提高。

七年级的学生已有了一定的理解与分析能力，对于转化、数形结合、分类讨论等数学思想也有一定的了解。

在此基础上学习本节课，对于大多数学生来说不会感到很困难，但仍需教师不断引领。

《第三章变量之间的关系》课堂效果分析
一是教学效率高，学生情绪饱满，思维活跃，气氛热烈。

二是学生受益面大，不同程度的学生在原有基础上都有进步。

知识与能力、过程与方法、情感态度价值观目标达成。

三是有效利用45分钟，学生学得轻松愉快，积极性高，当堂问题当堂解决，学生负担合理。

应该说本节课基本达到了预期的教学效果，学生进一步理解了变量、常量、自变量、因变量的概念，从表格、关系式、图象中获取信息更加熟练了，培养了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。

四是通过测试，学生成绩的优秀率62%，及格率95%，说明教学效果良好。

《第三章变量之间的关系》教材分析
《第三章变量之间的关系》是北师大版义务教育教科书七年级下
册第三章的内容，本节内容主要复习第三章所学内容，它是在学习了用字母表示数、代数式、整式的加减的的基础上学习的，它为后面继续研究一次函数、反比例函数、二次函数打下基础，起着承上启下的作用。

在七年级上册第三章代数式求值、探究规律已渗透了本章内容，本章的学习是一次对变量关系的集中讨论，教材从大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题出发，让学生体会变量和变量之间相互依赖的关系，感受数学的应用价值。

本章通过分析用表格、关系式和图象所表示的关系的活动，使学生初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系。

根据课标要求、教材内容和学生实际，在教学时把本章设计为五课时，本节是第五课时，前面两节设计了综合解决课、第三节设计了两节问题解决课、对本章的复习设计了专题回归课。

本章内容的重点是自变量、因变量的识别，从表格、图象中获取信息，用关系式解决实际问题。

本节主要复习常量、变量、自变量、因变量的概念，这是学好利用表格、关系式、图象表示变量之间的关系解决实际问题的关键，同时要求学生会用从表格、图象中获取信息，能通过关系式求自变量或因变量的值，使学生感受数形结合、转化思想的应用，并且本节课也通过让学生经历观察、分析、概括过程，自主复习变量、自变量、因变量的概念，培养学生在问题引领下自主探究的思维能力，学会看表、
识图，在情感态度、价值观方面培养学生与他人合作学习的习惯。

《第三章变量之间的关系》评测练习
【知识梳理】--课前自我学习
1.变量:在变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。

