河北高一高中数学期中考试带答案解析

河北高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在中，
则BC =（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
2.△ABC 中，若，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．锐角三角形
3.
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.中
的对边分别是
，面积
，则的大小是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
、
5.已知等差数列
满足，
，则
等于（ ）
A ．90
B ．95
C ．170
D ．340
6.等比数列｛｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ）
A ．－
B ．1或－
C ．1或－1
D ．1
7.已知正项等比数列{}中，
，成等差数列，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8.数列满足
并且，则数列
的第100项为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.过两点A ，B(
，
的直线倾斜角是，则
的值是（ ） A ．
B ．3
C ．1
D ．
10.已知点是直线
上的任意一点，则
的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11.如果且
，那么以下不等式正确的个数是（ ）
① ②
③
④
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）
A．B．2C．4D．6
二、填空题
1.经过点，且与直线垂直的直线方程是．
2.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为．
3.已知点的距离相等，则的最小值为．
4.等差数列中，是它的前n项之和，且，，则：
①比数列的公差；②一定小于；
③是各项中最大的一项；④一定是中的最大值．
其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）．
三、解答题
1.在中,角所对的边分别为,且满足．
(1) 求角的大小;
(2) 当取得最大值时,请判断的形状．
2.在中,角A、B、C的对边分别为、、，已知向量、，且．（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
3.设直线l的方程为(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
4.已知，
（1）当时，解不等式；（2）若，解关于x的不等式
5.在数列中，为常数，，且成公比不等于1的等比数列．
（1）求的值；
（2）设，求数列的前项和
6.各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有
．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
河北高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.在中，则BC =（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理,有,根据正弦和角公式,有,
所以可得．
【考点】正弦定理．
2.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形
【答案】B
【解析】根据余弦定理,有,带入,化简得．
【考点】角化边思想,余弦定理．
3.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据成等比数列,有,又因为,可得,根据余弦定理,有,将,带入有．
【考点】等比中项,余弦定理．
4.中的对边分别是，面积，则的大小是（）
A．B．C．D．、
【答案】B
【解析】根据余弦定理,可得①,根据三角形面积公式②,将①②带入化简得,因为在三角形中，所以．
【考点】余弦定理,三角形面积公式．
5.已知等差数列满足，，则等于（）
A．90B．95C．170D．340
【答案】C
【解析】根据等差数列前项和公式有,因为在等差数列中,如果,则有
,所以,所以．
【考点】等差数列前项和公式; 等差数列中性质,如果,则有．
6.等比数列｛｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ） A ．－
B ．1或－
C ．1或－1
D ．1
【答案】B
【解析】根据等比数列通项公式有,根据等比数列前项和公式有
,
两式联立解得
．
【考点】等比数列通项公式, 等比数列前项和公式,立方差公式．
7.已知正项等比数列{}中，
，成等差数列，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】因为
，
成等差数列，所以
,根据等比数列通项公式展开可得
,因为
数列是正项等比数列,所以
,消取
,解得
,将所求展开代入,可得
．
【考点】等差中项,等比通项公式． 8.数列满足
并且，则数列
的第100项为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】将同时取倒数有
,则有
,
即
,所以可知数列是首项为
,公差为
的等差数列,所以
,所以
．
【考点】倒数法求数列通项公式,等差数列的判断,等差数列的通项公式．
9.过两点A ，B(，的直线倾斜角是，则的值是（ ） A ． B ．3 C ．1
D ．
【答案】C
【解析】根据直线斜率的计算式有,解得
．
【考点】直线斜率的计算式．
10.已知点是直线上的任意一点，则
的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】点
是直线
