2018-2019湖南省醴陵高二上学期期中联考数学（理）试题

2018-2019学年湖南省醴陵二中、醴陵四中高二上学期期中
联考数学理科试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）
1．已知命题1sin ,:≤∈∀x R x P ，则
P ⌝
为（
）。

A.:,sin 1P x R x ⌝
∃∈≤ B.:,sin 1P x R x ⌝
∀∈≥
C.:,sin 1P x R x ⌝
∃∈>
D.
:,sin 1P x R x ⌝
∀∈>
2.已知a >b >0，c >d >0，则( ) 。

A ．c a >d b
B ．ac >bd
C ．a －c >b －d
D ．b c >a
d
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 12a =，34a =，则7S = ( ) 。

A ．21 B ．28 C ．35 D ．42 4.在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( ) 。

A ．102 B ．202 C ．206 D ．2063
5.如果方程
22
131
x y m m -=++表示焦点在Y 轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）。

A ．(,3)-∞-
B ．(3,2)--
C ．(2,1)--
D ．(1,)-+∞
6．“lg lg x y >”是>”的 ( ) 。

A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且152,35n n a a S +=+=-，则当S n 取得最小值时，n 的值是（ ）。

A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 8.在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a ，则△ABC 是( ) 。

A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
9.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上的一个动点P 到直线21l l 和的距离之和的最小值为（ ）。

A.
16
37 B.
5
11
C.3
D.2
10. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设412
2
a a P +=
，Q =，则P 与Q 的大小关系是( ) 。

A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P ＝Q
D ．无法确定
11.已知双曲线的中心在原点，两个焦点21F F ，分别为()()
0505-，和，，点P 在双曲线上且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为1，则双曲线的方程为（
）。

A.13
22
2=-
y x B.12
32
2=-
y x C.1422=-y x D.1422
=-
y x
12．过椭圆
A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另
一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若11
32
k <<，则椭圆C 的离心
率的取值范围是( ) 。

A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ． 12,23⎛⎫
⎪⎝⎭ C ． 2,13⎛⎫
⎪⎝⎭ D ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题纸的对应位置上。

）
13．设变量x ，y 满足约束条件1
133x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值
为 。

14．抛物线2
4y
x =与直线1y x =-相交的所得的弦长为 。

15．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则三角形ABC 的外接圆的直径2R 等于 。

16．如下所示，表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n>1)行第2个数是________。

1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10分)
已知R a ∈，命题[]()022,:,01-2-:02
002=--+∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x p ，，
（1）若命题
p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“q p ∨”为真命题，命题“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围。

18. (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知cos A －2cos C cos B
＝2c －a
b .
(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝1
4，△ABC 的周长为5，求b 的长．
19. (12分) 已知n S 是各项为正数的等比正数的数列{}n a 的前n 项的和， 11a =，
313S =，在等差数列{}n b 中，11b =，53b a =，
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设11n n n c b b +⋅⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
20．(12分) 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400
千克不需要保管)．
(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用1y 关于x 的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最小，并求出这个最小值．
（3）若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%），问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y 最少，并求出这个最少（小）值。

21．(12分)解关于x 的不等式：210ax ax x --+> ()a R ∈
22．(12分)已知椭圆:1C ()012222>>=+b a b y a x 的左右顶点是双曲线2
22:14
x C y -=的顶
点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ，
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）点F 为椭圆的左焦点，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与曲线1C 相交于A 、B 两点，若直线FA 、FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由。

数学理科 期中考试答案
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）
1．已知命题1sin ,:≤∈∀x R x P ，则
P ⌝
为（
C ）。

A.:,sin 1P x R x ⌝
∃∈≤ B.:,sin 1P x R x ⌝
∀∈≥
C.:,sin 1P x R x ⌝
∃∈>
D.
:,sin 1P x R x ⌝
∀∈>
2.已知a >b >0，c >d >0，则( B ) 。

