高邮市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

高邮市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则
()()f x x R Î02[,](1),01
()sin ,12x x x f x x x ì-££ï=íp <£ïî
（ ）1741
((46f f +=A ． B ． C ． D ．
7169161116
1316
【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．2． “
”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的（
）
A ．充分非必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
3． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（ ）2
1
A ．
B ．
C ．或
D ．或21-1-21-10
4． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，）
，且a 2＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
5． 不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．2
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
7． 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（
）
A ．2
B ．
C ．﹣1
D ．以上都不正确
9． 已知角α的终边上有一点P （1，3），则的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣4
10．若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．
D ．3
11．等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．4
12．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ）
A ．36种
B ．18种
C ．27种
D ．24种
二、填空题
13．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．14．已知，，与的夹角为，则
．
||2=a ||1=b 2-a 13
b 3
π
|2|+=a b 15．椭圆
+
=1上的点到直线l ：x ﹣2y ﹣12=0的最大距离为 ．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
17．已知||=1，||=2，与的夹角为
，那么|
+
||﹣|= ．
18．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
三、解答题
19．已知椭圆C 1：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率e=
，且经过点（1，
），抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）
的焦点F 与椭圆C 1的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F 的直线与抛物线C 2交于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线C 2的切线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的交点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O ：x 2+y 2=5上任意一点P 作椭圆C 1的两条切线，切点为A ，B ，证明：∠APB 为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分12分）
某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：
10员工编号12345678910年薪（万元）
3
3．5
4
5
5．5
6．5
7
7．5
8
50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望；
225ξξ（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为万元、万35.4元、万元、万元，预测该员工第五年的年薪为多少？6.52.7
附：线性回归方程中系数计算公式分别为：a x b y
ˆˆˆ+= ，，其中、为样本均值．1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑$x b y a
ˆˆ-=x y
21．设函数．
（1）若x=1是f （x ）的极大值点，求a 的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F （x ）=f （x ）﹣λx 2有唯一零点，求正数λ的值．　
22．已知、、是三个平面，且，，，且．求证：、
αβc αβ=I a βγ=I b αγ=I a b O =I 、三线共点．
23．已知函数f （x ）=lnx ﹣ax+（a ∈R ）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f （x ）在定义域内存在两个极值点，求a 的取值范围．
24．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：
场数91011121314人数
10
18
22
25
20
5
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
非歌迷歌迷合计
男
女
合计
（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
P（K2≥k）0.050.01
k 3.841 6.635
附：K2=．
高邮市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
2． 【答案】A
【解析】解：由x 2+x+m=0知， ⇔
．
（或由△≥0得1﹣4m ≥0，∴
．）
，反之“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”必有，未必有
，
因此“”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A ．
【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．　
3． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，
⎩⎨⎧=x y x lg 20
0>≤x x 0≤x 212=x
1-=x 0>x 21lg =x 解得，所以输入的是或，故选D.
10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]4． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），且a 2＜，
∴f （x ）＜0的解集为（﹣b ，﹣a 2），g （x ）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f （x ）g （x ）＞0等价为或
，
即a 2＜x ＜或﹣＜x ＜﹣a 2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a 2）∪（a 2，），故选：A ．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f （x ）＜0和g （x ）＜0的解集是解决本题的关键．
5．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
则对应的平面区域为矩形OABC，
则B（3，0），
由，解得，即C（，），
∴矩形OABC的面积S=2S△0BC=2×=，
故选：B
【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区，利用数形结合是解决本题的关键．
6．【答案】A
【解析】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0
故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
7．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．
根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴=，
，可得e=．
故此双曲线的离心率为：．
故选D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5
满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9
…
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．
故选：B．
9．【答案】A
【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上，
∴tanα=3，
∴====﹣．
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，
∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，
所以f（9）=log33=1．
故选：B．
【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4
=4lg（a4•a5）=4lg10=4
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
12．【答案】C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
二、填空题
13．【答案】　（3，1）　．
【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得
即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∴2x+y﹣7=0，①
且x+y﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点．
由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；
故答案为：（3，1）
14．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．与的夹角为，，a b 23
π
1⋅=-a b
∴．
|2|+=
a b 2==15．【答案】　4　．
【解析】解：由题意，设P （4cos θ，2sin θ）
则P 到直线的距离为d==
，
当sin （θ﹣）=1时，d 取得最大值为4，
故答案为：4．
16．【答案】 ．
【解析】解：如图，将AM 平移到B 1E ，NC 平移到B 1F ，则∠EB 1F 为直线AM 与CN 所成角
设边长为1，则B 1E=B 1F=，EF=
∴cos ∠EB 1F=，故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　
17．【答案】 ．
【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，
∴
=
=1×
=1．
∴|+||﹣|==
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
18．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得cosC==＞0
∵C∈（0，π），∴角C是锐角，
由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形
故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，
故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），
故抛物线方程为x2=4y…
设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为
，即，
同理l2的方程为，
令，即，显然x1≠x2，
故，即点Q的横坐标是，
点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），
故点Q的轨迹方程是y=﹣1…
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，
则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，
此时两条切线方程分别为，此时，
若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…
②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，
则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），
与椭圆方程联立消元得…
由于直线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0）是椭圆的切线，故，
整理得
…
切线PA ，PB 的斜率k 1，k 2是上述方程的两个实根，故，…点P 在圆x 2+y 2=5上，故，所以k 1k 2=﹣1，所以．综上可知：∠APB 的大小为定值
，得证…
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．　
20．【答案】
【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元．（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
取值为0，1，2．
ξ
，，，152)0(2102
4===C C P ξ158
)1(2
101614===C C C P ξ3
1)2(21026===C C P ξ∴的分布列为
ξξ
012
P
1521583
1
∴．2816()012151535
E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，
)4,3,2,1(,=i y x i i 5,5.2==y x ，
2
1()
2.250.250.25 2.255n
i
i x x =-=+++=∑，
4
1
()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，，1
2
1
()(7 1.45
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑$ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a
y b x =-=-⨯=由线性回归方程为．可预测该员工年后的年薪收入为万元．1.4 1.5y x =+8.521．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a ．
∴
．…
①若a ≥0，由f'（x ）=0，得x=1．
当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，
即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，
则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．…
【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
22．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：平面的基本性质与推论．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=﹣1﹣=，
∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a＜．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非歌迷歌迷合计
男301545
女451055
合计7525100
…
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．
∴P（A）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．。