有理数单元复习

知识点一：有理数的概念
（一）有理数：
（1）整数与分数统称
按定义分类：
_______________⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
_ _ _ _ _ _ _ _ _有理数　_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类：
__________⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩_ _ _ _ _ _ _ _有理数零
_ _ _ _ _ _ _ _
注：①正数和零统称为 ；②负数和零统称
为 ；③正整数和零统称为 ；④负
整数和零统称为 .
（2）认识正数与负数：
①正数：像1，1.1，175
，2008等大于 的数，叫做 .
②负数：像-1，-1.1，-175
，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫
注意： 都大于零， 都小于零.“0”即不是 ，
也不是 .
（3）用正数、负数表示相反意义的量：
如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其 意
义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其 意
义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向 走3
米； 若+6米表示上升6米，则-2米表示 ；+7C 表示零
注意：0既不是_______，也不是____
上7C ，-7C 则表示.
（4）有理数“0”的作用：
作用举例
表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数
表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C表示冰点
表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数
（二）数轴
（1）概念：规定了、和
的直线
注：①、、称为数轴
的三要素，三者缺一不可.
②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度
量单位的，后者指所取度量单位的，
即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线
段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度
一旦确定，则不能再改变.
（2）数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为：
③确定向右的方向为，用表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标
注各数，同时要注意同一数轴的要一致.
⑤数轴画法的常见错误举例：
错例原因
不统一
没有 （3）有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的 表示出来.在数轴上，右
边的点所对应的数总比左边的点所对应的数 ，正数都大
于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都是有理数，如π.
（三）相反数
（1）相反数：只有 的两个数互称为相反数．特
别地，0的相反数是
；若a 与b 互为相反数，则___a b += ，反之亦然 .
（2）相反数的性质：
①代数意义：只有 的两个数叫做互为相反数，
特别地，O 的相反数是0．相反数必须 出现，不能
单独存在．例如+5和 互为相反数，或者说+5是 的相
反数，－5是 的相反数，而单独的一个数不能说
是 ．另外，定义中的“只有”指除 以外，两个
数 ，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3
互为相反数，而+3与－2虽然
不同，但它们不是相反数．
②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于 两
侧，并且到原点的 相等．这两点是关于 对
称的．
③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上
“”号即可．一般地，数a的相反数是；
这里以a表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是．注意：当a＞0时，－a 0(正数的相反数是数)；
当a=0时，－a O(0的相反数是)；
当a＜0时， a O (负数的相反数是)．
④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互
为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．
⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，
都可以全部；一个正数前面有个“－”
号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“负正”
（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，
“负正”是指化简的最后结果的.
（四）绝对值
（1）绝对值的代数意义及几何意义
①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；
一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是.
②绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示
数a的与
的距离.数a的绝对值记作.
注意：
①取绝对值也是一种 ，这个 符号是
“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质 绝对
值符号.
②绝对值具有 性，取绝对值的结果总
是 .
③任何一个有理数都是由 部分组成： 和
它的 ，如：－5，符号是 ，绝对值
是 .
（2）字母a 的绝对值的分类
___,()___,(0)
___,(0)a o a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩ 或___,(0)___,(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 或
___,(0)___,(0)a a a >⎧=⎨≤⎩
（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小
规则：两个负数，绝对值大的反而 .
步骤：①计算两个负数的 .
②比较这两个 的大小.
③写出正确的判断结果.
④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都
必为 .
例如：若
0,____,_a b c a b c ++====则 知识点二：有理数运算
（一）有理数比较大小
（1）数轴上的数，右边的数总 左边的数．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数，绝对值大的反而 ；
（4）两数比较大小，可按符号情况分类：
0⎧⎧
⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：__________大的数大
两数同号同负：__________大的反而小
比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0
其中有时负数与0：_______小于0
（二）有理数的加减法
（1）有理数加法法则
①同号两数相加，取相同的 ，并把绝对
值 .
②绝对值不相等的异号两数相加，取 的加
数的符号，并用较大的 减去较小
的 .
③一个数同0相加，仍得 .
（2）有理数加法的运算步骤
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得
到加法的运算步骤：
①确定和的 ；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值
的 .
（3）有理数加法的运算律
①两个加数相加，交换加数的位置， 不变.即
a+b=b+a(加法
律
)
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.
即(a+b)+c=a+(b+c)（加法律）
（4）有理数加法的运算技巧
①分数与小数均有时，应先化为形式.
②带分数可分为与两部分参与运算.
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合
得
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥相同的数可以先结合在一起.
（5）有理数减法法则
减去一个数，等于，即a-b=a+( )
（6）有理数减法的运算步骤
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.
（7）有理数加减混合运算的步骤
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：
根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运
算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书
写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和
的形式，例如：
（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。

