天津市和平区高三下学期第二次质量调查数学(理)试卷 W

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
∙如果事件
B A ，互斥,那么
∙如果事件
B A ，相互独立,那么
)()()(B P A P B A P += .
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.
∙锥体的体积公式13V
Sh =,其中S 表示
∙球的体积公式3
43
V R π=,其中R 表示 锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合1{-=x A ≤}4<x ,}034{2
<+-=x x x B ,则)(
B A R
可表示为
（A ）)4,3()1,1[ - （B ）)4,3[]1,1[ - （C ）)3,1( （D ）),(+∞-∞
（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧+-+--+，
，01022,
04y kx y x y x 其中21
>k ,若目标函数y x z -=的最小值
大于3-,则k 的取值范围是
（A ）)3,21
(
（B ）),3(+∞ （C ）)5,2
1
(
（D ）),5(+∞
（3）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的S 值是 （A ）12 （B ）16 （C ）24
（D ）32
（4）设∈x R ,则“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）已知直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧=-=t y t x 31
4（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为θρsin 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为 （A ）5
（B ）22
（C ）32
（D ）52
（6）如图,圆O 的两条弦AB 与CD 相交于点E ,圆O 的
切线CF 交AB 的延长线于F 点,且2:3:=EB AE ,
CF EF =,2=CE ,23=ED ,则CF 的长为
（A ）6
（B ）5 （C ）62
（D ）52
（7）已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21F F 、,其一条渐近线
为02=+y x ,点M 在双曲线上,且x MF ⊥1轴,若2F 同时为抛物线x y 122=的焦点,则1F 到直线M F 2的距离为 （A ）
5
6
3 （B ）
6
6
5 （C ）
6
5
（D ）
5
6 （8）已知2()log 2g x x x =--的三个零点为c b a ,,且c b a <<,若2()log f x x =, 则
)(),(),(c f b f a f 的大小关系为
（A ）)()()(c f a f b f << （B ）)()()(a f c f b f << （C ）)()()(c f b f a f <<
（D ）)()()(b f a f c f <<
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. （9）若a 是复数)3)(1(1ｉｉ+-=z 的虚部,b 是复数ｉ
ｉ
-+=
212z 的实部,则ab 等于 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体
的体积为 cm ³.
≥ ≤ ≤
∙
C
F
B
A
D E O
俯视图
侧视图
正视图
（11）曲线x y 1=与直线e x 1
=、直线e x =及x 轴所围成的封闭图形的面积等于 .
（12）已知n x
x )2
(2-的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项
是 .
（13）在△ABC 中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知b c 32=,B A sin 2sin =,
则
B
A
cos cos 的值为 . （14）已知菱形ABCD 的边长为1,︒=∠120BAD ,若λ=,DC DF 1
1
+λ=
,其中 10<λ<,则AF AE ⋅的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知函数)cos(sin cos 3)(2x x x x f -π-=,∈x R . （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）求)(x f 在区间]44[π
π-，上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）
一个袋子中有k 个红球, 4个绿球, 2个黄球,这些球除颜色外其他完全相同. 从中一次随机取出2个球, 每取得1个红球记1分、取得1个绿球记2分、取得1个黄球记5分,用随机变量X 表示取到2个球的总得分,已知总得分是2分的概率为
12
1
. （Ⅰ）求袋子中红球的个数； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为正方形,
⊥SA 平面ABCD ,E 为SC 的中点,F 为AC 上一点,且
2=AB ,22=SA .
（Ⅰ）求证:BD EF ⊥；
（Ⅱ）若//EF 平面SBD ,试确定F 点的位置；
（Ⅲ）求二面角D SC B --的余弦值. （18）（本小题满分13分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,且2
11n
n S a -=+. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若)}2
1
({n n n S +
+λ为等差数列,求λ的值. （19）（本小题满分14分）
设椭圆1:22
22=+b
y a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别为21F F 、,且)0,(a A 、),0(b B
满足条件212
2
F F AB =
. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若坐标原点O 到直线AB 的距离为
2
3
3,求椭圆C 的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,过点)1,2(-P 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点,且点P 恰为线段MN 的中点,求直线l 的方程.
