2018版高中数学苏教版选修2-1学案：第二章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线 Word版含答案

[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．
知识点一椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
知识点二双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点三抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
思考
1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.
2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？
答案是双曲线一支．
题型一椭圆定义的应用
例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.
又BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ，
所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B 、C ，焦距为10.
反思与感悟 本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A 满足的条件．注意A 、B 、C 三点要构成三角形，轨迹要除去两点．
跟踪训练1 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆．
证明 设MB ＝r .
∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，
∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，
即MA ＋MB ＝10(大于AB )．
∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．
题型二 双曲线定义的应用
例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．
解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .
因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①
又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②
②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.
所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．
反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．
跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12
sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？。