2019年高考试题汇编理科数学--数列(2021年整理精品文档)

2019年高考试题汇编理科数学--数列
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（2019全国1理）9。

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。

已知40S =，55a =，则（ ） A 。

25n a n =- B 。

310n a n =- C 。

228n S n n =- D 。

2122
n S n n =- 答案： A 解析：
依题意有415146045
S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,可得13
2a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-,24n S n n =-.
（2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113
a =，2
46a a =，则5S = .
答案： 5S =
121
3
解答:
∵113
a =,2
46a a =
设等比数列公比为q
∴325
11()a q a q =
∴3q = ∴5S =
121
3
2019全国2理）19。

已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，
01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列; （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式。

答案： （1）见解析
（2）2
1)2
1
(-+=n a n n ，2
1)2
1(+-=n b n n 。

解析：
(1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2
1的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ,
整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列。

（2）由{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列可得1)2
1(-=+n n n b a ①； 由{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②; ①②相加化简得21)21(-+=n a n n ，①②相减化简得2
1)21(+-=n b n n 。

(2019全国3理)5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+,则3a =（）
A 。

16
B 。

8 C. 4 D. 2 答案:
C 解答：
设该等比数列的首项1a ，公比q ,由已知得，4211134a q a q a =+, 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=， 即可解得11a =,则2314a a q ==。

（2019全国3理)14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠,213a a =，则10
5
S S = . 答案：
4
解析:
设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，
∴()
()()1101101551102292102452452
a a a d S d a a S a d d ++⨯====++。

(2019北京理）10。

设等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2=−3,S 5=−10，则a 5=__________，
S n 的最小值为__________．
【答案】 （1). 0. （2）. -10. 【解析】 【分析】
首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律，得到和的最小值。

【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-，得322,3a a =-=-，公差321d a a =-=，5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时，0n a ≤，6n ≥时,n a 大于0，所以n S 的最小值为4S 或5S ，即为10-。

【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大，注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查。

(2019北京理）20.已知数列{a n ｝,从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1〈i 2〈…<i m ），若
12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<,则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n ｝的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n ｝的
任意一项都是{a n ｝的长度为1的递增子列．
（Ⅰ)写出数列1，8，3，7,5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{a n ｝的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0
m a ，长度为q 的递增子列的末
项的最小值为0
n a .若p <q ,求证：0
m a <0
n a ；
（Ⅲ)设无穷数列{a n ｝的各项均为正整数,且任意两项均不相等。

若｛a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2
s —1
个（s =1，2，…），求
数列{a n ｝的通项公式． 【答案】（Ⅰ) 1,3，5,6. (Ⅱ）见解析； (Ⅲ)见解析。

【解析】 【分析】
(Ⅰ）由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； （Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；
（Ⅲ）观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.
【详解】（Ⅰ）满足题意的一个长度为4的递增子列为：1，3,5,6. （Ⅱ)对于每一个长度为q 的递增子列12,,
q a a a ，都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列
12,,
p a a a ，此时p q a a ≤，
设所有长度为q 的子列的末项分别为:{}123,,,q q q a a a , 所有长度为p 的子列的末项分别为：{
}123,,,p p p a a a ，
则{}0123min ,,,
n q q q a a a a =， 注意到长度为p 的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列, 故{
}0123min ,,,m p p p a a a a ≤，
据此可得：0
m n a a <
（Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,n n n a n n -⎧==⎨
+⎩
为偶数
为奇数，
下面说明此数列满足题意。

很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等。

长度为s 的递增子列末项的最小值为2s —1，
下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s —1的递增子列恰有12s -个()1,2,s =：
当1n =时命题显然成立，
假设当n k =时命题成立，即长度为k 末项为2k —1的递增子列恰有12k -个, 则当1n k =+时,对于n k =时得到的每一个子列1
2
1,,
,,21k s s s a a a k --，
可构造：()121,,,,21,211k s s s a a a k k --+-和()121,,,,2,211k s s s a a a k k -+-两个满足题意的递增子列,
则长度为k +1末项为2k +1的递增子列恰有()1112222k k k +--⨯==个， 综上可得,数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,n n n a n n -⎧==⎨
+⎩为偶数为奇数
是一个满足题意的数列的通项公式。

注：当3s =时，所有满足题意的数列为:{}{}{}{}2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5， 当4s =时，数列{}2,3,5对应的两个递增子列为:{}2,3,5,7和{}2,3,6,7.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

（2019天津理）19.设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.
(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,
k k n k
k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}
221n
n
a c -的通项公式；
（ii ）求()2*
1
n
i i
i a c n =∈∑N .
【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32n
n b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n
n
n a c -=⨯-（ii ）
()()2*
21
1*
1
272
5212
n
n n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可;
（Ⅱ）结合(Ⅰ）中的结论可得数列(){}
221n
n
a c -的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数
列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得21
n
i i i a c =∑的值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q 。

依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩
，解得32d q =⎧⎨=⎩，
故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n n
n b -=⨯=⨯。

所以,{}n a 的通项公式为31n a n =+,{}n b 的通项公式为32n
n b =⨯。

(Ⅱ)（i )()()()()22211321321941n
n
n
n n n
n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-。

