专题4.11 几何图形初步章末重难点突破(学生版)2022年七年级数学上册举一反三系列(人教版)

专题4.11 几何图形初步章末重难点突破
【人教版】
【考点1 正方体的展开与折叠】
【例1】（2021秋•东港市期中）如图是一个正方体的平面展开图，标注了字母m的是正方体的前面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等，前面与后面标注的数字互为相反数，则m的值为（）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【变式1-1】（2021秋•潍坊期中）如图是一个立方体纸盒的表面展开图，若A表示纸盒的上盖，B表示纸盒的侧面，则纸盒底面在表面展开图中的位置是（）
A．①B．②C．③D．④
【变式1-2】（2021秋•皇姑区校级期中）如图，下列图形属于正方体的表面展开图的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-3】（2021秋•尤溪县期中）小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（）
A．B．
C．D．
【考点2 线段、射线、直线】
【例2】（2021秋•东城区期末）根据下列语句，画出图形．
（1）如图1，已知四点A，B，C，D．
①画直线AB；
②连接线段AC、BD，相交于点O；
③画射线AD，BC，交于点P．
（2）如图2，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．
【变式2-1】（2021秋•滦州市期末）下列语句中准确规范的是（）A．直线a，b相交于一点m
B．反向延长直线AB
C．反向延长射线AO（O是端点）
D．延长线段AB到C，使BC＝AB
【变式2-2】（2021秋•乐清市期末）如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2-3】（2021秋•南浔区期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图：
（1）画线段AB；
（2）连接CD，并将其反向延长至E，使得DE＝2CD；
（3）在平面内找到一点F，使F到A、B、C、D四点距离最短．
【考点3 直线、线段的性质】
【例3】（2021秋•濉溪县校级月考）用一根钉子钉木条时，木条会来回晃动，用数学知识说明理由：．
用两根钉子钉木条时，木条会被固定不动，用数学知识说明理由：．【变式3-1】（2021秋•天心区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是．．
【变式3-2】（2021秋•南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB ＝1500m，BC＝1000m，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）
A．A住宅区B．B住宅区
C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处
【变式3-3】（2021秋•青山区期末）如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）
A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间
【考点4 线段的中点及和差】
【例4】（2021秋•崇左期末）已知线段MN＝3cm，在线段MN上取一点P，使PM＝PN；
延长线段MN到点A，使AN=1
2MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM．
（1）根据题意，画出图形；
（2）求线段AB的长；
（3）试说明点P是哪些线段的中点．
【变式4-1】（2021秋•丹徒区期末）如图，线段AC＝20cm，BC＝3AB，N是线段BC的中点，M是线段BN上的一点，且BM：MN＝2：3．求线段MN的长度．
【变式4-2】（2021秋•万州区期末）如图，延长线段AB到点F，延长线BA到点E，点M、N分别是线段AE、BF的中点，若AE：AB：BF＝1：2：3，且EF＝18cm，求线段MN 的长．
【变式4-3】（2021秋•河东区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
【考点5 线段与角中的规律问题】
【例5】（2021秋•曲沃县期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题．
（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2＝3条；
一条直线上有4个点，线段共有1+2+3＝6条…一条直线上有10个点，线段共有条．
（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有条．
（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；
在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成个角
（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？
【变式5-1】（2021秋•苏州期末）在平面内有若干条直线，在下列情形下，可将平面最多分成几部分？
（1）有一条直线时，最多分成部分；
（2）有两条直线时，最多分成部分；
（3）有三条直线时，最多分成部分；
…
（n）有n条直线时，最多分成部分．
【变式5-2】（2021秋•许昌期末）①如图1直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；
②如图2直线l上有3个点，则图中有条可用图中字母表示的射线，有条线段；
③如图3直线上有n个点，则图中有条可用图中字母表示的射线条线段；
④应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环
赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需场比赛．
【变式5-3】（2021秋•隆化县期末）你会数线段吗？
如图①线段AB，即图中共有1条线段，1=1×2 2
如图②线段AB上有1个点C，则图中共有3条线段，3＝1+2=2×3 2
如图③线段AB上有2个点C、D，则图中共有6条线段，6＝1+2+3=3×4 2
思考问题：
（1）如果线段AB上有3个点，则图中共有条线段；
（2）如果线段AB上有9个点，则图中共有条线段；
（3）如果线段AB上有n个点，则图中共有条线段（用含n的代数式来表示）．
【考点6 线段中的动点问题】
【例6】（2021秋•和平区校级月考）如图，已知点C 是线段AB 上一点，且AC ＝2CB ，点D 是AB 的中点，且AD ＝6． （1）求DC 的长；
（2）若点F 是线段AB 上一点，且CF =1
2
CD ，则AF ＝ ；