在某变化过程中有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化.
自变量是某一变化过程中主动变化的量.
因变量是随着自变量的变化而变化的量.
2. 常量：在变化过程中，数值始终_______的量叫做常量.
3.表示变量之间关系的方法有：_______，______，______.
4.表格法：把自变量x的一系列取值和因变量y的对应值列成一个表格来表示变量之间关系的方法.借助表格可以表示_____变量随_____变量的变化而变化的情况.
5.关系式：用来表示自变量和因变量之间关系的等式.
利用关系式，可以根据任意自变量的值求出相应______变量的值；也可以根据因变量的值求出______变量的值.
6.图象法：用图象表示变量之间关系的方法.
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为_____)上的点表示______,用竖直方向的数轴(称为_____)上的点表示_____变量.
【课前练习】
1.“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，随变化而变化，其中自变量是，因变量是．
2.林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中是常量，_________是变量
3.在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．则根据图象，
（1）在本题中，自变量是___________，因变量是___________.
（2）在0.5小时内，甲的速度是_________，乙的速度是．
（3）起跑后1小时内，跑在前面的是；最终先到达终点；
（4）整个赛程是千米．
第3题图第4题图
4.如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示△MNR的面积，图2表示变量y随x的变化情况，
（1）当x=3 时，点R 所在的边是_______；当x=9时，点R应运动到点处．（2）当点R在PQ上时，△MNR的面积是多少？
（3）你能写出y与x之间的关系式吗？
【复习要点】---课中巩固训练检测
一、识别常量与变量
1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中_ _____ _是自变量，是因变量．
2. 圆面积S与半径r之间的关系式S= πr2中，自变量是，因变量是，常量是.
二、从表格中获取信息，写出关系式，并求值.
3.弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：
（1）在这一变化过程中，自变量是________,因变量是__________.
（2）当所挂物体的质量是3kg时，弹簧的长度是______cm；不挂物体时，弹簧的长度是______cm.
（3）若用x (kg)表示所挂物体的质量，用y (cm)表示弹簧的长度，则y与x之间的关系式是________,当x=7时，y=_______;当y=20时，x=______.（在弹性限度内）
三、从图象中获取信息
4. 星期日，小明同学从家中出发，步行去超市买文具，又去书店购书，然后回到家里．小明家、超市、书店在同一直线上，如图是小明所用的时间x（分）与离家的距离y(千米)的关系的图象，根据图象回答下列问题：
（1）此变化过程中，是自变量，是因变量．
（2）超市离小明家________千米；小明走到超市用了_____分钟.
（3）超市离书店多远？小明在书店购书用了多长时间？
（4）书店离小明家多远？小明从书店走回家的平均速度是每分钟多少米？
达标测试
（必做题A组12分，B组48分，共60分时间8分钟；C组供学有余力的同学选做）
A组（每小题3分，共12分）
1. 明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）
A．明明B．电话费C．时间D．爷爷
2.△ABC的高是3cm，则面积S与底边x间的数量关系可表示为．
3.在关系式y=3x﹣1中，当x由1变化到5时，y由变化到．
B组（每空3分，共48分）
4.为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验
的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时）0123…
油箱剩余油量Q（升）100948882…
（1）上表反映的两个变量中，自变量是，因变量是；
（2）根据上表可知，该车油箱的大小为升，每小时耗油升；（3）请求出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）____________________. 5.一艘轮船和一艘快艇都从甲港驶往乙港，图1表示了距甲港的距离与行驶时间之间的关系，根据图象，回答问题：
（1）在本题中，自变量是___________，因变量是___________.
（2）先出发，提前小时．
（3）大约在轮船走后小时两船相遇，相遇地离甲港千米．（4）轮船的速度是千米/时，快艇速度千米/时．
（5）先到达乙港的船用了小时，此时距后到达乙港的船是千米．
（6）写出轮船离开甲港的距离y（千米）与时间t （小时）之间的关系式．
图1
C组（每题10分，共30分,供学有余力的同学选做）
6.李大爷按每千克2.1元批发了一批蜜橘到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降低出售．售出蜜橘千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图2，结合图象回答下列问题：（1）李大爷自带的零钱是元；
（2）降价前他每千克蜜橘出售的价格是元/千克；
（3）卖了几天，南丰蜜橘卖相不好了，随后他按每千克
下降1.5元将剩下的蜜橘售完，这时他手中的钱（含备用
的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的蜜橘？
7. 如图3，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如
图4所示，则（1）BC=_______,CD=______;(2)当x=5时，点P 所在的边是_______；当x=9时，点P应运动到点处．
图3 图4
8.某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册．该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表．
印数a （单位：千册）1≤a＜55≤a＜10
彩色（单位：元/张） 2.2 2.0
黑白（单位：元/张）0.70.6
（1）印制一本纪念册的制版费为元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
《第三章变量之间的关系》课后反思
通过本节课的教学,总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，以问题引领学生学习交流，激发了学生学习的积极性与主动性，我认为本节课具体有以下几个特点：
1.通过与生活密切相关的情境问题，让学生感受到我们生活在变化的世界中，数学与生活密切相关。

2.通过问题引领激发了学生的探究欲望，通过课堂口号、知识树和知识框架图的展示让学生明确了本章的知识要点与网络结构。

3.学生在自学和交流过程中，能积极地发现问题、分析问题、解决问题，为展示做积极的准备，充分调动了学生学习的积极性与主动性。

4.在展示的过程中，学生能充分展示自己的思路，教师仅仅起到点拨，纠错的作用。

学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。

5.在课堂中注意规范解题步骤的书写和方法、规律的归纳。

注重转化、分类讨论、数形结合的思想来解决问题。

需改进的方面：
1.由于怕完不成任务，给学生独立思考时间安排有些不合理，这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

课后一些学生与老师交流,但课上没有得到充分的展示。

2.交流时间不充分，学生发表独立见解的时间较少。

3.对潜能生的指导需要加强。

《第三章变量之间的关系》课标分析
本章内容是在学习了用字母表示数、代数式、整式的加减的基础上学习的，是后面学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础，具有承前启后的作用.
课标对本节的要求为：
1. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的
意义.
2.能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例.
3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
4.能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值.
5.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.
6.结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测.
7. 在解决实际问题的活动中，提高归纳、概括的思维能力，同时培养积极探究、勇于创新的学习态度；体会转化、数形结合和建模的数学思想以及数学与现实生活的密切联系，增强学数学的兴趣.
8. 在交流过程中，体会合作的快乐，增强合作的意识；养成认真、细心、善于质疑、及时反思等良好的学习习惯.。