（20）（本小题满分14分）
已知函数x x
a
ax x f ln 24)(--
=. （Ⅰ）当1=a 时,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数)(x f 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数x
e
x g 6)(=
,若在区间],1[e 上至少存在一点0x ,使得)()(00x g x f >成立,D
C
B
A
S
E
F
∙
∙
求实数a的取值范围.
和平区2015-2016学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学（理）学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）D （4）B （5）C （6）A （7）D （8）A 二、填空题 （每小题5分，共30分）
（9）52- （10）245π （11）2 （12）180 （13）7
2
- （14）26-
三、解答题 （本大题共6小题，共80分） （15）（本题13分）
（Ⅰ）解: 因为)cos (sin 21
2cos 3)(x x x x f -⋅-+⋅=
x x 2sin 2
1232cos 23++= 2
3
)62sin(+
π+=x . ………………………（2 分） 所以,)(x f 的最小正周期π=π
=2
2T .
………………………（3 分） 由π+π-k 22≤62π+x ≤π+πk 22,∈k Z ,可得π+π-k 3≤x ≤π+π
k 6
,∈k Z ,
故)(x f 的单调递增区间为]6
,3[π+π
π+π-k k ,∈k Z . …………………（6 分）
由π+πk 22≤62π+x ≤π+πk 223,∈k Z ,可得π+πk 6≤x ≤π+πk 3
2,∈k Z , 故)(x f 的单调递减区间为]32,6[π+π
π+πk k ,∈k Z . …………………（9 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）可知,)(x f 在区间]64[ππ-，上单调递增,在区间]4
6[π
π，上单调递减,
0)4(=π-f ,231)6(+
=πf ,3)4
(=π
f . ………………………（12分） 所以)(x f 在区间]4
4[π
π-，上的最大值为231+,最小值为0. ………（13分）
（16）（本题13分）
（Ⅰ）解: 当取到的2个球都是红球时,总得分是2分,
即12
1
)2(262===+k k C C X P , ………………………（2 分）
化简得03023112=--k k ,即0)1011)(3(=+-k k , ………………………（3 分）
解得3=k 或11
10
-=k （舍去）. 故袋子中有3个红球. ……………（4 分）
（Ⅱ）解: 依题意,X 的所有可能取值为107,6,4,3,2，
. ………………………（5 分） 121
)2(==X P ,313643)3(291413=⨯===C C C X P ,61366)4(2
9
2
4====C C X P , 613623)6(291213=⨯===C C C X P ,92
3624)7(2
9
1214=⨯===C C C X P , 36
1
)10(292
2===C C X P . ………………………（10分）
∴X 的分布列为：
………（11分）
n n n m n n m
m 3
14
361109276166143131212)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=X E . ……………（13分） （17）（本题13分）
以A 为原点, AB 、AD 、AS 所在直线分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系.
则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,2,2(C ,)0,2,0(D ,)22,0,0(S ,)2,1,1(E ,
)0,,(a a F ,其中220<<a . …………………（2
（Ⅰ）证明: ∵)2,1,1(---=a a EF ,)0,2,2(-=BD , ∴0)2(0)1(2)1(2=-⨯+-+--=⋅a a .
∴BD EF ⊥. …………………（5 （Ⅱ）解: 设AC 与BD 的交点为G ,则)0,1,1(G ,连接SG ,
)2,1,1(---=a a ,)22,1,1(-=, 若使//EF 平面SBD ,只需SG EF //,
只需2221111--=-=-a a ,即32a =. ………（7 分） 故当F 点坐标为33
(,,0)22
时,//EF 平面SBD . ………………………（8 分）
（Ⅲ）解: 设平面SBC 的一个法向量为=n ),,(z y x ,
而)22,2,2(-=SC ,)0,2,0(=BC ,
则⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅=⋅00,即⎪⎩⎪⎨⎧==-+0202222y z y x ,取1=z ,得=n )1,0,2(. …（10分）
同理可得平面SCD 的一个法向量为=m )1,2,0(. ………………………（11分）
易知所求二面角是锐角,则3
1
33100,cos =⋅++=
⋅⋅=
〉〈. 故二面角D SC B --的余弦值为3
1
. ………………………（13分）
（18）（本题13分）
（Ⅰ）解: 依题意,可得122+-=n n a S , ①
当n ≥2时,n n a S 221-=-, ② ………………………（1 分） ①-②,得122+-=n n n a a a , ………………………（3 分） 故2
1
1=+n n a a （n ≥2）. ………………………（4 分）
因为11=a ,2
1
2112=-=a a , ………………………（5 分）
所以}{n a 是首项为1,公比为21的等比数列,故1)21
(-=n n a . ………（6 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）可得12122
11)21(1--=--=
n n
n S . ………………………（8 分） 由)}21
({n n n S ++λ为等差数列,
则)211(1++λS ,)412(2++λS ,)81
3(3++λS 成等差数列. ……………（10分）
即8
2523)49(2312λ
λλ+
++=+S S S ,
故82547231)4923(2λλλ+
++=+, ………………………（12分） 解得2=λ.
