F15 机械振动2010_3

T= 2π
dx = v(0) = − Aω sinϕ dt t =0
A = x (0 ) +
2
v ( 0)
2
ω2
ω
= 2πω −1
初位移,初速度决定初位相和振幅, 由振动系统决定。 初位移,初速度决定初位相和振幅,ω由振动系统决定。 决定初位相
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弹簧振子的解：
x = A cos
(ωtc + ϕ ) ≠ (ωtc" + ϕ ) c’和c’’点 x坐标相同 但状态不同 和 点 坐标相同 但状态不同. 坐标相同，但状态不同 cos(ωtc + ϕ ) ≠ cos(ωtc" + ϕ )
c点和 点x坐标相同 状态相同. 点和c’ 坐标相同，状态相同 点和 坐标相同 状态相同.
(ωtc + ϕ ) ≠ (ωtc ' + ϕ ) cos(ωtc + ϕ ) = cos(ωtc ' + ϕ ) ( 由于函数的周期性： 由于函数的周期性：ωtc ' + ϕ ) − (ωtc + ϕ ) = 2π 状态也相同
-10
x =10×cos(0.1 t + π ) π 3
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0
20
v = −1×π sin (0.1 t + 3 ) π
t/s
40
60
80
π
23
1 一质点作简谐振动， 例：一质点作简谐振动，已知 t = 0, v0 = vm > 0 ，且 2 质点的速度在增大。 质点的速度在增大。若质点的质点的振动规律用余弦 函数描述，求其振动初相。 函数描述，求其振动初相。
gggd.m
98.696
vm
31.4159
1 vm 2
10 0 -10
x/m
-31.4159
1 π v0 = vm = vm cos(ϕ + ) > 0 2 2 π 1 cos(ϕ + ) = 2 2 (ϕ + ) = ± 2 3 5π ∴ϕ = − 6
0
-98.696
π
π
2
4
6
t/s
v = vm cos(ωt + ϕ + ) 2
解：设
x = A cos(ωt + ϕ )
1 π 题给： 题给： v0 = vm = vm cos(ϕ + ) > 0 2 2 π 1 cos(ϕ + ) = 2 2
v = vm cos(ωt + ϕ + ) 2
π
(ϕ + ) = ± 2 3 5π ∴ϕ = − 6
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π
π
v
24
20-Sep-2007
s
∫∫ B• dS = 0
s
∂B ∫ E • dl = −∫∫ ∂t •dS l S
∂B ∫ E • dl = −∫∫ ∂t •dS l S
∂E ∫ B • dl = µ0 ∑ I 0i + µ0ε 0 ∫∫ ∂t • dS i l
∂E ∫ H • dl = ∑I0i +ε0 ∫∫ ∂t • dS i l
固有频率：
(
k m
t +ϕ
k m
)
单摆的解： 单摆的解：
θ = A cos
固有频率： 固有频率：
(
g l
t +ϕ
g l
)
ω=
周期为: 周期为:
ω =
周期为: 周期为:
m ∴T = = 2π k ω
2π
g ∴T = = 2π l ω
2π
F = −kx ∝ x
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− q m 例：负电荷-q在沿带电球的直径 负电荷+Q
第15章 15章
§15.1 §15.2 §15.3 §15.4 §15.5 §15.6
机械振动
相位
简諧振动与动力学方程 简諧振动的数学表示 旋转矢量与谐振动能量 简諧振动的合成 振动的相空间描述 阻尼振动与受迫振动 共振
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机械简谐振动
机械振动: 机械振动: 物体在一定位置附近作来回 的往复运动。 的往复运动。 心脏的跳动， 钟摆的运动等. 例如 心脏的跳动， 钟摆的运动等. 广义振动: 广义振动: 任意物理量在一定位置附近 作来回的往复运动。 作来回的往复运动。 交流电、 例如 交流电、 电磁波等
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各方程的物理意义： 各方程的物理意义： 物理意义
(1)在任何电场中，通过任何闭合曲面的电通量等于该 在任何电场中，
闭合曲面内(自由)电荷的代数和。——有源场 闭合曲面内(自由)电荷的代数和。 有源场
(2)在任何磁场中，通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0。 在任何磁场中， 。
——无源场 无源场
∂D ∂E jD = = ε0 ∂t ∂t
∂D ∫ H • dl = I + ID = I + ∫∫ ∂t • dS l
全电流: 传导电流＋ 全电流 传导电流＋位移电流
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全电流连续