（3）点P 、点Q 是直线上的两个动点，点P 的速度为1个单位长度/秒，点Q 的速度为
2个单位长度/秒．点P 、Q 分别从点C 、点B 同时出发在直线AB 上运动，则经过 s 线段PQ 的长为5．
【变式6-1】（2021秋•罗湖区校级期末）如图，射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA ＝20cm ，AB ＝60cm ，BC ＝10cm ，点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm /秒的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q 运动到点O 时，点P 、Q 停止运动．
（1）若点Q 运动速度为2cm /秒，经过多长时间P 、Q 两点相遇？
（2）当P 在线段AB 上且P A ＝3PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的运动速度；
【变式6-2】（2021秋•奉化区校级期末）已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 同时出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）
（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝ ，DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．
（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求
MN AB
的值．
【变式6-3】（2021秋•奉化区校级期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．
（1）求线段AB，CD的长；
（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求线段BC的长；
（3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在那一个时间段内．
【考点7 线段的实际应用】
【例7】（2021秋•封开县期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（）种车票．
A．10B．11C．20D．22
【变式7-1】（2021秋•宜昌期末）如图所示，A，B，C三棵树在同一直线上，量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A，C两树的正中间O处，请
你计算一下小亮距离树B多远？
【变式7-2】（2021秋•宁津县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
【变式7-3】（2021•烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．
如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．
问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？
（2）根据（1）的结论，求|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…|x ﹣617|的最小值．
【考点8 钟面角、方向角】
【例8】（2021•龙门县模拟）某同学从A 地出发沿北偏东30°的方向步行5分钟到达B 地，再由B 地沿南偏西40°的方向步行到达C 地，则∠ABC 的大小为（ ） A ．10°
B ．20°
C ．35°
D ．70°
【变式8-1】（2021秋•海州区校级期中）某同学晚上7点钟开始做数学作业，他做完作业后是7点20分，此时时针和分针的夹角是（ ） A ．90°
B ．100°
C ．110°
D ．120°
【变式8-2】（2021春•海盐县校级期末）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ） A ．北偏东30°
B ．北偏西30°
C ．北偏东60°
D ．北偏西60°
【变式8-3】（2021春•静安区期末）早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（ ） A ．8点23
113
分 B ．8点25分 C ．8点27
3
11
分 D ．9点整
【考点9 角的平分线及和差】
【例9】（2021春•威海期中）如图所示，∠AOB ＝30°，∠BOC ＝40°，∠COD ＝26°，OE 平分∠AOD ，求∠BOE 的度数．
【变式9-1】（2021秋•中江县期末）如图，∠AOC ：∠BOC ＝1：4，OD 平分∠AOB ，且∠
COD＝36°，求∠AOB度数．
【变式9-2】（2021秋•本溪期末）如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？
【变式9-3】（2021秋•新宾县期末）已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
（1）当点C、E、F在直线AB的同侧（如图1所示）
①若∠COF＝25°，则∠BOE＝．
②猜想∠COF与∠BOE的数量关系是．
（2）当点C与点E、F在直线AB的两旁（如图2所示）时，（1）中第②式的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．
【考点10 角中的动点问题】
【例10】（2021秋•武冈市期末）已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC 和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
【变式10-1】（2021秋•崇川区期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分
∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；
②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【变式10-2】（2021秋•蚌埠期末）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD 内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．则∠MON的大小为；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
【变式10-3】（2021秋•渭滨区期末）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过t 秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．。