二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题

y 1 x2 x 4，对称轴为直线x 1 2
学霸数学
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
P2
1.CA=CP
Ｃ
D
以C为圆心CA为半径作圆，设P1(1, a)P2 (1,b) 由勾股定理得 (4 a)2 1 2 5, (b 4)2 1 2 5 a 4 19,b 4 19 P1(1, 4 19)P2 (1, 4 19)
例１：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（１，１）在坐标轴上 确定一点Ｐ，使 Δ ＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
y
P
O
x
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例１：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（１，１）在坐标轴上 确定一点Ｐ，使 Δ ＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
Ｃ
Dபைடு நூலகம்
P5
A
E
作AC的垂直平分线与对称轴的交点即为Ｐ PCD APE，PE=1故P5(1,1)
学霸数学
(0, 2)( 2, 0)(0, 2)( 2, 0)
O
x
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例１：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（１，１）在坐标轴上 确定一点Ｐ，使 Δ ＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
y P
1.若PA=PO 连接OP，画OP的垂直平分线 (1, 0)(0,1)
解决方法：
1.解法一：用变量表达两腰长，利用相等建立方程。 表达边长时，可以使用勾股定理，也可以使用两点间的距离公 式 A(x1, y1), B(x2, y2 )则AB= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2.解法二：利用“三线合一”
A
若AB=AC，则BC=2BE
B
C
E
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
y A
O
x
(6, 0)(0,8)
y A
O
x
(5, 0)(0, 5)(-5, 0)(0, -5)
y A
O
x
( 25 , 0)(0, 25)
6
4
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
第三类讨论
方法一：设x轴上的P(a, 0)由PA=PO得
y
a2 16 (a 3)2, a 7 故P( 25 , 0) 66
y A
1.若AO=AP 以A为圆心，AO为半径作圆，与坐标轴的交点即为所求 (0, 2)(2, 0)
O
Px
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例１：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（１，１）在坐标轴上 确定一点Ｐ，使 Δ ＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
y A
1.若OA=OP 以O为圆心，OA为半径作圆，与坐标轴的交点即为所求
6
8
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例２：在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 bx c的图像与 x轴交于点A(-2,0)B(4,0),与y轴交于点C(0,4)直线l是抛物线的对称轴 与x轴交于点Ｄ，点Ｐ是对称轴上一动点 １.求此抛物线的表达式 2.求一点Ｐ使ACP为等腰三角形，求出Ｐ点坐标；
A
P1
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
Ｃ
P3 A
2.AC=AP
以C为圆心CA为半径作圆，设P3(1, c)P4 (1, d) 由勾股定理得 c2 32 2 5, d 2 32 2 5 c 11, d 11 P3(1, 11)P4 (1, 11)
P4
学霸数学
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题 3.PA=PC
O
x
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例2：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（3，4） 在坐标轴上确 定一点Ｐ，使 ΔＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
y
A
O
x
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例2：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（3，4） 在坐标轴上确 定一点Ｐ，使 ΔＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
1.等腰三角形存在性问题解决方法； 2.二次函数背景下的等腰三角形问题；
学霸数学
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
A
B
C
分类讨论：一般情况下分三种情况进行讨论
1.AB=AC; 2.BA=BC; 3.CA=CB
学霸数学 二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
同理设y轴上的P(0, b)由PA=PO得
A
O
x
( 25 , 0)(0, 25)
6
4
b2 (4 b)2 9,b 25 P(0, 25)
8
8
方法二：OA的中点为( 3 , 2),直线OA：y 4 x
2
3
OA的垂直平分线y 3 x b, 将中点代入得b= 25
4
8
与x、y轴的交点分别是( 25 , 0)(0, 25)