2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

专题2020年分类汇编-18题
专题一图形的翻折
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝4
5，AB＝9，AD
＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为．
2．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是cm．
3．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC 上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．
4．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B 所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝．
5．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC
的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝．
6．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，
使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，
那么cos∠EFB的值为．
专题二图形的旋转
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG 的正切值是．
2．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为．
3．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B 的对应点是点B′，则BB′的长等于．
4．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝k，将矩形ABCD绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′，联结AD′，分别交边CD，A′B于E、F，如果
AE D′F，那么k＝．
5．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝3
5（如图），把△
ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为．
6．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．
7.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=5
13，点P为边BC上一点，PC=3,将△ABC
绕点P旋转得到△A'B'C'(点A，B、C分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G 的长等于．
专题三其他题型
【知识梳理】
根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答
【历年真题】
1．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠
B＝30°，且AD3=
AE2，那么
DE
BC的值是．
2．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线
3
4
y x
上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移
后的抛物线的表达式为__．
专题2020年分类汇编-18题
专题一图形的翻折
【历年真题】
1．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝4
5，AB＝9，AD
＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的
对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为24 7．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，
∴sin∠ABC＝sin∠C＝AF
BF＝
4
5，
设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，
∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，
∴PA AD62
=== PF BF155，
∴PA＝2
7AF＝
24
7，
故答案为24 7．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5cm ，点E 、F 分别是边AB 、
CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A
恰好落在线段EF 上，那么边AD ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据已知条件得到AE ＝DF ＝BE ＝CF ，求得四边形AEFD 是矩形，得到EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，
根据折叠的性质得到BN ＝AB ，根据直角三角形的性质得到∠BNE ＝30°，于是得到EN ＝
32BN 到结论．
【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，
∴AE ＝DF ＝BE ＝CF ，∴四边形AEFD 是矩形，
∴EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，
∵折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，∴BN ＝AB ，
∵BE ＝12AB ，∴BE ＝12
BN ，∴∠BNE ＝30°，
∵AB ＝5cm ，∴EN ＝32BN
∴EF ≥EN 时，点A 恰好落在线段EF 上，即AD
∴边AD 的长至少是
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝6，点D 在底边BC
上，且∠DAC ＝∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为1．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BD
BM BE
=，只要求出BM、BD即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，
∴CA CD
CB AC
=，∴
4
64
CD
=，
∴CD＝8
3，BD＝BC﹣CD＝
10
3，
∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，∴AD DM
BD DA
=，即
8
3
108
33
DM
=，
∴DM＝32
15，MB＝BD﹣DM＝
6
5，
∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可
以！）∴AB BD BM BE
=，
∴BE＝BD BM
AB
＝1．
故答案为：1
．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．
4．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜
边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B
所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．
【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A1EF＝90°时，如图1，
∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，
∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，
Rt△A1CB中，
∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB=；
②当∠A1FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，
∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4；
综上所述，AB的长为或4；
故答案为：4；
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
5．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，D 是AC
的中点，点E 在边AB 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AB 时，