A ．c a >d b
B ．ac >bd
C ．a －c >b －d
D ．b c >a
d
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 12a =，34a =，则7S = ( C ) 。

A ．21 B ．28 C ．35 D ．42 4.在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( B ) 。

A ．102 B ．202 C ．206 D ．2063
5.如果方程
22
131
x y m m -=++表示焦点在Y 轴上的双曲线，则实数的取值范围是（A ）。

A ．(,3)-∞-
B ．(3,2)--
C ．(2,1)--
D ．(1,)-+∞
6．“lg lg x y >”是>”的 ( B ) 。

A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且152,35n n a a S +=+=-，则当S n 取得最小值时， n 的值是（ A ）。

A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 8.在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a ，则△ABC 是( D ) 。

A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
9.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上的一个动点P 到直线21l l 和的距离之和的最小值为（ D ）。

A.
16
37
B.
5
11 C.3 D.2
10. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设412
2
a a P +=
，Q =，则P 与Q 的大小关系是( A ) 。

A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P ＝Q
D ．无法确定
11.已知双曲线的中心在原点，两个焦点21F F ，分别为()()
0505-，和，
，点P 在双曲线上且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为1，则双曲线的方程为（ C ）。

A.13
22
2=-
y x B.12
32
2=-
y x C.1422=-y x D.1422
=-
y x
12．过椭圆
A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另
一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若11
32
k <<，则椭圆C 的离心
率的取值范围是 ( B ) 。

A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ． 12,23⎛⎫
⎪⎝⎭ C ． 2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题纸的对应位置上。

）
13．设变量x ，y 满足约束条件1
133x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为
11 。

14．抛物线2
4y
x =与直线1y x =-相交的所得的弦长为 8 。

15．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则三角形ABC 的外接圆的直径2R 等于。

16．如下所示，表满足：①第
n
行首尾两数均为
n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，则
第n(n>1)行第2个数是___22
2
n n -+_____。

1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10分)
已知R a ∈，命题[]()022,:,01-2-:02
002=--+∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x p ，，
（1）若命题
p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“q p ∨”为真命题，命题“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围。

解：（1）设[]2()(2,1)f x x a x =-∈--
根据题意，只要[]2,1x ∈--时，min ()0f x ≥即可，
10a -≥，即1a ≤ ……………………… 3分 （2）命题q 为真命题时，
244(2)0a a a ∆=--≥，解得2a ≤-或1a ≥ ………………… 5分
因为命题“q p ∨”为真命题，命题“q p ∧”为假命题，
所以命题p q 、是一真一假 ………………… 6分
当命题p 为真，命题q 为假时有： 1
21
a a ≤⎧⎨-<<⎩
得 21a <<－ …… 8分
当命题p 为假，命题q 为真时有： 1
21a a a >⎧⎨≤≥⎩
或 得 1a > …… 9分 综上所述：实数a 的取值范围是：21a <<－或1a > ……10分
18. (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知cos A －2cos C cos B
＝2c －a b .
(1)求
sin sin C A 的值； (2)若cos B ＝1
4
，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径
所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A sin B
， (2)
分
即sin B cos A －2 sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ，
即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin C
sin A ＝2. …………6分 (2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有c
a ＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5，…8分 所以
b ＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝1
4得
b 2＝
c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×
1
4，
解得a ＝1， 5.a =不合题意，应舍去 ………11分 所以b ＝2. … ………12分
19. (12分) 已知n S 是各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项的和，313S =， 11a =，在
等差数列{}n b 中，11b =，53a b =，53b a =
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设11n n n c b b +⋅⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）设等比数列{}n a ，的公比为0q >，等差数列{}n b 的公差为d 由题意得：2113q q ++=得3q = 由53149b d a =+==得2d =
所以，13n n a -=，21n b n =- …………5分 （2）111111
()(21)(21)22121
n n n c b b n n n n +===-⋅-+-+ (7)
分
123111111111()22112112212212312312121111111111()21335572121111()212121
n n
T c c c c n n n n n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+-+=-+-+-+⋅⋅⋅+--+=-=
++ (1)
2分
20．(12分) 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用1y 关于x 的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最小，并求出这个最小值．
（3）若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%），问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y 最少，并求出这个最少（小）值。