（三）有理数的乘除法
（1）有理数乘法法则
两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.
任何数同相乘，都得0.
（2）有理数乘法的运算律
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab= （乘法结合律）
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
即abc= （乘法结合律）
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个
数相乘，再把积相加. 即a(b+c)= （乘法分配
律）
（3）有理数乘法法则的推广
①几个不等于0的数相乘，积的符号由的
个数决定，当
的个数是偶数时，积为；
的个数是奇数时，积为.
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.
在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.
（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的。

即
a÷b=a·(b≠0)
两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，
除以任何一个不等于0的数，都得0.
（5）倒数及有理数除法
①乘积为的两个数互为倒数。

倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没有倒数；
求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为1的分数）。

ab=；,a b互为负倒数，则注意：,a b互为倒数，则___
ab=。

反之亦然.
____
②有理数除法的运算步骤：
首先确定商的，然后再求出商的绝对值.
（四）有理数的乘方
（1）概念：求n个相同因数的积的运算，叫做，
a中，a叫做，n叫
的结果叫做，在n
做.
a中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，（2）含义：n
n
a表示有
相乘.例如：53表示3×3×3×3×3，(-3)5表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号. 如(-2)7表示相乘，而-27则表示7个2相
乘的积的。

当n为奇数时，(-a)n= ；而当n为偶数时，(-a)n= .
注意：负数的奇次幂是，负数的幂是正数。

正数的任何次幂都是，0的任何次幂都
是，任何不为0的数的0次幂都是.
（3）“奇负偶正”口诀的应用
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：
－[－（－3）]= ，－[+（－3）]= .
②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是
负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）= ，而（－3）×（－2）×6= .
③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，
指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（－3）2= ，（－3）3= .
（4）有理数混合运算的运算顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大
括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及
开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进
行；不同级运算，应先算 级运算，然后 级，最
后 级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，
应先算___括号里的，再算 括号里的，最后算
括号里的. 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）
到低（级），从小（括号）到大（括号）”.
（五）近似数、有效数字和科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成
的形式（其中_____a ≤< ，n 是整数），此种记数法叫做科学
记数法.例如：200000=5210⨯就是科学记数法表示数的形式. 又
如：10200000= 也是.
（2）有效数字：从一个数的左边第一个 数字起，到
止，所有数字都是这个数的 。

如：0.00027有
个有效数字：_____________;
1.2027有 个有效数字： .
注意：万= ，亿=
类型一：正数与负数的意义
例1．一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定
为正，那么走
6km ，走-4.5km ，走0km 的意义各是什么？
举一反三：
【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作
+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台
空调，又该怎样记录这笔支出呢?
解析：
☆【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、
0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超
过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？
解析：
类型二：有理数的分类
例2．把下列各数填入相应的括号内：+6，0.35，41
-，-1，-7.82，
0，97，65
2-.
整数集合：
｛ …｝；
非负集合：
｛ …｝；
分数集合：
｛ …｝；
负数集合：
｛ …｝.
（1）最小的正整数是 ：最大的负整数是 ；
最小的整数是 ；最小的正数是 ；最
大的负数是 ；最小的有理数 ；绝对
值最小的有理数是 。

（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；
一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ；一个数
的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的
倒数等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于
它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它的绝对
值，这个数是 ；一个数的平方等于它的相反数，
这个数是 ；一个数的立方等于它本身，这个数
是 。

类型三：多重符号的化简
例3、化简下列各数：
)]}
2([{)4()]5([)3()514()2()2
13()1(+-+-----+-- 思路点拨：多重符号的化简是由“ ”的个数来定，若“-”个数是
个时，化简结果为正；若 “-”个数是奇数个时，化简结果为 。

【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：
(1)-[-(-3)] (2)+{-[-(+5)]}；
(3)-{-{-…-(-6)}}（共n 个负号）．
答案：
类型四：有理数的大小比较
例4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ <”连接起来；
2
,41
1,0,21
2,21
1,4,31
3---
思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对
应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用
“ <”连接起来.
举一反三：
【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小 .
（1）-0.6，-60 （2）2
3
4
,,345---
思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的 ，关键是比较
绝对值的大小，绝对值大的反而 ，比较分数大小，一般要
化成同 的分数来比较.
解：
类型五：绝对值的概念
例5．若3a -+|2b+5|=0,计算2a-b 的值.
思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求
出a,b 值。

