(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩
，则()222x y +-的最小值为（ ） A ．12 B ．45 C ．92 D ．419
2．已知2244x y +=，则
2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．94
3．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ） A ．53- B ．1
5- C ．13 D ．95
4．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩
，则32z x y =+的最大值是（ ）
A ．1
B ．20
C ．28
D ．32
5．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ）
A ．15人
B ．16人
C ．17人
D ．18人
6．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C
D ．
7．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
则23z x y =-的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．6-
8．若函数()1x y a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩
，表示的区域有公共点，则a 的取
值范围为（ ）
A ．[]2,4 B
．⎤⎦ C ．(][)1,24,⋃+∞ D
．(
[)2,⋃+∞
9．已知2212,202
b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜n
C ．m ＞n
D ．不确定
10．设x ，y 满足约束条件261322
x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
11．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A ．4y x x
=+ B ．()4sin 0πsin y x x x =+<< C ．e 4e x x y -=+
D
．y = 12．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫+
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36 B ．42 C ．49 D ．60
二、填空题
13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________.
14．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式
121233log 20202log 2020log 2020
x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．
15．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩
，若2z y x =-的最大值为11，则实数c
的值为____．
16．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy
++的最小值是_________． 17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩
，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最
小值为1，则28a b
+的最小值为__________． 18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则
41a b +的最小值为________． 19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面
积为12
c ，则ab 的最小值为_______． 20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足57
0a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的
最小值为_________. 三、解答题
21．某位病人为了维持身体的健康状态，需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素α和β.根据医学建议：病人每天微量元素α的摄入量应控制在[]300,330（单位：微克），微量元素β的摄入量应控制在[]250,280（单位：微克）.目前，市面上可供选择的营养液主要是A 和B .已知1毫升营养液A 中含微量元素α是30微克，含微量元素β是10微克，每毫升费用5元；1毫升营养液B 中含微量元素α是15微克，含微量元素β是20微克，每毫升费用4元．
（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议，并说明理由；
（2）如果你是医生，为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议，且每天所需的费用最低，应该推荐病人每天服用营养液A 和营养液B 各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？
22．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求
11x y +的最小值； （2）当k 取何值时，不等式23208
kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 23．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．
24．随着信息技术的发展，网络学习成为一种重要的学习方式，现某学校利用有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课每次播放视频40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课每次播放视频30分钟，课后研讨40分钟，可获得学分4分.全学期20周，网络对每套选修课每周开播两次（A 、B 两套校本选修课程同时播放），每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课视频时间不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟.A 、B 两套选修课各选择多少次才能使获得学分最高，获得的最高学分是多少？
25．在平面直角坐标系中，圆C 是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O 的直
线l 的斜率为k ，直线l 交圆C 于P ，Q 两点，点A
（1）写出圆C 的标准方程；
（2）求△APQ 面积的最大值．
26．已知函数()()()22
112f x a x a x =---+. （1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的值； （2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
作出可行域，利用()2
22x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．
【详解】
作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， ()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，
由图可知min 021322
2PM --==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是23292⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
． 故选：C ．
【点睛】
思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：
（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；
（2）y b x a
--：两点连线斜率， 2．D
解析：D
【分析】 利用
22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】 由题意
22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝
⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33
x y ==时等号成立． 故选：D ．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
3．D
解析：D
【分析】 首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-=
=+--，利用2
y x -的几何意义求z 的最大值. 【详解】 24222
x y y z x x +-==+-- 设2
y m x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩
，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270
x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦，
即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95
.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是变形242
x y z x +-=
-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题. 4．C
解析：C
【分析】
画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三
角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩
得点(4,8)A ， 由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值
max 342828z =⨯+⨯=.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．D
解析：D
【分析】
设高二学生人数为x，高三学生人数为y，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果.
【详解】
设高二学生人数为x，高三学生人数为y，
则
7
37
y x
y x
<<
⎧
⎨
≥+
⎩
，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==，
该志愿者服务队总人数为76518++=人.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.
6．D
解析：D
【解析】
分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．
详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2，
∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，
∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）
，
当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．
故选D.
点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
7．C
解析：C
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．
【详解】
画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
由23z x y =-得到233z y x =
-， 平移直线233
z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100
y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052
z =⨯
-⨯=， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
8．B
解析：B
【分析】
由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求．
【详解】
解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩
作出可行域如图：
当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥
故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.
故选：B ．
【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
9．C
解析：C
【解析】
因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()1122
22
m a a a a =+=-++≥-- ()122242
a a +-⋅=-，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由
b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综
上可得m ＞n ，故选C ．
10．C
解析：C
【分析】
作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.
