2023春半导体物理习题课

2023春半导体物理习题课第二章载流子中的平衡统计分布
⚫
当E −E F 为1.5k 0T ，4k 0T ，10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占
据各该能级的概率。

根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律。

对于能量为E 的一个量子态被电子占据的概率f(E)为
f E =
1
1+
e E−E F k 0T
当E −E F ≫k 0T 时，e
E−E F k 0T
≫1，此时费米分布(简并系统) 可以近似为玻尔兹曼分布(非简并系统)
f B E =
e −
E−E F k 0T
当E −E F =1.5k 0T ，f E =0.1824，f B E =0.2231；
当E −E F =4k 0T ，f E =0.01799，f B E =0.01832；
当E −E F =10k 0T ，f E =4.540×10−5，f B E =4.540×10−5；
在半导体中，E F 一般位于禁带中且与允带距离较远，因此一般可以认为E −E F ≫k 0T 。

3-3 电子的统计分布
①在室温下，锗的有效状态密度N c=1.05×1019cm−3，N v=3.9×1018cm−3，试求锗的载
流子有效质量m n∗，m p∗。

计算77K时的N c和N v。

已知300K时，E g=0.67eV。

77K时
E g=0.76eV。

求这两个温度时锗的本征载流子浓度。

以导带有效状态密度N c举例，它是把导带中所有量子态都集中在导带底E c时的状态密度，此时导带中的电子浓度是N c中有电子占据的量子态数，有效状态密度表达式为
N c=2(2πm n∗k0T)
Τ32
ℎ3，N v=2(2πm p∗k0T)Τ32
ℎ3
由此可算出m n∗=1
2πk0T
N cℎ3
2
Τ
23
=5.0968×10−31kg=0.5596m0
m p∗=1
2πk0T
N vℎ3
2
Τ
23
=2.6336×10−31kg=0.2892m0
①在室温下，锗的有效状态密度N c=1.05×1019cm−3，N v=3.9×1018cm−3，试求锗的载
流子有效质量m n∗，m p∗。

计算77K时的N c和N v。

已知300K时，E g=0.67eV。

77K时
E g=0.76eV。

求这两个温度时锗的本征载流子浓度。

由于有效质量随温度的变化很小，因此由N c和N v表达式可得
N c(T=77K) N c(T=300K)=77
300
3
2，N v(T=77K)
N v(T=300K)
=77
300
3
2
可得当T=77K时，N c=1.365×1018cm−3，N v=5.071×1017cm−3；本征载流子浓度
n i=N c N v∙e−E g
2k0T
当T=300K时，n i=1.5064×1013cm−3；
当T=77K时，n i=1.1132×10−7cm−3。

TIPS：常温(300K)下k0T=0.02585eV。

②77K 时，锗的电子浓度为1017cm −3，假定受主浓度为零，而E c −E D =0.01eV ，求锗中施
主浓度N D 为多少？
由①中可知，77K 时的本征载流子浓度很小，可以忽略不记，因此可以近似认为电离施主浓度等于锗中
的电子浓度
n 0≈
n D
+=N D
1+g D e
−E D
−E F k 0
T
=N D
1+g D
e
−E D −E c +E c −E F k
0T =N D
1+
2e E c −E D
k 0T
∙n 0N c
由此可得
N D =n 01+
2e E c −E D k 0T ∙n 0N c
=1.6614×1017cm −3可以看到n D +
与N D 为同一数量级，因此此时并不处于低温弱电离区，不可以使用低温弱电离区的电子浓度
公式(式3−46,P70)。

⚫利用题3-7所给的N c和N v数值及E g=0.67eV，求温度为300K和500K时，含施主浓度N D=5×1015cm−3，受主浓度N A=2×109cm−3的锗中电子及空穴浓度为多少？
本题中E g的变化很小，可以忽略不计，根据本征载流子公式
n i=N c N v∙e−E g
2k0T
T=300K时，n i=1.5064×1013cm−3≪N D−N A且N D≫N A，则有近似
൝
n0≈N D=5×1015cm−3
p0=Τ
n i2n0=4.5385×1010cm−3
T=500K时，N c=2.2592×1019cm−3，N v=8.3915×1018cm−3，n i=5.7808×1015cm−3，与N D−N A的数量级相同，无法近似，联立(N D≫N A，N A也可近似为0)
൝n0+N A=p0+N D n0∙p0=n i2
⚫利用题3-7所给的N c和N v数值及E g=0.67eV，求温度为300K和500K时，含施主浓度N D=5×1015cm−3，受主浓度N A=2×109cm−3的锗中电子及空穴浓度为多少？
解得
n0=N D−N A
2
+N D−N A
2+4n
i
2Τ
12
2
=8.7982×1015cm−3
p0=−N D−N A
2
+N D−N A
2+4n
i
2Τ
12
2
=3.7982×1015cm−3
如果考虑E g的变化，由E g T=500K=0.581eV则可算得൞n i=1.6239×1016cm−3
n0=1.8930×1016cm−3 p0=1.3930×1016cm−3
⚫以施主杂质电离为90%作为强电离的标准，就掺砷的n 型锗在300K 时，以杂质电离为主的饱和区掺杂杂质的浓度范围。