解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】若a b <，化简：
15___________.b a a b -+---=
解析：
【变式2】代数式|2||3|x x ++-的最小值
为 。

解析：
【变式3】a ，b 在数轴上的位置如图
（1）化简：||______a b += |1|________
b -=。

（2）比较大小：10a +；a b a b -+。

解析：
类型六：相反数，倒数的概念
☆例6．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0e <且||1e =，
那么200920082007()()ab c d e --+-的值为 。

思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和
为 ，互为倒数的两数之积为 .
解析：
总结升华：
举一反三：
☆☆【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a
的形式，又可表示为0，b a ，b 的形式，且x 的绝对值为2，
求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值
解析：
类型七：有理数的混合运算
例7、计算⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⨯-⨯+-÷+-81)]167(3)41[(521465122
思路点拨：本题有五种运算， ．因为有括
号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算________，接着算
_________法，再算_______法．注意除法运算，要把除法转化为
__________．
解：
总结升华：
举一反三：
【变式】计算下列各式的值：
（1）22133(3)33
--+-÷⨯； （2）111111112345⎧⎫⎡⎤⎛⎫----⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭
；
（3）225117832[()10.25]199[()2]7148923
-÷⨯-⨯-⨯--； （4）2315
5115(1)()()(2)()299229
-⨯---⨯-+-⨯； （5）1023(0.25)(2)-⨯-
解析：
类型八：科学计数法，有效数字与近似数
例8．某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比
上一年增长10%，则2009年这个市的国民生产总值应是（结果
保留3个有效数字） 元。

解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】国家AAAA 级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米，
81.2亿这个数用科学记数法表示为 立方米。

答案：
【变式2】62.02910⨯精确到万位为： ,有效数字
为： .
答案：
类型九：规律探索
例9．观察下列式子：
2221112,2223,3334,......
+=⨯+=⨯+=⨯ 请你将猜想到的规律用自然数n 表示出来
思路点拨：发现已给出的几个式子的规律：等号左边
是 ，右边
是 . 本题考查的知识点是有理数的乘
方运算能力及归纳的思想方法。

解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】观察下列等式：9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
……
这些等式反映自然数间的某种规律，设(1)n n ≥表示自然数，
用关于n 的等式表示这个规律为 ．
解析：
【变式2】（1）在一列数：2，23-，34，45-，56…中，第n 个
数（n 为正整数）是 。

（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，…，它的第2009
个数是（ ）
A ．20072
B ．200721-
C ．20082
D ．20092
解析：
【变式3】观察下列各式：
3211=
332123+=
33332123410+++=
……
猜想：33312310+++⋅⋅⋅+=３ 。

答案：
【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数
据如下表： 输入 1 2 3 4 5 …
输出 12 25 310 417 526 …
那么，当输入数据是8时，输出的数据是 ；当输入
数据是n （n 是正整数）时，输出的数据是 。

解析：
【变式5】观察：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯将以上三个等式两边分别相加得：
1
1
1
1111113
111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯。

①猜想并写出：1
(1)n n =
+ 。

②直接写出下列各式的计算结果：
1
1
11
12233420062007+++⋅⋅⋅+=
⨯⨯⨯⨯。

111
1
122334(1)n n +++⋅⋅⋅+=
⨯⨯⨯+ 。

③探究计算：1
11124466820062008
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯。

答案：
（一）正确理解正数和负数的意义
比0大的数叫做 ；在正数前面加上“－”号的数叫做 ；0既不是 ，也不是 .正数和负数通常表示具有 的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .
（二）理解数集的概念
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称 。

.所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做 ，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .
（三）掌握多重符号的化简规律
括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数 ，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成 . 在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数 ；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的 。

（这个内容我们将在第二章学习）
（四）会比较两个负有理数的大小
两个负有理数的大小比较与其它有理数一样，可以利用数轴来进行比较，右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较，还可以利用 来进行，绝对值大的反而小 .
（五）掌握有关绝对值的计算及化简
正数的绝对值是 ； 的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.
即：
（六）掌握有理数的运算法则
有理数的混合运算，一定要按顺序进行：先 ，再 ，最后 ，如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号. ⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a。