上的任意一点，则有
，即
，所以有
，显然当时，有最小值．
【考点】消元法,二次函数中配方法求最值．
11.如果且，那么以下不等式正确的个数是（）
①②③④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】特殊值法．根据且,设,依次判断可知．①②④正确．
【考点】特殊值法．
12.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）
A．B．2C．4D．6
【答案】A
【解析】方法一:做出图像分析;(繁,易出错)
方法二:当好线性约束条件形成封闭图形时,目标函数的最值一般是三条直线的交点处取得,所以可以求出三条直线的三个交点分别为,分别代入目标函数可得最小值为．
【考点】求目标函数的最值．
二、填空题
1.经过点，且与直线垂直的直线方程是．
【答案】
【解析】已知直线斜率为,所求直线斜率为,根据点斜式有,即．
【考点】垂直直线斜率相乘等于,点斜式求直线方程．
2.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为．
【答案】
【解析】的解集为,则方程的根为．根据根与系数单位关系有,．可得．所以不等式为,即
,解得．
【考点】二次不等式与二次方程的关系,根与系数的关系．
3.已知点的距离相等，则的最小值为．
【答案】
【解析】点的距离相等,则点在线段的垂直平分线上．则,中点是,根据垂直关系,则垂直平分线斜率为,所以根据点斜式可得点轨迹方程为
．代入所求可得
．当且仅当时,取最小值．
【考点】均值不等式求最值．
4.等差数列中，是它的前n项之和，且，，则：
①比数列的公差；②一定小于；
③是各项中最大的一项；④一定是中的最大值．
其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）．
【答案】①②④
【解析】根据，,可知,则等差数列是递减数列,所以
．并且等差数列从第8项起为负数．所以①④正确,③错误;因为,所以②正确．
【考点】等差数列性质．
三、解答题
1.在中,角所对的边分别为,且满足．
(1) 求角的大小;
(2) 当取得最大值时,请判断的形状．
【答案】(1)(2)等边三角形
【解析】(1)根据已知条件,可利用正弦定理变形解决;
(2)中有两个角都是未知的,所以得利用第(1)的结论换掉其中一个角,比如,接下来
中只含有角,利用余弦差角公式以及辅助角公式可化简该式,从而根据结果分析出三角形的形状．(1)由结合正弦定理变形得:
从而,,
∵,∴;
(2)由(1)知
则
∵, ∴
当时,取得最大值1, 此时,．
故此时为等边三角形
【考点】正弦定理;换角思想;余弦差角公式,辅助角公式．
2.在中,角A、B、C的对边分别为、、，已知向量、，且．（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）根据条件,利用可得一个边角关系式,因为要求角,所以利用正弦定理的性质
将边化为角,化简关系式,可得所求角,
(2)根据(1)的结论,选择面积公式,所以得求出范围,根据余弦定理,利用不等式性
质可得到,从而求出面积的最值．
（1）∵∴
由正弦定理可得，即，
整理可得．
∵0＜＜，＞0，∴∴．
（2）由余弦定理,，即，故．
故的面积为
当且仅当时,面积取得最大值．
【考点】向量垂直关系;正弦定理;余弦定理;不等式性质;三角形面积公式．
3.设直线l的方程为(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1),(2)
【解析】(1) l在两坐标轴上截距相等,分为截距为零和不为零两种情况．截距为零时,直线过原点;截距不为零时,直线的一般式为,可得．
(2)将直线变形为,知直线必有斜率,所以当直线不过第二象限时有两种情况,一是,二是,即．
(1) l在两坐标轴上截距相等, 分为截距为零和不为零两种情况．
当直线在轴和轴上的截距为零时，该直线过原点，代入原点可得，得的方程为．
当直线在轴和轴上的截距不为零时,当直线不经过原点时，直线的一般式为,可得,得的方程为．
(2)将的方程化为,
则．
综上可知的取值范围是．
【考点】直线的方程;直线的位置．
4.已知，
（1）当时，解不等式；（2）若，解关于x的不等式
【答案】(1)
(2) 当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】(1)代入值,直接求解集即可;
(2)将不等式转化为,讨论的大小关系,从而得到解集．注意有三种情况: ,,
．
（1）当时，有不等式，
∴，∴不等式的解集为：
（2）∵不等式
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为．
【考点】解二次不等式;讨论含参二次不等式的解集．
5.在数列中，为常数，，且成公比不等于1的等比数列．
（1）求的值；
（2）设，求数列的前项和
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据为常数可判断出数列是等差数列,根据等差数列通项可得,从而解出其中的值,注意值的取舍．
(2)根据(1)知, ,代入,根据形式特点,使用裂项相消法求数列的和．
（1）根据为常数，可得,所以数列是等差数列,其首项,公差,所以．故．
又成等比数列，所以，解得或．
当时，不合题意，舍去．所以．
（2）由（Ⅰ）知，．利用裂项相消法,可得
所以
【考点】数列的判断; 裂项相消法求数列的和．
6.各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有
．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据题意利用,得到递推公式,根据其形式特点分析该数列的特点．
(2)根据(1)求出,代入求出,根据其特点采用错位相减法求和．
（1）由①
得②
②—①，得
即：
由于数列各项均为正数，即
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式是
(2)由,可得,所以,根据特点采用错位相减法:
则
①-②得
【考点】已知求;错位相减法求和．。