解：（1）每次购买的原材料在x 天内总的保管费用
214000.03(123...(1))66y x x x
=⨯++++-=-（元）
*()x N ∈ ……………4分
（2）由（1）可知购买一次原材料的总费用为 266600 1.5400x x x -++⨯（元） 购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用
21600(66600 1.5400)6594
y x x x x x x
=-++⨯=++
*()x N ∈ …………6分
594714y ≥= 当且仅当
600
6x x
=，即10x =．取等号。

所以，该厂10天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最小，为714元。

…………
8分
（3）按此优惠条件，由已知条件有不等式：4006000x ≥ 解得：15x ≥
则至少15天购买一次原材料， 可知购买一次原材料的总费用为
22666000.85 1.54006504600x x x x x -++⨯⨯=++（元）
购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用：
*100
6()504(15)y x x x N x =++≥∈且， (10)
分
易知函数100
6()504y x x
=+
+在区间[15,)+∞内为增函数。

所以当15x =时，y 有最小值为
600
61550463415
+⨯+=元。

所以按八五折优惠，该厂15天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y 最
少
，
最
少
值
为
634
元。

……………………12分
21．(12分)解关于x 的不等式：210ax ax x --+>
解：原不等式等价为(1)(1)0ax x --> …………2分
当0a =时，原不等式为(1)0x -->，解得1x < …………3分
当0a <时，原不等式为1()(1)0a x x a -->，即1()(1)0x x a
--< 解得11x a
<< …………5分 当01a <<时，原不等式为1()(1)0a x x a -->，即1()(1)0x x a
--> 解得11x x a
<<或 …………7分 当1a =时，原不等式为2(1)0x ->，即1x ≠ …………8分
当1a >时，原不等式为1()(1)0x x a -->， 解得11x x a
>>或 ………10分 综上：当1a >时，原不等式解集为:11x x x a ⎧
⎫<>⎨⎬⎩⎭或；
当1a =时，原不等式解集为:{}1x x ≠；
当01a <<时，原不等式解集为:11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；
当0a =时，原不等式解集为:{}1x x <；
当0a <时，原不等式解集为:11x
x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 。

………12分 22．(12分)已知椭圆:1C ()012222>>=+b a b y a x 的左右顶点是双曲线2
22:14
x C y -=的顶
点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C 的渐近线距离为
5
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）点F 为椭圆的左焦点，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与曲线1C 相交于A 、B 两
点，若直线FA 、FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由。

22.解：（1）由题意可知：2a = …………………………………… 1分 又椭圆的上顶点为(0,)b
双曲线的渐近线为: 20y x ±=
由点到直线的距离公式有:
= 得
b = 3分 所以椭圆的方程为22
143x y += 。

…………………… 4分 (2)设直线线l 的方程为y kx m =+，11(,)A x y 、22(,)B x y 联立22
143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得 222(34)84120k x kmx m +++-= …………………… 5分 则21212228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++
……………………7分
由已知直线FA 、FB 的斜率之和为0，有
12121212121212122()()2011111y y kx m kx m kx x k m x x m x x x x x x x x +++++++=+==+++++++
12122()()20kx x k m x x m ++++= (9)
分 所以222
41282()203434m km k k m m k k --⋅+++=++ 化简得4m k = (11)
分
此时 222(8)4(34)(412)km k m =-⨯+-
2222(32)4(34)(6412)k k k =-⨯+-
422166416(43)(163)k k k =⨯-+- 2169(14)k =⨯-
显然2169(14)0k ∆=⨯->有机会成立。

所以直线l 的方程为：(4)y kx m k x =+=+ 所以存在这样的定点(4,0)-符合题意。

…………12分。