高等数学第九章课件.ppt

z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
(3)若极点O在区域D*内,且D*的边界曲线为连续封
闭曲线r=r ()(02) ．
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和
f
( i
,i
)
，
i
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
一、二重积分在直角坐标系下的计算
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数 1( x) 、2( x) 在区间 [a,b] 上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z D f (x, y) 为曲顶柱体的体积．
n
x
My M
mi xi
i 1
n
，
mi
i 1
n
y
Mx M
mi yi
i 1
．
n
mi
i 1
由元素法 当薄片是均匀的，重心称为形心.
闭区域 D 的面积
第三节 二重积分的应用
一、几何应用 二、物理应用
一、几何应用
（一） 求立体的体积和平面图形的面积
根据二重积分的几何意义可知, 当
f x , y 0 时，二重积分 f (x, y)d 在几何上
D
表示以 z f x , y 为顶,以 D 为底的曲顶
柱体的体积。由此，可以用二重积分计算空 间立体的体积。
D
所求立体体积
（二） 求曲面的面积
１．设曲面的方程为：
如图，
--- 曲面 S 的面积元素 曲面面积公式为：
同理可得
２．设曲面的方程为： x g( y, z)
曲面面积公式为： A
Dyz
1
x y
2
x z
2
dydz;
３．设曲面的方程为： y h(z, x)
曲面面积公式为： A
Dzx
解 显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。 而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体 积为 V1 ，则所求立体的体积为
V 4V1.
z
2a
o
2a
x
2a y
V1 可以看成是一个曲顶柱体， 它的曲顶为 它的底D 由半圆周 及 x 轴围成。用极坐标系表示
于是，
4a2 r 2 r drd
性质１ 设k为常数， kf (x, y)d k f (x, y)d
D
D
性质2
性质3 若积分区域D被一条曲线分为两个部分D1,D2，则
性质4
性质5 设M,m是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值与最小
值,是D的面积,则
性质6(二重积分的中值定理)
第二节 二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算 二、二重积分在极坐标下的计算
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和
o
近似等于薄片总质量
i
x
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将闭区域 D任意分成 n个小闭区域
1
， 2 ,
，
，
n
其中 i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点(i ,i )，
1
y z
2
y x
2
dzdx.
二、物理应用
（一） 平面薄片的质量
由二重积分的定义可知，质量分布不均匀的 薄片 D 的质量 M ，是其面密度 (x, y) 在区域 D
上的二重积分，即 M (x, y)d
D
二、平面薄片的质心
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于( x1, y1)， ( x2, y2 )，,( xn , yn )处，质量分别为m1, m2,, mn． 则该质点系的重心的坐标为
应用计算“平行截面面积
z
为已知的立体求体积”的
方法
y
z f (x, y) A( x0 )
y 2 (x)
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x)
b
x
y 1(x)
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
(i ,i
) i .
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的.
(2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
二、二重积分的性质
例1 计算由曲面 z 1 4x2 y2 及 xoy 面所围的立体
体积。
z
z
Hale Waihona Puke 1解 设立体在第一卦限上 的体积为 V1。
o x12
1
由立体的对称性，所求立
体体积 V = 4V1 。 立体在第一卦限部分可以看
1
y
o 1y
x 12
y
1 y 1 4x2
D
成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为 z 1 4x2 y2,
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y ) f ( x, y)dx.
c
1 ( y )
D
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域
边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边
界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
.
D
D1
D2
D3
D3 D1
D2
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
二、二重积分在极坐标下的计算
设有极坐标系下的积分区域D, 用一组以极点为圆心的同心圆(r=
常数)及过极点的一组射线(=常数)
将区域D分割成n个小区域.
平面上的点的直角坐标(x,y)与该点的极坐标(r,)之