2012年秋季学期期末考试试卷

2012年秋季学期期末考试试卷
一． 填空题（每小题4分，共24分）
2121
1.()0.3,()0.4,(|)0.5(|)( )
2.2{()}( )
3.[0,3][0,1]()
4.(1,),,1n n n i i P A P B P A B P AB A B X P X D X X X X N X X X n Y X n σ====⋃===~⋯→∞=∑已知，则随机变量服从参数为的泊松分布，则随机变量服从上的均匀分布，现对独立观察三次，则恰有两次落在区间的概率为 设总体，是取自总体的简单随机样本，则当时，
261()5.140.53-6.()()()( )
x
x X Y X Y X p x ae a D X -++==依概率收敛于 随机变量、的方差分别为和，相关系数为，则随机变量的方差为（ ）
随机变量的密度函数为为常数。

则 二． 单项选择题（每题4分，共24分）
21212
21.()(1,)()[1,3](),1()(0,0),( )(),1()23 4 () 2 ()2 4 ()1
0,02.()0.5,01,1,1
x f x N f x af x x f x a b a b bf x x A a b B a b C a b D a b x X F x x x P e x σ-⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩-≤=>>>+=+=+=+=<=≤<-≥设为的概率密度，为上均匀分布的概率密度。

若
为概率密度函数，则应满足若的分布函数为则2211
1{1}( )
()1 ()0.8 ()0.5 ()0.5
2.,,1{,1}()()()()()4.,,n n i n i n X A B e C e D X X n X X n n A B C D X X --===--→+∞≥⋯∑设随机变量序列，相互独立，根据辛钦大数定律，当时，依概率收敛于其数学期望，只要满足 有相同的数学期望 服从同一离散型分布
服从同一指数分布 服从同一连续型分布
设是221
2()
()()()2()()()2(-1)n
i i X S A X B D X n
C nX
D D S n ===∑来自标准正态总体的简单随机样本，和为样本均值和样本方差，则 服从标准正态分布 服从标准正态分布
2112212215.()0,,,,3( )
111() ()(22) ()() ()(1)53
6.(0,1),1,()4;1,()
(){21}1(n n i i XY X D X X X n X A iX B X X X C X X X D X n n X N EY D Y X Y A P Y X B σμρ==>>+++++~====+=∑总体的方差为来自总体的简单随机样本，则在总体均值的下列无偏估计中，最有效的是设且、的相关系数则 ){41}1(){-21}1(){-41}1P Y X C P Y X D P Y X =+==+==+=
三. 计算题（46分）
10{0}{1}0.5.(0,1]().
16(),01,01 (,)0, 1.; 2.Z X P X P X Y X Y Z X Y f z X Y c x y x y p x y otherwise
c ⎧⎨⎩=====++≤≤≤≤=（一）（分）若为离散型随机变量且服从上的均匀分布，、相互独立；试求的概率密度（二）（分）设随机变量、的联合分布概率密度函数为
求常数求()1 3. 4.{}
,10()(0,0),0,,,1.1 2.1 1110(),(|),43x a n X Y X Y P X Y e x a X f x a x a X X X a a A B P A P B A P λλλλλ--⎧⎪⎨⎪⎩
<≥=>><⋯====出、的边际分布密度；
说明、是否独立，为什么？ 求（三）（分）总体的概率密度为来自总体的简单随机样本。

时，求参数的矩估计；
时，求参数的极大似然估计。

（四）（分）设、为随机事件，且220001(|),2
1,1, 00 1.(,) 2..
.6(,),:()XY A B A B X Y A B X Y X Y X N H ρμσσμμμα⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩===~=发生发生记，发生，发生
求：二维随机变量的概率分布；
和的相关系数四（分）总体已知时，试写出参数假设检验问题
已知的检验水平为的检验步骤。

参考答案：
一．
222211. 2.2 3. 4.1 5.7 6.592
e σ-+ 二．
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.A
三．
(1)1,02()()20,11,01,01()1. 1 2.(),()220,0,13.()()(,);4.{}2
1()1.= 2.-1
2()1.{0,0}3Z X Y X Y z f z otherwise
x x y y c f x f y otherwise otherwise
X Y f x f y p x y P X Y a X X P X Y λ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩⎧⎧+≤≤+≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩≠<=====一二与不相互独立，因为三
四111,{0,1},{1,0},{1,1}12612
P X Y P X Y P X Y =========四.略
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