饱和区：载流子浓度n 0等于杂质浓度。

因此可得
n 0=N c e −E c −E F k 0T
=N D
半导体位于强电离区，有n D +
≈N D ，故E D −E F ≫k 0T ，则有
n D =
N D
1+1
g
D e
E D −E
F k 0T
≈2N D e
−E D
−E F k 0
T
=2N D
e E c −E D k 0T e −
E c −E F
k 0T
=2N D
N D N c
e ∆E
D k 0T =D −N D 其中D −=
2N D N c
e
∆E D k 0T
，代表未电离施主占施主杂质的百分比。

⚫以施主杂质电离为90%作为强电离的标准，就掺砷的n型锗在300K时，以杂质电离为主的饱和区掺杂杂质的浓度范围。

本题中D−<10%，∆E D=0.0127eV(P39,表2−1)，N c=1.05×1019cm−3(P66,表3−2)，可算出
N D<10%∙N c
2
e−
∆E D
k0T=3.2152×1017cm−3
在300K时，Ge的本征载流子浓度n i=2.33×1013cm−3(测量值，计算值为1.7×1013cm−3)，由题意此时应以杂质电离为主，因此施主浓度至少为此时本征载流子浓度的10倍，即
N D>10n i=2.33×1014cm−3
综上所述，掺杂杂质的浓度范围为
2.33×1014cm−3<N D<
3.2152×1017cm−3
⚫
若硅中施主杂质电离能∆E D =0.04eV ，施主杂质浓度分别为1015cm −3，1018cm −3。

计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？
对于99%和90%电离，可以认为此时位于强电离区(P72)，将N c 表达式代入上题中的D −表达式，可计
算得(式3−54,P72)
∆E D k 0
1T =32ln T +ln D −N D ∙2πk 0m n
∗
Τ32
ℎ3
①99%电离时，D −=1%，则有
ቐN D =1015cm −3
⇒464.21T =32ln T −3.64⇒T =127.72K N D =1018cm −3
⇒464.21T =32ln T −10.55
⇒T =1411.70K
②90%电离时，D −=10%，则有
ቐN D =1015cm −3
⇒464T =3
2ln T −1.33⇒T =86.58K N D =1018cm −3
⇒464T =32ln T −8.24
⇒T =469.73K
3-12 杂质半导体中的电离
⚫若硅中施主杂质电离能∆E D=0.04eV，施主杂质浓度分别为1015cm−3，1018cm−3。

计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？
③对于50%电离情况，此时不位于强电离区(n D+≈N D)，不能使用D−表达式来进行推导。

由题n D+=50%N D，即n D=N D−n D+=n D+得
N D
1+
1
g D e
E D−E F
k0T
=
N D
1+g D e−
E D−E F
k0T
计算出E D−E F=k0T ln2，同理题3-7 ②，此时n0≈n D+=50%N D，可得
n0=2(2πm n∗k0T)Τ32
ℎ3
∙e−
E c−E F
k0T=
N D
2
再把E F=E D−k0T ln2以及∆E D定义带入上式
⚫若硅中施主杂质电离能∆E D=0.04eV，施主杂质浓度分别为1015cm−3，1018cm−3。

计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？
③推导出
∆E D k01
T
=
3
2
ln T+ln
2
N D
∙
2πk0m n∗Τ32
ℎ3
则有ቐN D=1015cm−3⇒464.21
T
=3
2
ln T+1.66⇒T=59.58K
N D=1018cm−3⇒464.21
T =3
2
ln T−5.24⇒T=181.31K
⚫计算含有施主杂质浓度N D=9×1015cm−3及受主杂质浓度为1.1×1016cm−3的硅在300K 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

在T=300K时，硅的本征载流子浓度n i=1.02×1010cm−3≪N A−N D，则有
൝
p0=N A−N D=2×1015cm−3 n0=Τ
n i2p0=5.202×104cm−3
由表3−2(P66) 得此时N c=2.8×1019cm−3，N v=1.1×1019cm−3
算得E F=E i−k0T ln p0
n i
=E i−0.315eV
E c−k0T ln n0
N c
=E c−0.877eV
E v−k0T ln p0
N v
=E v+0.223eV
⚫施主浓度为
1013cm −3的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度、多子浓度、少子浓度和费米能级的位置。

在400K 时，硅的本征载流子浓度n i =1013cm −3(图3−7,P67)，可以认为此时杂质完全电离，由电中性
条件有
൝n 0=N D +p 0n 0∙p 0=n i
2解得
൞n 0=
N D 2
+
N D 2
+4n i
2Τ122
=1.618×1013cm −3(多子)
p 0=Τn i
2
n 0=6.18×1012cm −3(少子)具有相当高的空穴浓度，因此可以认为处于过渡区，有
E F =E i +k 0T ln n 0n i =E i −k 0T ln p 0n i =E i +k 0T arcsinh N D
2n i
=E i +0.0124eV
3-17 n 型半导体的费米能级和载流子分布
⚫
掺磷的n 型硅，已知磷的电离能为0.044eV ，求室温下杂质一半电离时费米能级的位置和磷的浓度。