【详解】
作出x ，y 满足约束条件261322
x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示， 目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时，
此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，
又由2132
y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
11．C
解析：C 【分析】
逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4
y x x
=+
没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4
y t t
=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；
C 项，4e 4e e 4
e x x x x y -=+=+
≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e
x
x
y -=+的最小值为4，故C 项正确；
D 项，
y =≥=
，
时，等号成立，所以函数
y =D
项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b a
a b a b a b
++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
解：因为正数a ，b 满足2a b +=，
所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b a
a b a b a b a ++=++=+
++=， 当且仅当65a =，4
5
b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最
值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项
解析：【分析】 先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，再利用基本不等式求解即可. 【详解】
由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >， 得
41
1y x
+=， 则(
)455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当
4x y
y x
=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛
解析：3+【分析】
根据对数的运算性质，可得12
12lg 2020log 2020lg lg x x x x =
-，2
3
232lg 2020
2log 2020lg lg x x x x =-，13
13
lg 2020
log 2020lg lg x x k k x x =
-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为
12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫
≤++ ⎪⎝⎭
，令k 小于等于
()12a b a b ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
的最小值即可. 【详解】
由题意，
12
1
122
lg 2020lg 2020
log 2020lg lg lg x x x x x x =
=-，23
22332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x =
=-，131133
lg 2020lg 2020
log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为
12k
a b a b
+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭
， 又(
)1221233b a a b a b a b ⎛⎫
++=+++≥+=+
⎪⎝⎭
2b a a b =时，等号成立，
所以3k ≤+k
的最大值为3+
故答案为：3+ 【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为
()12k a b a b ⎛⎫
≤++ ⎪⎝⎭
.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，
进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为
12k a b a b
+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫
≤++ ⎪⎝⎭
.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中
档题.
15．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值
解析：23 【分析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出. 【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2
c
，则由图可知
12
c
≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122
z y x =
+， 观察图形可知，当直线122
z
y x =
+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27
237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，故23221177c c +-⨯
-=，解得23c =. 故答案为：23. 【点睛】
方法点睛：线性规划常见类型， （1）y b
z x a
-=
-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a z
y x b b
=-
+的截距问题； （3）()()2
2
z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.
16．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一 解析：11
【分析】 由题得
1x y
x y xy xy
+=⇒+=，化简整理得()2
22363636
1xy xy x y y xy xy xy xy
-+++==+-再利用基本不等式可得解.
【详解】
由
11
0,0,1x y x y >>+=， 得1x y
x y xy xy
+=⇒+=， 则()2
223636x y x y x y y xy xy
+++++=
()2
2236
36x y xy x xy y xy xy
+-++++==
(
)2
36361111xy xy xy xy xy -+=
=+-≥=，
当且仅当6xy =时等号成立，
此时33x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
33x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
则2236x y y xy
++的最小值是11.
故答案为：11. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时
解析：【解析】
分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为
a k
b =-，由0a b >>可得10a
k b
-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当
直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得
1a b +=．282828()()10b a
a b a b a b a b
+=++=++
，利用基本不等式可得
2828101018b a a b a b +=++≥+=．
详解：
画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．
由10
y x y -=⎧⎨
-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．
所以
28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b
+=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0
b a
a b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩
即12
,33a b ==时，上式取“=”号．
所以
28
a b
+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；
⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则
111111()()(2)b a
a b a b m a b m a b
+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可． 18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定
解析：92
【分析】
由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】
0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列， ∴2a b +=，
∴
()411411414941(52)2222
b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当4b a a b =，即43
a =，2
3b =，取等号， 故
14
a b +的最小值为92
． 故答案为：9
2
． 【点睛】
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
19．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由
解析：1
3
【解析】
分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值. 详解：
2c cosB ＝2a ＋b ，
由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+
∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++
化简得：2sin cos sin 0B C B +=， 又0,sin 0B
B π<，得1cos 2
C =-，
0C π<<，得2
3
C π=
，
则△ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，
222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，
∴2229ab ab a b +≤，即1
3
ab ≥
， 故ab 的最小值是13
. 故答案为
13
. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.
20．【分析】可先根据得出可转化为然后乘以利用基本不等式即可求解【详
解】即的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的相关性质以及基本不等式的应用属于综合题
【分析】
可先根据1122S =得出574a a +=，
78
11
57
2a a a a a 可转化为
57
21
a a ，然后乘以57
4a a ，利用基本不等式即可求解. 【详解】
111
57
11
11112222
a a a a S ，
57
4a a ，
78
11
7811
751111
7557
57
57
5757
2222221a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ， 7557
57
5
7
5
7
2112134244
a a a a a a a a a a ， 570a a ，
755
7
0,
024a a a a ，
75755
7
57
33322
2
242
2444
a a a a a a a
a ，
即
57
21322
4a a ， 78
11
57
2a a a a a 的最小值为
34
+. 故答案为：34
+. 【点睛】
本题主要考查等差数列的相关性质，以及基本不等式的应用，属于综合题.
