高中数学新人教A版选修1-1课堂测试生活中的优化问题举例

课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例
层级一学业水平达标
1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第
x 小时时，原油温
度（单位：C ）为f （x ）= 3X 3— X 2 + 8（0< X W 5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是
（ ）
3
20 A . 8 B.亍 C . — 1
D . — 8
解析：选C 瞬时变化率即为f ' (x) = x 2— 2x 为二次函数，且 f ' (x)= (x — 1)2— 1,
又 x € [0,5]，故 x = 1 时，f ' (x)min = — 1.
2.某城市在发展过程中， 交通状况逐渐受到大家更多的关注， 据有关的统计数据显示，
从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时
y （分钟）与车辆进入该路段的时刻 t 之间
的关系可近似地用如下函数给出： y =—丸—3t 2+ 36t — 629，则在这段时间内，通过该路段
8 4 4 用时最多的时刻是（
)
A . 6时
B . 7时
C . 8时
D . 9时
解析：选C y '
32 3
=—8t —
尹36—
3
-尹+ 12)(t — 8)
令 y ' = 0,得 t = 8 或 t =— 12（舍去）,
则当 6< t<8 时，y ' >0，当 8<t w 9 时，y ' <0, 所以当t = 8时，通过该路段所用的时间最多. 3•把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角
C . 3 2 cm 2
解析：选D 设一段为x ，则另一段为12— x （0 v x v 12）, 令 S ' (x)= 0，得 x = 6, 当 x € (0,6)时，S ' (x)v 0, 当 x € (6,12)时，S ' (x)> 0, •••当x = 6时，S(x)最小.形面积之和的最小值是（
）
B . 4 cm 2
则
S(x)=] ••• S
••• S = -4 2 X 9X 62 - 3 X 6+ 16 = 2 3（cm 2）. 4.
某公司生产某种产品， 固定成本为20 000
元，每生产一单位产品，
成本增加100元,
已知总收益R 与年产量x 的关系是R （X ）=!40°X —
仝
乂三400
80 000 X >400 ,
年生产的产品是（
A . 100
C . 200
D . 300
解析：选D 由题意，总成本为： C = 20 000 + 100X , 所以总利润为
X 2
300X — — 20 000, 0< X < 400,
P = R — C = 2
60 000 — 100X , X>400 ,
300 — X , 0< X < 400,
P ' = t —100, X >400,
令 P ' = 0，当 0< X W 400 时，得 X = 300;
当X >400时，P ' <0恒成立，易知当 X = 300时，总利润最大. 5.
某工厂要建造一个长方体的无盖箱子， 其容积为
48 m 3
,高为3 m ,如果箱底每1 m 2
的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为
（ ）
A . 900 元
B . 840 元
C . 818 元
D . 816 元
解析：选D 设箱底一边的长度为 X m ,箱子的总造价为1元，
根据题意得箱底的面积为48= 16（m 2），则长为X m 的一边的邻边长度为16 m ,
3 X l = 16X 15 + 2 X 3X + 2 X 3X 16 X 12 =240 + 72 X + 16，所以 I ' = 72 1 — 令I ' = 0,解得X = 4或X =— 4（舍去）, 当 0 V X V
4 时，I ' V 0;当 x >4 时，I ' >0.
故当X = 4时，I 有极小值，也是最小值，且最小值为
816.
因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816元.
6•某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润
（单位：万元）分别为L 1 = 5.06X — 0.15X 2
和L 2= 2X ,其中X 为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售 15辆车，则能获得的最
大利润为 ________ 万元.
则总利润最大时，每
B . 150
16
X 6.
解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15 — x)辆. 总利润 L = 5.06X — 0.15x 2+ 2(15 — x) =—0.15x 2+ 3.06x + 30(x 》0).
令 L ' =— 0.3x + 3.06= 0,得 x = 10.2. •••当x = 10时，L 有最大值45.6. 答案：45.6 7.
内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为 解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ,
则 R 2= (h — R)2+ r 2,「. r 2= 2Rh — h 2, 1 2 n 2 2 2 n 3
二 v = 3%r h = §h(2Rh — h ) = ^%Rh — , 4 2
4 V ' = 3冗Rh — di 2.令 V ' = 0 得 h = 3R. 4R 4R
当 0<h<"3-时，V ' >0;当"3-<h<2R 时，V ' <0. 4
因此当h = 3R 时，圆锥体积最大.
