高考数学课时提能测试题及答案6

高考数学课时提能测试题及答案
课时提能演练(六)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
（A）y=-x3,x∈R （B）y=sinx,x∈R
（C）y=x,x∈R （D）y=(1
)x,x∈R
2
2.已知f(x)满足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )
（A）-2 （B）2 （C）-98 （D）98
3. （2012·黄冈模拟）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数），则f(-1)=( )
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
4.（2012·荆州模拟）已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（-∞,0)上为减函数，若f(a)≥f(2),则a的取值范围是( )
（A）a≤2 （B）a≤-2或a≥2
（C）a≥-2 （D）-2≤a≤2
5.(预测题）若函数f(x)=(k-1)a x-a-x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=log a(x+k)的图象是( )
6.（2011·西安模拟）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）= -f（x），若f（x）在［ -1,0］上是减函数，那么f（x）在［1,3］上是( ) （A）增函数
（B）减函数
（C）先增后减的函数
（D）先减后增的函数
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.设函数f(x)=()()
x2x k
tanx
++
为奇函数，则k=______.
8.(2011·广东高考)设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=_____.
9.(易错题）设f(x)是（-∞，+∞）上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，下面关于f(x)的判定：
①f(4)=0;
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图象关于x=1对称；
④f(x)的图象关于x=2对称.
其中正确命题的序号为______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0,
求实数m 的取值范围.
11.(2012·武汉模拟）已知函数f(x)=1a 2x b
-
-是偶函数，a 为实常数. （1）求b 的值；
（2）当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n ］上的函数值组成的集合也是［m,n ］，若存在，求出m,n 的值，否则，说明理由.
【探究创新】
（16分）设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x+l ∈D ，且f(x+l )≥f(x)，则称f(x)为M 上的l 高调函数.
(1)如果定义域为［-1,+∞)的函数f(x)=x 2为［-1,+∞)上的m 高调函数，求实数m 的取值范围.
(2)如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x-a 2|-a 2，且f(x)为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.在定义域内为奇函数的为A，B，C，又y=sinx在R上不单调，y=x在R上为增函数，故选A.
2.【解析】选A.由已知得f(x)为以4为周期的奇函数,
∴f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1),
又x∈(0,2)时，f(x)=2x2,∴f(7)=-2×12=-2.
3.【解析】选A.由条件知f(0)=20+2×0+b=0,∴b=-1,
∴x≥0时，f(x)=2x+2x-1,∴f(-1)=-f(1)
=-(21+2×1-1)=-3.
4.【解析】选B.由条件可知,偶函数f(x)在（-∞,0)上递减，
那么f(x)在(0,+∞)上递增，∵f(a)≥f(2),∴|a|≥2,
∴a≥2或a≤-2.
5.【解析】选A.因为f(x)=(k-1)a x-a-x(a>0，a≠1)为R上的奇函数，
∴f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,
∴f(x)=a x-a-x.
又∵f(x)为R上的减函数，∴0<a<1.
故g(x)=log a(x+k)=log a(x+2)的图象是由y=log a x(0<a<1)的图象向左平移两个单位而得到，故选A.
6.【解析】选D.由f（x+1）=-f（x）得f（x+2）=f（x），故f（x）的最小正周期为2，又f（x）在［-1,0］上是减函数，f（x）是定义域为R的偶函数，故f（x）在［0,1］上为增函数，而函数f（x）在区间［1,3］上的图象是由
f（x）在［-1,1］上的图象向右平移一个周期所得的，故f（x）在［1,2］上为
减函数，在［2,3］上为增函数.
7.【解析】∵f(x) =()()x 2x k tanx
++为奇函数， ∴f(-x)=-f(x),
即:()()
-x 2-x k tan(-x)++= ()()x 2x k tanx
++- 得：(2+k)x=0，又x ≠k 2
ππ+(k ∈Z)时恒成立.
∴2+k=0,得k=-2.
答案：-2
8.【解析】令g(x)=x 3cosx,则f(x)=g(x)+1且g(x)为奇函数,所以g(-a)=-g(a). 由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10,
f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.
答案：-9
9.【解析】∵f(x+2)=-f(x)，
∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4)，
即f(x)的周期为4，②正确.
∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数)，即①正确.
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),
∴f(x)的图象关于x=1对称,∴③正确,
又∵f(1)=-f(3),当f(1)≠0时，显然f(x)的图象不关于x=2对称，∴④错误. 答案：①②③
10.【解析】由f(m)+f(m-1)>0,
得f(m)>-f(m-1),
即f(1-m)<f(m).
又∵f(x)在［0,2］上单调递减且f(x)在［-2,2］上为奇函数,
∴f(x)在［-2,2］上为减函数，
∴21m 22m 21m m -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩
, 即1m 32m 21m 2
⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩,解得-1≤m<12. 【误区警示】本题易忽视m,1-m ∈［-2,2］而致误.
11.【解析】（1）由已知,可得f(x)=a 12x b --的定义域为D=（-∞,b 2)∪(b 2,+∞). 又y=f(x)是偶函数，故定义域D 关于原点对称.
于是，b=0.
又对任意x ∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0.
因此所求实数b=0.
(2)由（1），可知f(x)=a-
12x (D=(-∞,0)∪(0,+∞)). 考察函数f(x)=a 12x
-
的图象，可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数， 又n>m>0,
∴y=f(x)在区间［m,n ］上是增函数.
因y=f(x)在区间［m,n ］上的函数值组成的集合也是［m,n ］.
∴有
1
1m
2m
1
1n
2n
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-=
⎪⎩
,
即方程11
2x
-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.
∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.
故不存在正实数m,n满足题意.
【变式备选】已知函数f(x)=e x-e-x（x∈R且e为自然对数的底数）.
（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵f(x)=e x-(1
e
)x,且y=e x是增函数，
y=-(1
e
)x是增函数，所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R，
且f(-x)=e-x-e x=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)由（1）知f(x)是增函数和奇函数,
∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立
⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立
⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立
⇔(t+1
2)2≤(x+1
2
)min2
⇔(t+1
2)2≤0⇔t=1
2
-.
即存在实数t=1
,
2
使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
【探究创新】
【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图（1）所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有m≥2；x≥-1时，恒有f(x+2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,+∞)；
(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图（2）所示，
∵f(3a2)=a2=f(-a2)，
由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，
故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．
所以实数a的取值范围为［-1,1］.。