2019年四川省泸州市中考数学试卷(解析版)

2019年四川省泸州市中考数学试卷（解析版）
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题（共12小题）
1.﹣8的绝对值是（）
A．8 B．﹣8 C．D．﹣
2.将7760000用科学记数法表示为（）
A．7.76×105B．7.76×106C．77.6×106D．7.76×107
3.计算3a2•a3的结果是（）
A．4a5B．4a6C．3a5D．3a6
4.下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）
A．B．
C．D．
5.函数y＝的自变量x的取值范围是（）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2
6.如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（）
A．40°B．50°C．45°D．60°
7.把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（）
A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）2
8.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边
形的是（）
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD
9.如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围
是（）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
10.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）
A．8 B．12 C．16 D．32
11.如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则
DE的长是（）
A．B．C．D．
12.已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x
＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
二、填空题（共4小题）
13.4是的算术平方根．
14.在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．
15.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是．
16.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD
⊥AE，垂足为F，则AD的长为．
三、解答题（共9小题）
17.计算：（π+1）0+（﹣2）2﹣×sin30°．
18.如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．
19.化简：（m+2+）•．
20.某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统
计图．
根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）该市5月1日至8日中午时气温的平均数是℃，中位数是℃；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．
21.某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310
万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B 型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
22.一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．
23.如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该
渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
24.如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•P A．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），
其对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC 相似，求点E的坐标．
2019年四川省泸州市中考数学试卷（解析版）
参考答案
一、单选题（共12小题）
1.【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣8的绝对值是8．
故选：A．
【知识点】绝对值
2.【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将7760000用科学记数法表示为：7.76×106．
故选：B．
【知识点】科学记数法—表示较大的数
3.【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简得出答案．
【解答】解：3a2•a3＝3a5．
故选：C．
【知识点】单项式乘单项式
4.【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：A、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
B、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、球的俯视图是圆，故此选项错误；
D、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
故选：A．
【知识点】简单几何体的三视图
5.【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式；根据二次根式的意义，被开
方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【知识点】二次根式有意义的条件、函数自变量的取值范围
6.【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：∵AC∥BD，∠B＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∵BC⊥DE，
∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【知识点】平行线的性质、垂线
7.【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），
故选：C．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
8.【分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
【知识点】平行四边形的判定、平行四边形的性质
9.【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
10.【分析】由菱形的性质可知AC⊥BD，2OD•AO＝28①，进而可利用勾股定理得到OD2+OA2＝36②，
结合①②两式化简即可得到OD+OA的值．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵面积为28，
∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①
∵菱形的边长为6，
∴OD2+OA2＝36 ②，
由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．
∴OD+AO＝8，
∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
故选：C．
【知识点】菱形的性质
11.【分析】连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OA平分
∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，再根据等腰三角形的性质判断点A、O、E共线，
BE＝CE＝3，利用勾股定理计算出AE＝4，则AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
AO＝4﹣r，利用勾股定理得到r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，于是可计算出OB＝，
然后证明OB垂直平分DE，接着利用面积法求出HE，从而得到DE的长．【解答】解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，
∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴点A、O、E共线，
即AE⊥BC，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝4，
∵BD＝BE＝3，
∴AD＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，
在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，
在Rt△BOE中，OB＝＝，
∵BE＝BD，OE＝OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH＝EH，OB⊥DE，
∵HE•OB＝OE•BE，
∴HE＝＝＝，
∴DE＝2EH＝．
故选：D．
【知识点】垂径定理、等腰三角形的性质、三角形的内切圆与内心
12.【分析】先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，
解得a＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x＝a，根据二次函数的性质得到a≥﹣1，从而
得到实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
故选：D．
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点
二、填空题（共4小题）
13.【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
【知识点】算术平方根