答案：|R
数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为 50元，总利润最大时，产量应定为 _______________ 件.
解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数
x 成反比，即a 2x = k ,
由题知a = 5°0
.
V x
总利润 y = 500 . x - Wx 3- 1 200(x>0),
75
y ' >0, x € (25,+)时，y ' <0,所以 x = 25 时, y 取最大值. 答案：25
9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为
2 400 m 2的矩形休闲
广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域， 周边及绿化区域之间是道路 (图中阴影部分)，道路的宽度均为2m •怎样 设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最 大面积.
8.某厂生产某种产品 x 件的总成本:
C(x) = 1 200+ 7^x 3, 又产品单价的平方与产品件
2 2
25x ，
=0,得 x = 25, x € (0,25)时, /
y
250
解：设休闲广场的长为x m ,则宽为2 400 m ，绿化区域的总面积为
S(x) m 2.
=2 424 — 4 x + , x € (6,600) •
•…41—嚟=宀=
令 S ' (x)>0，得 6 v x v 60;令 S ' (x) v 0，得 60v x v 600. ••• S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数, •••当x = 60时，S(x)取得极大值，也是最大值, --S(x)max = S(60) = 1 944.
•当休闲广场的长为 60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面
积最大， 最大面积为1 944 m 2.
10 •统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 的函数为 y = 1281000x 3 — 80x + 8(0vx<120) •
(1) 当x = 64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2) 若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：⑴当x = 64千米/小时时，要行驶100千米需要100=弩小时,
64 16 要耗油 蟲 ％ 643-詁64 + 8 X 釣"95(升)• (2)设22.5升油能使该型号汽车行驶 a 千米，
由题意得，128 000x — 80x + 8 X 22.5，
22.5
_1—8 — 3_128 000x 十 x 80
则当h(x)最小时，a 取最大值， , _J_ 8 x 3— 803 h (x)
= 64 000x — x 2= 64 000x 2，
令 h ' (x)= 0? x = 80, 当 x € (0,80)时，h ' (x)<0, 当 x € (80,120)时,h ' (x)>0,
故当x € (0,80)时，函数h(x)为减函数， 当x € (80,120)时，函数 h(x)为增函数，
•••当x = 80时，h(x)取得最小值，此时 a 取最大值为
则 S(x)= (x — 6) ^Y 0-4 = 2 424— 4x + 6X
2 400
y(升)关于行驶速度x(千米/小时)
设 h(x) = -^x 2 + 8-彳
128 000 x 80
层级二应试能力达标
1•已知某生产厂家的年利润
y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为
y = — |x 3 + 81x — 234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
( )
A . 13万件
D . 7万件
解析：选 C y ' =— x 2+ 81,令 y ' = 0,
解得x = 9或x =— 9(舍去)，当0 v x v 9时，y ' >0; 当x > 9时，y ' v 0.所以当x = 9时，y 取得最大值. 2.某工厂要围建一个面积为
512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁， 其他三
边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 ( )
=0，得 x = ±16.
■/ x > 0 ,••• x = 16.
当x = 16时，L min = 64,二堆料场的长为512 = 32(m).
16 3.某商品一件的成本为
30兀，在某段时间内若以每件 x 兀出售，可卖出(200 — x)件,
要使利润最大每件定价为 (
)
A . 110 元
B . 115 元
C . 120 元
D . 125 元
解析：选B 设每件商品定价 x 元，依题意可得
利润为 S(x)= (x — 30)(200 — x)=— x 2 + 230x — 6 000(0<x<200),
…a =
22.5
1
128000 x 802 + 8
80
3 80
=200.
故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶 200千米.
B . 11万件
C . 9万件
A . 32 m,16 m
B . 30 m,15 m
C . 40 m,20 m
D . 36 m,18 m
如图所示，设场地宽为 x m ,则
长为 512
x m ,
因此新墙总长度 L = 2x +
512
x
(x > 0),
S' (x) =—2x+ 230，令—2x + 230 = 0,得x= 115.
因为在(0,200)内S(x)只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大.