2
求位移电流的途径： 求位移电流的途径：
Q = Q(t ) 1 已知 U = U (t )
dQ dU ID = I = =C dt dt I jD = 电容器极板面积 S
其中:
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T =
1
ν
2πν = ω
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二.简谐振动的表达式: 简谐振动的表达式:
T,A,ϕ 完全确定一个振动
T =
2π
ω
x(t ) = A cos(ωt + ϕ )
位移 振幅 角频率 位相 初位相
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x(t ) = A cos(ωt + ϕ )
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∂ε0E ∫ H • dl = ∫∫ (∇× H)• dS = ∫∫ j • dS + ∫∫ ∂t • dS l S
其中算符： 其中算符：
∂ ∂ ∂ ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂z
∂D ∇× H = j + ∂t
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大学物理
第15章 15章
振动
华中科技大学 物理系
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第13章 电磁感应 13章
感应电动势 动生电动势 感生电动势
dΨm εi = − dt
互感电动势 自感电动势
εi = ∫ (v × B) ⋅ dl
∂B εi = ∫ Ei• dl = −∫∫ ⋅ dS l ∂t S Ψ21 ε21 di1 M= = εi =−M i1 di1 dt dt
Ψ21=M 1 i
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振动的速度、加速度： 三 振动的速度、加速度：
∵ x = A cos(ωt + ϕ )
a = −ω x
2
dx π ∴ = v = −ωA sin (ωt + ϕ ) = ωA cos ωt + ϕ + dt 2 2 d x v m = ωA 2 = a = − Aω cos(ωt + ϕ ) 2 dt 2
∂E ∂D jD = ε0 = ∂t ∂t
求出E， D
2
∂E ∂D I D = ∫ jD • dS = ∫ ε0 • dS = ∫ • dS ∂t ∂t S S S
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Maxwell 方程组
∑q ∫∫ E • dS =
s j
i
ε0
∫∫ D• dS = ∑q
s j
i
∫∫ B• dS = 0
∆ ϕ = 2 kπ
k = 1,2,3, …
用位相表达质点振动状态,充分反映了振动的周期性. 用位相表达质点振动状态,充分反映了振动的周期性. 而定义振动的初位相为 而定义振动的初位相为: 初位相
ϕ 0 = ϕ (0 ) = (ωt + ϕ ) t =0
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简谐振动必须用质点运动的相位表示其状态。 简谐振动必须用质点运动的相位表示其状态。 相位表示其状态
隧道中的运动是否简谐运动？ 隧道中的运动是否简谐运动？
R
ε0
F = − qE
Q 4πε 0 E= Q 4πε 0
r R3 1 r2
r<R r≥R
qQ F =− r = −kr 3 4πε0 R
d 2r − kr = ma = m 2 dt
d 2r k + r=0 2 m dt
2
Ft
m(2 ) 2 dt l
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d 2x k + x = 0 …… (1) 2 dt m 2 d θ g + θ = 0 … … (2 ) 2 dt l
令:
k ω = m
2
和
g ω = l
2
(1)式和 式和(2)式可表示为下列统一形式: 式可表示为下列统一形式: 式和 式可表示为下列统一形式
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π
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d x 2 + ω x= 0 2 dt
方程的解为:
2
x = A cos(ωt + ϕ )
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x = A cos( ω t + ϕ )
是积分常数,由振动的初始条件确定: 其中A和ϕ 是积分常数,由振动的初始条件确定:
x(0 ) = A cos ϕ
v (0) −1 ∴ ϕ = tg − ω x (0)
am = ω A