由杂质一半电离(此时不处于强电离区)可知
n D
+=N D 2
=N D
1+g D
e −E D −E F k 0T
计算出E F =E D −k 0T ln 2=E c −0.044eV −0.018eV =E c −0.062eV ，则可算得
n 0=N c
e −E c −E F k 0T
=2.544×1018cm −3≫n i
因此可近似认为n D +
≈n 0，因此磷的掺杂浓度
N D ≈2n 0=5.088×1018cm −3
3-18 杂质半导体的费米能级
⚫分别计算一维、二维、三维半导体晶格的状态密度。

状态密度：在能量E附近，每单位能量间隔内的量子态数，即
dZ dE
g E=Τ
想要求得上式，需要计算出单位k空间中的量子态数，使之与E~E+dE之间的k空间体积相乘得到在
能量E~E+dE之间的量子态数，最后利用上式求得状态密度。

首先求单位k空间中的量子态数，在一维条件下，设晶格总长度为L=Na，a为晶格常数，N为原胞数。

实际晶体包含的原子是有限的，故每个能带所包含的状态数是有限的，又由于边界条件的差异对大块晶体性质并无本质影响，故引入周期性边界条件
V x=V x+sa
2πn L，则取值密度(单位k空间中的量子态数) 为ΤL2π。

此外，可算得(详见P7~9)k只能取到分立数值Τ
2πa，因此其中包含的状态数恰好等于ΤL a=N。

k空间的取值密度也可以拿原胞
由于第一布里渊区长度为Τ
总数除以布里渊区长度来计算（二维除以面积，三维除以体积）。

⚫分别计算一维、二维、三维半导体晶格的状态密度。

因此对于二维和三维的k，它在一维的分量k i i=x,y,z可以取到分立取值Τ
2πn i L i，那么可求得取值密度为
g k=2൞
Τ
L2π，一维Τ
S2π2，二维V/2π3，三维
以导带底为例，由式1−22(P12) 可知，导带底附近有
E k=E c+ℏ2k 2m n∗
由上式可求得
k=2m n∗
Τ
12E−E
c
Τ
12
ℏ
及kdk=m n∗dE
ℏ2
(∗)
电子自旋
⚫分别计算一维、二维、三维半导体晶格的状态密度。

一维状态下等能面为抛物线，如右图所示，E~E +dE 之间的量子态数为
dZ =2dk ∙g k =2L
π
dk
带入∗式得dZ =
2L πℏ
m n
∗2(E−E c )
dE ，则一维时状态密度为g c E =
2L πℏm n
∗
2(E −E c )
二维状态下等能面为圆，E~E +dE 之间的量子态数为
dZ =2πkdk ∙g k =S
π
kdk
⚫分别计算一维、二维、三维半导体晶格的状态密度。

带入∗式，同理上得
g c E=m n∗S πℏ2
三维状态下等能面为球体，E~E+dE之间的量子态数为
dZ=4πk2dk∙g k=V
π2
k2dk
带入∗式，同理上得
g c E=
V
2π2
∙
2m n∗Τ32
ℏ3
E−E c
价带顶附近的情况，同理可得(将E−E c换为E v−E，m n∗换为m p∗即可)。

对于实际半导体，例如锗、硅的实际等能面为椭球面，其状态密度的推导详见P58。

TIPS：在本课程中，掺杂对有效质量的影响可以忽略不记。

⚫
试推导热平衡时导带电子浓度和价带空穴浓度表达式：n 0=n i e
E
F −E i k 0T
，p 0=n i e
E i −E
F k 0T。

本题为第二章PPT 第46 页的等式推导，载流子浓度与状态密度之间的表达式以及本征载流子浓度的表达
式推导见书本P61~65，下面推导
൞
n 0=N c
e −E c −E F k 0T =n i
e E F −E i k 0T ①
p 0=N v e −E F −E v k 0T
=n i
e E i −E F k 0T
②
对于本征半导体有E F =E i ，则有
n i =N c
e −E c −E i k 0T
=N v
e −E i −E v k 0T
(∗)
将式①前两项与∗式前两项做比值，有
Τn 0n i =
e
−E c −E F
−E c −E i k 0T =
e E F −E i
k 0T
补2载流子浓度
⚫试推导热平衡时导带电子浓度和价带空穴浓度表达式：
n 0=n i e
E F −E i k 0T ，p 0=n i e E i −E F k 0T 。

因此可以证明
n 0=n i
e E F −E i k 0T 同理，将式②前两项与∗式一、三项做比值，可算得
p 0=n i e E i −E F k 0T
利用∗式右边等号，可以推出本征半导体的费米能级为
E i =E c +E v 2+k 0T 2ln N v N c =E c +E v 2+3k 0T 4ln m p ∗m n
∗对于硅，锗和砷化镓来说，上式的带ln()项比前一项小得多，可以忽略，因此可以认为本征半导体的费米能级基本上在禁带中线处。

例外，如锑化铟的E i 远在禁带中线之上。

补2载流子浓度
2023/4/21宋冰睿王民泽2023春半导体物理习题课21。