所以，数列(){}
221n
n
a c -的通项公式为()221941n
n
n
a c -=⨯-.
（ii ）()221
1
1n n i i i i i i i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()22221
1
1n n
i i i i i a a c ===+-∑∑
()2212432n n
n
⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭
()1941n i i =+⨯-∑ ()()21
1
41432
52
914
n n n n ---=⨯+⨯+⨯
--
()211*
2725212
n n n n N --=⨯+⨯--∈。

【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识。

考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力。

（2019上海)18．已知数列{}n a ，13a =,前n 项和为n S ． (1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；
（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞
<，求公比q 的取值范围．
【解答】解:（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=,
2(1)
3422
n n n S n n n -∴=+
⨯=+； （2）3(1)
1n n q S q
-=-,
lim n n S →∞
存在,11q ∴-<<，
∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3
lim lim 11n n n n q S q q →∞→∞-==
--， ∴
3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或3
04
q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-,0)(0⋃，3
)4
．
(2019上海）21．已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合
{}*|,n S x x b n N ==∈．
（1）若120,3
a d π
==
，求集合S ； （2）若12
a π
=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；
（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【解答】解：（1）
等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π,数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合
{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3
a d π
==
,
集合{S =,0． (2）12
a π
=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，
②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素,可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称,如图
OB ，OC ，此时23
d π
=
， 综上，23
d π=或者d π=．
（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． ②
当
4
T =时，
4n n
b b +=,
sin(4)sin n n
a d a +=，
42n n a d a k π
+=+,或者
42n n a d k a π+=-,
等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2
k d π
=,又1k ∴=,2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．
③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+,或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin
10
S π
=,1，sin }10
π
-满足题意．
④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=,
所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3． 当1k =时，33
{
}S =，满足题意． ⑤当7T =时,7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-,(0d ∈，
]π,故1k =，2,3
当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，
227
d m n ππ
=
=
-，7m n -=，7m >，不符合条件．
当2k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=，
247
d m n ππ
=
=
-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267
d m n
ππ==-,或者467
d m n
ππ==-，此时,m n -均不是整数，不符合题意．
综上，3T =,4，5，6．
（2019江苏)8.已知数列{a n ｝*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.
【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩
, 解得：152a d =-⎧⎨=⎩
,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题,从已知出发,构建1a d ,的方程组.
（2019江苏）20。

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”。

（1）已知等比数列｛a n ｝满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证：数列｛a n }为“M－数列”;
（2）已知数列｛b n ｝满足:11
1221,
n n n b S b b +==-，其中S n 为数列｛b n ｝的前n 项和． ①求数列｛b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列"｛c n }(n ∈N ＊),对任意正整数k ，当k ≤m 时,都有1
k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．
【答案】（1）见解析;
(2)①b n =n ()*n ∈N ；②5.
【解析】
【分析】
(1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；
（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式; ②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．
【详解】（1）设等比数列｛a n ｝的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0。

由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得2441121
11440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩． 因此数列{}n a 为“M —数列"。

（2）①因为1
122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得2
12211b =-,则22b =. 由1
122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-，得()()
111122n n n n n n n n n b b b b b b b b b +-+-=
---, 整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*
n N ∈。

②由①知，b k =k ，*k N ∈。

因为数列{c n ｝为“M –数列”,设公比为q ，所以c 1=1,q 〉0.
因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2,3,…，m 。

当k =1时，有q ≥1;
当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1
k k q k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()x f 'x x
-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：
因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3
f k f ==．
取q =k =1,2，3，4，5时，
ln ln k q k
≤,即k k q ≤, 经检验知1k q k -≤也成立．
因此所求m 的最大值不小于5． 若m ≥6,分别取k =3,6，得3≤q 3,且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15
≤216，
所以q 不存在。

因此所求m 的最大值小于6。

综上,所求m 的最大值为5．
【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、
转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ，则（ )
A. 当101,102b a => B 。

当101,104b a => C 。

当102,10b a =->
D 。

当104,10b a =->
【答案】A
【解析】
【分析】 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查。

本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.
【详解】选项B:不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭
时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭， 排除
如图，若a 为不动点12
则12n a = 选项C ：不动点满足2
2192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝
⎭,不动点为ax 12-, 令2a =,则210n a =<，
排除
选项D:不动点满足2
21174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为17122x =±，令17122a =±，则171102
n a =±<，排除。

选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216
a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；
处理二：当4n ≥时,2
21112n n
n a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则
12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭,则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

故选A
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.
20。

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.
（1)求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n C n *=∈N
证明：12+.n C C C n *++<∈N
【答案】（1）()21n a n =-,()1n b n n =+；（2）证明见解析。

【解析】
【分析】
(1）首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；
(2)结合(1）的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩
，解得：102a d =⎧⎨=⎩，
则数列{}n a 的通项公式为。

其前n 项和()()02212n n n S n n +-⨯==-。

则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：
()()()()2
1112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 据此有:
()()()()()()()()2
222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()
()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2）结合(1）中的通项公式可得：
2n C ==<=<=, 则()()()
12210221212n C C C n n n +++<-+-++--= 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，,裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。