曲线与方程 课件-北师大版高中数学选修2-1 优秀教学课件
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第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程（第一课时）
Y
O
X
直线与圆的方程的一般形式分别是
直线：Ax＋By＋C＝0. （A、B不同时为0）
圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （D2＋E2－4F＞0）
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
探究：（1）求第一、三象限里两坐标轴间夹角 平分线的坐标满足的关系
2.设 M1(x1, y1)是方程f(x,y)=0的解， 证明点 M1(x1, y1在) 曲线C上.
X
Y
知识迁移升华
O
请同学们完成以下出题任务：
第一组：列举一个方程与曲线，使它们的关系满足条件①不满足条件②
第二组：列举一个方程与曲线，使它们的关系不满足条件①满足条件②
第三组：继续研究概念及正反实例，准备迎接第一、二组同学的挑战。
Y
课堂小结
O
X
上联：曲线点方程解线无杂点 下联：方程解曲线点解无缺漏 横批：曲线方程
而 x1 , y1 正是点 M1到纵轴，横轴的距离，因此点 M1到这
两条直线的距离的积是常数 k ,即点 M1是曲线的点.
由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是 xy k
Y
步骤总结
O
X
证明已知曲线的方程的方法和步骤：
1.设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.
方程是C：xy k
y
证明：（1）设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点.
因为点 M与 x 轴的距离为 y0 ,与 y 轴的距离为 x0 ，
RM
所以 x0 y0 k, x0 Байду номын сангаасy0 k
0Q
x
即(x0,y0)是方程 xy k 的解.
（2）设点 M1(x1, y1) 是方程 xy k 的解.则 x1y1 k 即 x1 y1 k.
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等
x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
l y x-y=0 0x
得出关系：
（1）l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
分析特例归纳定义
（2） 下图表示以点C（3，2）为圆心、1为半径的圆，
图像上的点 M (x0, y0) 与方程 (x 3)2 ( y 2)2 1 有什么关系？
（2）点 A(0,1) , B(1,0) C(1,0) 分别为△ABC 的三个顶点，则边 BC的中线的
方程是 x 0 ； 答：错
（3）曲线C：过点（4,1）的反比例函数图象，方程F ：y 4 ，那么曲
|x|
线C是方程F的曲线． 答：错
.
Y
典例分析
O
X
例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹
y
··M
满足关系：
0
x
（1）、如果M (x0, y0 )是圆上的点，那么 M (x0, y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果M (x0, y0)是方程 (x 3)2 ( y 2)2 1 的解，那么以它为坐标
的点一定在圆上。
Y
巩固新知
O
X
1. 下列说法是否正确？并说明理由：
（1）到 x轴的距离为2的点的轨迹方程为 y 2 答：错
曲线与方程（第一课时）
Y
O
X
直线与圆的方程的一般形式分别是
直线：Ax＋By＋C＝0. （A、B不同时为0）
圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （D2＋E2－4F＞0）
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
探究：（1）求第一、三象限里两坐标轴间夹角 平分线的坐标满足的关系
2.设 M1(x1, y1)是方程f(x,y)=0的解， 证明点 M1(x1, y1在) 曲线C上.
X
Y
知识迁移升华
O
请同学们完成以下出题任务：
第一组：列举一个方程与曲线，使它们的关系满足条件①不满足条件②
第二组：列举一个方程与曲线，使它们的关系不满足条件①满足条件②
第三组：继续研究概念及正反实例，准备迎接第一、二组同学的挑战。
Y
课堂小结
O
X
上联：曲线点方程解线无杂点 下联：方程解曲线点解无缺漏 横批：曲线方程
而 x1 , y1 正是点 M1到纵轴，横轴的距离，因此点 M1到这
两条直线的距离的积是常数 k ,即点 M1是曲线的点.
由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是 xy k
Y
步骤总结
O
X
证明已知曲线的方程的方法和步骤：
1.设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.
方程是C：xy k
y
证明：（1）设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点.
因为点 M与 x 轴的距离为 y0 ,与 y 轴的距离为 x0 ，
RM
所以 x0 y0 k, x0 Байду номын сангаасy0 k
0Q
x
即(x0,y0)是方程 xy k 的解.
（2）设点 M1(x1, y1) 是方程 xy k 的解.则 x1y1 k 即 x1 y1 k.
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等
x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
l y x-y=0 0x
得出关系：
（1）l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
分析特例归纳定义
（2） 下图表示以点C（3，2）为圆心、1为半径的圆，
图像上的点 M (x0, y0) 与方程 (x 3)2 ( y 2)2 1 有什么关系？
（2）点 A(0,1) , B(1,0) C(1,0) 分别为△ABC 的三个顶点，则边 BC的中线的
方程是 x 0 ； 答：错
（3）曲线C：过点（4,1）的反比例函数图象，方程F ：y 4 ，那么曲
|x|
线C是方程F的曲线． 答：错
.
Y
典例分析
O
X
例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹
y
··M
满足关系：
0
x
（1）、如果M (x0, y0 )是圆上的点，那么 M (x0, y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果M (x0, y0)是方程 (x 3)2 ( y 2)2 1 的解，那么以它为坐标
的点一定在圆上。
Y
巩固新知
O
X
1. 下列说法是否正确？并说明理由：
（1）到 x轴的距离为2的点的轨迹方程为 y 2 答：错