则A ′A ＝2825或425．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．
【分析】分两种情形分别求解，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．想办法求出AE ，利用等腰直角三角形的性质求出AA ′即可．
【解答】解：如图，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．
在Rt △ACB 中，BC 22AB AC -＝6，
∵∠DAF ＝∠BAC ，∠AFD ＝∠C ＝90°，∴△AFD ∽△ACB ，∴DF AD AF BC AB AC ==，∴46108
DF AF ==，∴DF ＝
125，AF ＝165，
∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，
∴EF＝DF＝12
5，∴AE＝A′E＝
12
5+
16
5＝
28
5，∴AA′＝
282
5，
如图，作DF⊥AB于F，当EA′⊥AB时，同法可得AE＝16
5﹣
12
5＝
4
5，AA AE＝
42
5．
故答案为282
5或
42
5．
【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
6．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，
使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，
那么cos∠EFB的值为1 7．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用．
【分析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD．设BC＝2a．
∵四边形ABC都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠A＝∠C＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∵DE＝EC＝a，∴BE⊥CD，
∴BE
=a，
∵AB∥CD，BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴∠EBF＝90°，
设AF＝EF＝x，在Rt△EFB中，则有x2＝（2a﹣x）2+
a）2，∴x＝
7
4
a，
∴AF＝EF＝7
4
a，BF＝AB﹣AF＝
4
a
，
∴cos∠EFB＝
1
4
77
4
a
BF
a
EF==，
故答案为1 7．
【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
专题二图形的旋转
【历年真题】
1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针
旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG
的正切值是1
．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．
【解答】解：连接BD，BF，EG
．
由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，
∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴B，G，E，F四点共圆，
∠BEG＝∠BFD＝45°，
∴∠BEG的正切值是1．
故答案为1．
【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
2．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别
是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，
当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】分两种情况：①点A在E'D'的延长线上时；②点A在线段D'E'的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【解答】解：如图1，当点A在E'D'的延长线上时，
∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，
∴AB＝＝2，
∵点D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝1
2AC＝1，BD＝
1
2BC＝2，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
∵将△BDE绕着点B旋转，
∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2，∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），∴AD'＝BC，且AC＝D'B，∴四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD'是矩形，∴CD'＝AB＝
如图2，当点A在线段D'E'的延长线上时，
∵∠AD 'B ＝90°，∴AD '=＝4，∴AE '＝AD '﹣D 'E '＝3，
∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠ABC ＝∠E 'BD '，∵'12BE AB =＝BD BC ，∴△ABE '∽△CBD '，∴''AE AB CD BC
=，
∴'3254CD =，∴CD '
故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4点
P 在边BC 上，联结AP ，将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B
的对应点是点B ′，则BB ′的长等于5．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，由勾股定理可求AC 的长，由旋转的性质可求AP
＝AM ，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，通过证明△ABP ∽△CBA ，可得∠PAB ＝∠C ，可得CE ＝AE ，由勾股定理可求CE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求B 'D ，BD 的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，
∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，∴AC =＝
∵点M 是AC 中点，∴AM ∵将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，
∴AP ＝AM ，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，
∵AP 2＝AB 2+PB 2，∴PB ＝1，∵BA PB ＝2＝BC AB
，且∠ABP ＝∠ABC ＝90°，∴△ABP ∽△CBA ，∴∠PAB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，
∵AE 2＝AB 2+BE 2，∴CE 2＝4+（4﹣CE ）2，
∴CE ＝AE ＝52，∴BE ＝32
，∵B 'D ∥BC ，
∴△AB 'D ∽△AEB ，∴''AB AD B D AE AB BE ==，∴'253222
AD B D ==，∴AD ＝85，B 'D ＝65，∴BD ＝25
，∴BB '
=
2105，
故答案为：5
．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE 的长是本题的关键．
4．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k ，将矩形ABCD 绕着点B
顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，联结AD ′，分别交边CD ，A ′B 于E 、F ，如果
AE
D ′F ，那么k
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA 'D '，可得
''''AD DE AE A F A D D F
==，可求DE ，A 'F 的长，通过证明△A 'D 'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，
∴AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，
∴A 'D '∥BA ∥CD
∴∠A 'D 'F ＝∠FEC ＝∠DEA ，且∠D ＝∠A '＝90°，
∴△ADE ∽△FA 'D '，∴''''AD DE AE A F A D D F
==，且AE
D ′F ，∴DE
A 'D '
，A 'F
AD ＝22
，∵∠A '＝∠DCF ＝90°，∠A 'FD '＝∠EFC ，∴△A 'D 'F ∽△CEF ，∴'''EC FC A D A F =，∴''2122