………………………（13分）
（19）（本题14分） （Ⅰ）解: 依题意,得222
b a AB +=,而
c c AB 222
2
=⋅=
, ………………………（2 分） 则有)(2222222c a a b a c -+=+=,即2232c a =,故a c 3
6
=,
………（3 分） 所以离心率3
6
==a c e . ………………………（4 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）可得a a a c a b 3
3
322222=-=-=, ………………………（5 分）
直线AB 的截距式方程为1=+b
y
a x ,即0=-+a
b ay bx , ……………（6 分）
依题意,得23
322=+a
b ab , ………………………（7 分） 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+,33,2
3322a b b a ab 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,33b a ………………………（9 分）
所以椭圆C 的方程的方程为19
272
2=+y x . ………………………（10分）
（Ⅲ）解: 设N M 、两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ,
依题意,可知21x x ≠,且19
272121=+y x ,192722
22=+y x , ………………………（11分）
两式相减,得12121212()()()()
0279
x x x x y y y y -+-++=. …………………（12分）
因为)1,2(-P 是线段MN 的中点,所以421-=+x x ,221=+y y ,
则有
322121=--x x y y ,即直线l 的斜率为3
2
,且直线l 过点)1,2(-P , ………（13分）
故直线l 的方程为)2(3
2
1+=-x y ,即0732=+-y x . …………………（14分）
（20）（本题14分）
（Ⅰ）解: 当1=a 时,x x
x x f ln 21
4)(--=,31ln 214)1(=--=f , …………………（1 分）
x x
x f 2
14)('2-+=,
………………………（2 分） 曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的斜率为3)1('=f , ………………………（3 分）
故曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(33-=-x y , 即x y 3=.
………………………（4 分） （Ⅱ）解: 2
222424)('x a
x ax x x a a x f +-=-+=.
………………………（5 分）
令a x ax x h +-=24)(2,要使)(x f 在定义域),0(+∞内是增函数, 只需)(x h ≥0在区间),0(+∞内恒成立.
………………………（6 分）
依题意0>a ,此时a x ax x h +-=24)(2的图象为开口向上的抛物线,
)41()41(4)(2a
a a x a x h -+-
=, 其对称轴方程为1(0,)4x a
=∈+∞,a a x h 41
)(min -
=, 则只需a a 41-≥0,即a ≥2
1
时,)(x h ≥0,)('x f ≥0, …………………（8 分）
所以)(x f 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是),2
1
[+∞. ………（9 分）
（Ⅲ）解: 构造函数)()()(x g x f x -=ϕ,],1[e x ∈,依题意0)(max >x ϕ, ……………（10分）
由（Ⅱ）可知a ≥
21
时,)()()(x g x f x -=ϕ为单调递增函数, 即x
e
x x x a x 6ln 2)14()(---=ϕ在],1[e 上单调递增, …………………（12分）
08)14()()(max >--==e e a e x ϕϕ,则21
24814822>=>->e e
e e e a ,
此时,0)()()(>-=e g e f e ϕ,即)()(e g e f >成立. 当a ≤
1
482
-e e 时,因为],1[e x ∈,01
4>-x x , 故当x 值取定后,)(x ϕ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则)(x ϕ≤
x e
x x x e e 6ln 2)14(1
482-
---,],1[e x ∈, 故)(x ϕ≤06ln 2)14(1
482=----e e
e e e e e ,
即)(x f ≤)(x g ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是),1
48(
2
+∞-e e
. ………………………（14分）。