北师大版九年级上册数学 4-4 第3课时 利用三边判定三角形相似

解：公路AB与CD平行.
∵ AB 14 2 BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
BD 21 2
DC 31.5 3
28 D
A
31.5
21
14
42
B
C
AB AD BD
BD BC DC
∴ ∠ABD=∠BDC
∴ △ABD∽△BDC,
∴ AB∥DC
5.已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线.求证： △ABC∽△FED
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
DE2.40.6,EF2.10.6,FD1.80.6,
AB 4
BC 3.5 CA 3
DEEFFD. AB BC CA
∴ △ABC∽ △DEF.
证明：∵
AB 6 1， AB 18 3
BC BC
8 24
1， AC 3 AC
10 30
1，
3A
∴ AB BC AC，
AB BC AC
B
C
∴ △ABC ∽△A′B′C′
A′
（三边成比例的两个三角形相似)．
B′
C′
3.如图，某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28 千米， BD=21千米， BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与 CD平行吗？说出你的理由.
A B 4 ,B C 1 0 ,A C 2 ; AB AC BC 22.
AB AC BC 1 △ABC与△ABC相似.
C
A′
B′
C′
2.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm， BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝ 30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
第四章 图形的相似 4.4 探究三角形相似的条件
第3课时 利用三边判定三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点）
导入新课 复习与回顾
问题1：判定两个三角形相似我们学过了哪些方法? ⑴定义法:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似.
AD DE AE
解：∵ ABBCAC,
AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
A
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°. ∴∠CAE=20°.
C
D E
例3:如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′
谢谢 大家
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= 90°，且
A'B' A'C' 1 AB AC 2
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′
从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2 = 4A′B′ 2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′ 2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2.
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1DE∽ A1B1C1
∴ ABC∽ A1B1C1
归纳总结
判定三角形相似的定理3: 三边成比例的两个三角形相似.
A
B
C
B1
A1
几何语言：
∵ AB BC AC , A1B1 B1C1 A1C1
C1 ∴ △ABC∽△A1B1C1.
二 相似三角形的判定定理3
A′
边S
A1
边 边
S S
B′
C′
B1
C1
如果： A1B1 B1C1 A1C1 AB BC AC
猜想：△ABC∽△A1B1C1
有效利用判定 定理一去求证
证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取
A1D=AB,
A1
过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E. D
E
∵ DE∥B1C1 ，
B1
∴△ADE∽△A1B1C1.
C1 A
B
C
A
A1
B
C
D
E
∴ A1D DE A1E
B1
C1
A1B1 B1C1 A1C1
又 A A 1B B1B B 1C C1A A 1C C1,A1DAB
∴
DEBC, A1EAC B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC, A1E AC
由此得出，BC=2B′C′
从而
B'C' 1A'B' A'C'. BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
当堂练习
1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的
判断?
解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则
A
B
A B 8 ,B C 21 0,A C 22 ;
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三 角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相 等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
练一练 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
否
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
⑵*引理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似.（也可由AA证明得到相似）
D B
A
具备两个条件：
E (1) DE∥BC；
(2)两个三角形在同一图形中. C
(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. (4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形 相似的方法吗？
A 证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1
1 BC,DF=
1 AC,EF=
AB
D
E
2
2
2
B
C
BCDFEF1
F
DE AC AB 2
∴ △ABC∽△FED
课堂小结
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
利用三边 判定三角 形相似
相似三角形的判定定理3的运用
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(2)AB=4， BC=8， AC＝10. 是 DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
（注意：大对大，小对小，中对中．）
例2:如图所示，在△ABC和△ADE中， AB BC AC.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.