三、解答题
21．（1）不符合，理由见解析；（2）推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元. 【分析】
(1)根据题意，由微量元素α的摄入量控制在[]
300,330计算营养液B 的服用量必须控制在
[]20,22，此时β的摄入量在[]400,440，不符合；
(2)根据题意，建立线性规划模型：54z x y =+，
其中,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪
≤+≤⎨⎪≥≥⎩
，利用线性规划求最值．
【详解】
解：（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素α的摄入量控制在[]
300,330（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]20,22（单位：毫升），此时相应微量元素β的摄入量在[]
400,440（单位：微克），不符合医学建议. 另解：“若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素β的摄入量控制在
[]250,280（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]12.5,14（单位：毫升），此时相应微量元素α的摄入量在[]187.5,210（单位：微克），不符合医学建议”
（2）设该病人每天需服用x 毫升营养液A ，y 毫升营养液B ， 则每天的营养液费用为54z x y =+，
由题意,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，即20222252280,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪
≤+≤⎨⎪≥≥⎩
可行域如下图所示
把54z x y =+变形为441
5y x z =-
+，得到斜率为54-，在y 轴上截距为14
z 的一族平行
直线．由图可以看出，当直线44
1
5y x z =-
+经过直线220x y +=和直线225x y +=的交点M 时，截距1
4z 最 小，此时z 最小．解方程组220225x y x y +=⎧⎨+=⎩
，得点M 为()5,10，
∴min 545541065z x y =+=⨯+⨯=元，
答：推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元． 【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)线性规划型应用性问题解题的关键是正确的建立线性规划模型.
22．（1）33
+；（2）30k -<≤. 【分析】
（1）将代数式()1
23
x y +与11x y +相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】
（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，
所以，()1111112132333333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，
当且仅当x =时，等号成立，
因此，
11
x y +的最小值为33
+； （2）由于不等式2
3
208
kx kx +-<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得3
08
-
<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得2
30k k k <⎧⎨∆=+<⎩
，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤. 【点睛】
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()2
0f x ax bx c a =++≠
①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩
； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩
； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩
； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩
. 23．（1）[]1,2；（2）()
(],11,2-∞． 【分析】
（1）由p 为真命题，若()[]()
220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；
（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可.
【详解】
解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，
令()[]()
220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-， 当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤．
因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．
（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ．
又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，由121
m m ≤≤⎧⎨>⎩，得12m <≤； 当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <．
综上所述，m 的取值范围为()
(],11,2-∞．
【点睛】
关键点点睛：
（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围. （2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可. 24．选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得最高学分为180分
【分析】
设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，根据题意列出线性约束条件
404030140020401000
,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩，目标函数54z x y =+，作出可行域，即可求解. 【详解】
设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，则404030140020401000,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 目标函数54z x y =+，二元一次不等式组等价于4043140250,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.
作直线:540l x y +=，
直线l 沿可行域方向平移，当直线过M 点时，目标函数取得最大值.
联立4314040x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2020
x y =⎧⎨=⎩. 所以点M 的坐标为()20,20，
此时max 520420180Z =⨯+⨯=.
所以选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得的学分最高，最高学分为180分.
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划解决实际问题，属于中档题.
25．（1）()()22111x y -+-=；（2
）12
+
【分析】
（1）根据圆心和半径，即可直接写出圆C 的方程；
（2）联立直线l 方程和圆方程，求得k 的范围，结合弦长公式，求得PQ ，再利用点到直线的距离公式，即可求得点A 到直线l 的距离，结合基本不等式，即可求得面积的最大值.
【详解】
（1）根据题意可得，圆C 的圆心为()1,1，半径1r =，
故圆方程为：()()22111x y -+-=；
（2）设直线l 的方程为y kx =，联立圆C 方程可得： ()()22
12210k x k x +-++=， 因为直线l 圆交于两点，故可得()()22Δ22410k k
=+-+>， 解得0k >；
又圆心()1,1到直线l
的距离d =故可得
PQ ==；
又点A 到直线l
的距离
h =故三角形
APQ
的面积)(
)21112212121
k S PQ h k k k +=⨯⨯==≤=++++-
+. 当且仅当1k =
时取得面积的最大值1. 【点睛】
本题考查圆方程的求解，涉及直线截圆的弦长求解，涉及基本不等式的应用，属综合中档题. 26．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()22
1120a
x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解.
【详解】 解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 故()()()()22210221120931120a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪---+=⎩
，解得2a =； （2）()f x 的定义域为R ，即()()22
1120a x a x ---+≥恒成立， 当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；
当210a -≠时，()()
222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.。