14.【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a+b的值是：4．
故答案为：4．
【知识点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
15.【分析】根据x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，可以求得x1+x2和x1x2的值，从而可以
求得所求式子的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16，
故答案为：16．
【知识点】根与系数的关系
16.【分析】过D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质得到AC＝BC＝15，∠CAD＝45°，求得
AH＝DH，得到CH＝15﹣DH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，
∴AC＝BC＝15，
∴∠CAD＝45°，
∴AH＝DH，
∴CH＝15﹣DH，
∵CF⊥AE，
∴∠DHA＝∠DF A＝90°，
∴∠HAF＝∠HDF，
∴△ACE∽△DHC，
∴＝，
∵CE＝2EB，
∴CE＝10，
∴＝，
∴DH＝9，
∴AD＝9，
故答案为：9．
【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质
三、解答题（共9小题）
17.【分析】原式利用零指数幂、乘方的意义，立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×＝1+4﹣1＝4．
【知识点】实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂
18.【分析】由平行线的性质得出∠A＝∠D，∠B＝∠C，由AAS证明△AOB≌△DOC，即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC．
【知识点】全等三角形的判定与性质
19.【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝m+1
【知识点】分式的混合运算
20.【分析】（1）5月1日至8日中午时气温的平均数：（19+16+22+17+21+22+25+26）÷8＝21℃，中
位数为＝21℃；
（2）扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°；
（3）设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A1，A2，A3，A4，A5，
则抽到2天中午12时的气温，共有共10种不同取法，其中抽到2天中午12时的气温
均低于20℃有3种不同取法，因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为．
【解答】解：（1）5月1日至8日中午时气温的平均数：（19+16+22+17+21+22+25+26）÷8＝21℃将8天的温度按低到高排列：16，17，19，21，22，22，25，26，因此中位数为＝21.5℃，
故答案为21，21.5；
（2）因为低于20℃的天数有3天，则扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°，
答：扇形统计图中扇形A的圆心角的度数135°；
（3）设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A1，A2，A3，A4，A5，
则抽到2天中午12时的气温，共有（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1A5），（A2A3），（A2A4），（A2A5），
（A3A4），（A3A5），（A4A5）共10种不同取法，
其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有（A1A2），（A1A4），（A2A4）3种不同取法，
因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为．
【知识点】加权平均数、扇形统计图、列表法与树状图法、条形统计图、中位数
21.【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“购买A型
汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需
700万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意列出不等式组解答即可．
【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：
解得：3≤m＜5，
∵m是整数，
∴m＝3或4，
当m＝3时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；
当m＝4时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．
答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．【知识点】一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用
22.【分析】（1）应用待定系数法可求解；
（2）联立两函数解析式，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的
关系可得到关于m的方程，即可求得m．
【解答】解：（1）由题意得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝2x+2；
（2）联立，消去y得：2x2+2x﹣m＝0，则x1+x2＝﹣1，
因为3x1＝﹣2x2，解得，
∴C（2，6），
∵反比例函数y＝的图象经过C点，
∴m＝2×6＝12．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
23.【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论；
（2）过D作DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，
在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，
∴DE＝20×sin45°＝20，
在Rt△BED中，BD＝20，
∴sin∠ABD＝＝＝；
（2）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，
∴BE＝＝40，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，
∴CF＝BC﹣BF＝30，
在Rt△CDF中，CD＝＝50，
∴小岛C，D之间的距离为50nmile．
【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题
24.【分析】（1）连接OC，△PBC∽△PCA，得出∠PCB＝∠P AC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，
证出∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）连接OD，由相似三角形的性质得出＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt
△ABC中，由勾股定理得出方程，得出BC＝6，证出DE∥BC，得出△DOF∽△ACB，
得出＝＝，得出OF＝OD＝，即AF＝，再由平行线得出＝＝，
即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB•P A，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠P AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•P A，
∴P A＝＝＝40，
∴AB＝P A﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．
【知识点】勾股定理、切线的判定与性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理
25.【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；
（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×
＝3，即可求解；
（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，
同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；
（2）联立，解得：x＝﹣，
直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），
S△AOC＝＝6，
由题意得：×＝3，
解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），
∴m＝﹣2；
（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，
①当△DEB∽△AOC时，则，
如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，
则Rt△BEG∽Rt△EDF，
则，则BG＝3EF，
设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，
则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，
∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，
解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），
则点E（4，﹣6）；
②当△BED∽△AOC时，，
过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，
则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，
设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，
则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；
故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【知识点】二次函数综合题。