江苏省扬州市高邮市车逻镇2018届中考数学一轮复习 第36课时 新定义型问题导学案(无答案)

第36课时 新定义型问题
姓名 班级
学习目标：
1、 能结合已有知识、能力理解并应用新定义、新法则解决新问题。

2、 能根据问题情境的变化合理进行思想方法的迁移，结合具体题目应用新的知识解决问题。

学习重、难点：能结合已有知识、能力理解并应用新定义、新法则解决新问题。

学习过程：
1、与“数与式”有关的新定义型问题
（中考指要例1）（2017 重庆）对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F n （）
．例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以1236F =（）．
（1）计算：243617F F （），（）
； （2）若s t ，都是“相异数”，其中10032150s x t y =+=+，（19x ≤≤，19y ≤≤，x y ，都是正整数），规定：F s k F t =
（）（）
，当18F s F t +=（）（）时，求k 的最大值．
例2(2016•重庆)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n p q ⨯＝ (p q 、是正整数，且p q ≤)．在n 的所有这种分解中，如果p 与q 之差的绝对值最小，那么我们称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()F n p q
＝.例如12可以分解成112⨯、26⨯或34⨯，因为1216243>>－－－，所以34⨯是12的最佳分解．所以()3124
F ＝。

(1) 如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，那么我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有()1F m ＝. (2) 如果一个两位正整数1019()t x y x y x y ≤≤≤＝
＋，、为自然数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉
祥数”中()F t 的最大值．
2、与“方程、不等式”有关的新定义型问题
例、对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”： 2
1b b a a =⊗-，这里等式的右边是实数运算.例如211=18133⊗-=-，则方程()24
21x x ⊗--=-的解是（ ） .4A x = .5B x = .6C x = .7D x =
3、与“统计与概率”有关的新定义型问题
例、(2015·泰安)十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数．如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两个数，与7组成“中高数”的概率是( )
2.1A
3.1B 5.2C 5
.3D 4、与“函数”有关的新定义型问题
例、 (2015·衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题．
定义：如果二次函数2111y a x b x c ＝＋＋ 11110()a a b c ≠，、、是常数与2222y a x b x c ＝＋＋
22220()a a b c ≠，、、是常数满足120a a ＋＝，12b b ＝，120c c ＋＝，那么称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝－x 2
＋3x －2的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数2
32y x x ＝－＋－可知，111132a b c ＝－，＝，＝－.根据120a a ＋＝，12b b ＝，120c c ＋＝，求出222a b c 、、的值，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1) 写出函数232y x x ＝－＋－的“旋转函数”；
(2) 若函数2 4
32y x mx ＝－＋－与22y x nx n ＝－＋互为“旋转函数”，求2015()m n ＋的值； (3) 已知函数1()()2
14y x x ＝－＋
－的图象与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是点111A B C 、、，求证：图象经过点111A B C 、、的二次函数与函数1
()()2
14y x x ＝－＋－互为“旋转函数”
5、与“图形的认识”有关的新定义型问题
例、(2016·湖州)定义：若点()P a b ，在函数1y x =
的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数2y ax bx ＝＋称为函数1y x =
的一个“派生函数”. 例如：点122⎛
⎫ ⎪⎝⎭，在函数1y x =的图象上，则函数2212y x x ＝＋称为函数1y x
=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：① 存在函数1y x =
的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧；② 函数1y x
=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，则下列判断正确的是( ) A.命题①与命题②都是真命题 B. 命题①与命题②都是假命题
C. 命题①是假命题，命题②是真命题
D. 命题①是真命题，命题②是假命题
1. (2014·泰州)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组的是( )
. 123A ，， B C . 12D 6、与“图形的变换”有关的新定义型问题
例1（中考指要例2） (2016·宁波)从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线
(1) 如图①，在△ABC 中，CD 为角平分线，40A ∠︒＝，60B ∠︒＝，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．
(2) 在△ABC 中，48A ∠︒＝，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求ACB ∠的度数．
(3) 如图②，在△ABC 中，2AC ＝，BC CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形．求完美分割线CD 的长
例2（中考指要例3）（2017 济宁）定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是
△ABC 的自相似点．
例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，PBC A ∠=∠，PCB ABC ∠=∠，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M 是曲线C ：y x =
()0x >上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P 是OM 上一点，ONP M ∠=∠, 试说明点P 是△MON 的自相似点； 当点N
的坐标是)，点N 的坐标是)
时，求点P 的坐标；
（2）如图3，当点M 的坐标是(，点N 的坐标是()2,0时，求△MON 的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M 和点N ,使△MON 无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、反思总结
1.本节课你复习了哪些内容？
2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？
五、达标检测
1、(2015•铜仁)定义一种新运算：x 2y x y x +*=
，如2212122
+⨯*== ， 则()4*2*()1－＝________．
2、(2016·广州)定义运算：(*)1a b a b ＝－．若a 、b 是方程()21
4
00x x m m <－＋＝的两根，则 **b b a a －的值为( )
.0A .1B .2C .D m 与有关
3、(2016·岳阳)对于实数a b 、，我们定义符号{}max a b ，的意义为：当a b ≥时，{}max a b a ，＝；当a b <时，{}max a b b ，＝.如：}24{4max ，－＝，33{}3max ，＝.若关于x 的函数为{31}y max x x ＝＋，－＋，则该函数的最小值是( )
. 0A . 2B . 3C . 4
D
4、（自我评估1）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： 224= 根据上表规律，某同学写出了三个式子：2164log =①,5255log =②,2
12
log =③﹣.其中正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
5．（自我评估2）规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
①当x=1.7时，[x]+（x ）+[x ）=6；
②当x=﹣2.1时，[x]+（x ）+[x ）=﹣7；
③方程4[x]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；
④当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有两个交点．
6．（自我评估3）（2017 扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等
于22AO BO ﹣的值，可记为22AB AC AO BO =﹣．
（1）在图1中，若90BAC ∠=︒，8AB =，6AC =，AO 是BC 边上的中线，则AB AC = ，OC OA = ；
（2）如图2，在△ABC 中，4AB AC ==　，120BAC ∠=︒，求AB AC 、BA BC 的值；
（3）如图3，在△ABC 中，AB AC =， AO 是 BC
边上的中线，点N 在AO 上，且13
ON AO =．已
知14AB AC =，10BN BA =，求△ABC 的面积．
7. （自我评估3）（2017 绍兴）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
（1）如图1 ，等腰直角四边形=,90ABCD AB BC ABC ︒
∠=， .
①若1,AB CD ==AB CD ，对角线BD 的长.②若AC BD ⊥ ，求证：AD CD =.
（2）如图2 ，矩形ABCD 中，5,9,AB BC == 点P 是对角线BD 上一点. 且2BP PD = ，过点P 作直线分别交,AD BC 于点,E F ，使四边形ABEF 是等腰直角四边形.求AE 的长.
8．（自我评估3）（2016 北京）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．
（1）已知点A 的坐标为（1，0）．
①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；
②点C 在直线x =3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；
（2）⊙O ，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．。