2
2k k A D ---=∴k
+1，
+1．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A 'F 的长是本题的关键．
5．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos A ＝35
（如图），把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '．如果A 'B '恰好
经过点A ，那么点A 与点A '的距离为365
．
【考点】旋转的性质；解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，由锐角三角函数可求AC ＝6，由旋转的性质可得AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，即可求A 'E 的长，由等腰三角形的性质可求AA '的长．
【解答】解：如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，
∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos ∠BAC ＝
35，∴AC ＝6，∵把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，
∴AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，
∵cos ∠A '＝cos ∠BAC ＝＝35，∴A 'E ＝185
，∵AC ＝A 'C ，CE ⊥A 'B '，∴AA '＝2A 'E ＝
365，故答案我：365
．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，求出A 'E 的长是本题的关键．
6．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将矩形ABCD 绕着点
B 顺时针旋转后得到矩形A 'B
C '
D '，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、
D '对应，A ′D '与边BC 交于点
E ，那么BE 的长是258．
【考点】旋转的性质；相似三角形的性质；矩形的性质．
【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC ＝5，由面积法可求BF ＝125
，由勾股定理可求AF ＝95，由旋转的性质可得AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，可求CA '＝75
，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC ∽△ABC ，可得
EC BC HC AC ，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，
∵AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝＝＝5，∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝12AC ×BF ，∴3×4＝5BF ，∴BF ＝125
∴AF 22144925AB BF -=-95，∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，
∴AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，且BF ⊥AC ，
∴∠BAC ＝∠BA 'A ，AF ＝A 'F ＝95
，∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∴A 'C ＝AC ﹣AA '＝75
，∵∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∠BAA '+∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠EA 'C ，∴A 'E ＝EC ，且EH ⊥AC ，∴A 'H ＝HC ＝
12A 'C ＝710，∵∠ACB ＝∠ECH ，∠ABC ＝∠EHC ＝90°，∴△EHC ∽△ABC ，∴BC HC AC EC =∴74105EC =∴EC ＝78
，∴BE ＝BC ﹣EC ＝4﹣78＝258
，故答案为：258
．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键．
7.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513
，点P 为边BC 上一点，PC=3,将△ABC 绕点P 旋转得到△A'B'C'(点A ，B 、C 分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB ，边A'C'与边AB 交于点G ，那么A'G 的长等于2013．
【考点】旋转的性质;解直角三角形；平行线的判定，图形的旋转
【专题】矩形菱形正方形；平移，旋转与对称；解直角一角形及其应用；应用意识。

【分析】如图，作PH ⊥AB 于H 。

利用相似三角形的性质求出PH ，在证明四边形PHGC 是矩形即可解决问题。

【解答】解：如图，作PH ⊥AB 于H
在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513
∴513AC AB =∴AB=13，12
BC ===∵PC=3∴PB=9△BPH ∽△BAC PH PB AC AB
=∴9513PH =∴4513PH =∵AB ∥''B C ∴∠'HGC =∠'C =∠PHG =90°∴四边形PHGC’是矩形∴'45
13CG PH ==∴'452051313AG =-
=故答案为2013
专题三其他题型
【知识梳理】
根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答
【历年真题】
1．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠
B ＝30°，且AD 3=AE 2，那么DE B
C 的值是13318﹣1．
【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】证明△ADE ∽△BAE ，得出AE 2＝DE ×BE ，同理△ADE ∽△CDA ，得出AD 2＝DE ×CD ，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE
×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得
出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12
AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，
求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．
【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，
∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，
∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE
，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴
AD DE =CD AD ，∴AD 2
＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32
×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝
12BC ，∵∠B ＝30°，
∴AM ＝12
AB ＝3x ，BM AM ＝，
∴BC ＝2BM ＝，
∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，
∴133
18DE EC ==﹣1；
故答案为：
18﹣1．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
2．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线
3
4
y x
=上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移
后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.
【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，
∵点A在直线
3
4
y x
=上，OA=5，
∴OB=4，AB=3，
∵点A的坐标为(4，3)，
∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3
故答案为y=(x-4)2+3.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。