4•若一球的半径为 r ,作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为
( )
2 2
A • 2 n
B .曲 2 1 2
C . 4 n
D.Q n 解析：选A 设内接圆柱的底面半径为 冷，高为t ,
则 S = 2 n i t = 2 n i 2 r 2 — r 2 = 4 n i r 2 — r 1.
••• S = 4 n r 2r 2— r 1.令(r 2r 2— r 4)' = 0 得 r i =¥「.
5.某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存
储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x = ________ 吨.
•总运费与总存储费之和
f(x) = 4n + 4x = 1 600 + 4x ,
令 f ' (x)= 4 — 1x 00= 0,解得 x = 20, x =— 20(舍去), x = 20是函数f(x)的最小值点，故当 x = 20时，f(x)最小. 答案：20 6. —个帐篷，它下部的形状是高为
1 m 的正六棱柱，上部的形状是
侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点 O 到底面中心 O i 的距离为 __________ m 时，帐篷的体积最大.
解析：设OO 1为x m ,底面正六边形的面积为 S m 2,帐篷的体积为
则由题设可得正六棱锥底面边长为 .32— x — 1 2= 8 + 2x — x 2(m),
于是底面正六边形的面积为
■j 3 2 2 3 ■■■ 3 2
S = 6X^( 8+ 2x — x ) = 丁(8 + 2x — x ).
帐篷的体积为
1 3 3 2
3 3 2
V = 3x 2 (8 + 2x — x )(x — 1) + 2 (8 + 2x — x )
-J 13 2 3 3 y(8 + 2x — x )[ x — 1 + 3]=牙(16 + 12x — x ),
解析：设该公司一年内总共购买
n 次货物，则
400
V' =_23(12 —3x2).
令V' = 0，解得x= 2或x = —2(不合题意，舍去).
当 1 v X V 2 时，V > 0;当 2v X V 4 时，V v 0. 所以当x = 2时，V 最大.
答案：2
会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 正比•已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.
(1) 将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； ⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降彳氐x 元，则一个星期多卖出的商品为 kx 2件.
由已知条件，得 k 22 = 24,解得k = 6. 若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有
f(x)= (30 — x — 9)(432 + 6x 2)
=-6x 3 + 126x 2— 432x + 9 072, x € [0,21].
2
(2) 由(1)得,f (x) = — 18x + 252x — 432. 令 f ' (x)= 0，得 x = 2 或 x = 12.
当x 变化时，f ' (x), f(x)的变化情况如表所示：
因为 f(0) = 9 072 , f(12) = 11 664, f(21) = 0,
所以定价为30 — 12= 18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
8. 两县城 A 和B
相距20 km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一 点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城
A 和城
B 的
总影响度为对城 A 与对城B 的影响度之和•记 C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃 圾处理厂对城 A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选
地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为
4;对城B 的影响度与所选地点到城
B 的距
离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响 度为0.065.
(1) 将y 表示成x 的函数f(x);
(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对
7.某产品每件成本
9元，售价30元，每星期卖出
432件.如果降低价格，销售量将 x(单位：元，0w x < 21)的平方成
城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.
解：⑴根据题意/ ACB= 90 ° , |AC|= x km , |BC|= 400 —x2 km，且建在
4 k
圾处理厂对城A的影响度为艾，对城B的影响度为—— ,
x 400 —x
因此，总影响度戸寺+ 亠(0v x v 20).
又垃圾处理厂建在 A B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065,
4 k
故有+ = 0.065
故有：102+ 102 2 400 - 102+ 102 2，
4 9
解得k = 9,故y= f(x)=子+ do。

_ *2(0 v x v 20).
⑵f，(X)一§+册-
4 2 2
18x —8 X(400 —x y
= 3 2"2
x (400 —x 2
(x2+ 800 (10x2—1 600)
= x3 400—x2 2.
令f' (x)= 0，解得x= 4 10或x =— 4 10(舍去).
所以当x€ (0,4 10)时，f' (x)v 0, y为减函数；
当x € (4 10, 20)时，f' (x) >0, y 为增函数.
故在x = 4 10处，函数f(x)取得极小值，也是最小值.即垃圾场离城A的距离为
时，对城A和城B的总影响最小. C处的垃4 10 m。