高等数学(同济大学第五版)第十二章

习题12−1
1. 试说出下列各微分方程的阶数:
(1)x (y ′)2−2yy ′+x =0;
解 一阶.
(2)x 2y ′−xy ′+y =0;
解 一阶.
(3)xy ′′′+2y ′+x 2y =0;
解 三阶.
(4)(7x −6y )dx +(x +y )dy =0;
解 一阶.
(5)022=++C Q dt dQ R dt
Q d L ; 解 二阶.
(6)θρθ
ρ2sin =+d d . 解 一阶.
2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
(1)xy ′=2y , y =5x 2;
解 y ′=10x .
因为xy ′=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.
(2)y ′+y =0, y =3sin x −4cos x ;
解 y ′=3cos x +4sin x .
因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x −4cos x =7sin x −cos x ≠0,
所以y =3sin x −4cos x 不是所给微分方程的解.
(3)y ′′−2y ′+y =0, y =x 2e x ;
解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .
因为y ′′−2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x −2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,
所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.
(4)y ′′−(λ1+λ2)y ′+λ1λ2y =0, .
x x e C e C y 2121λλ+= 解 , .
x x e C e C y 212211λλλλ+=′x x e C e C y 21222211λλλλ+=′′
因为y y y 2121)(λλλλ+′+−′′
)())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++−+= =0,
所以是所给微分方程的解.
x x e C e C y 2121λλ+= 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:
(1)(x −2y )y ′=2x −y , x 2−xy +y 2=C ;
解 将x 2−xy +y 2=C 的两边对x 求导得
2x −y −xy ′+2y y ′=0,
即 (x −2y )y ′=2x −y ,
所以由x 2−xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.
(2)(xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0, y =ln(xy ).
解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得
y y x y ′+=
′11, 即x
xy y y −=′. 再次求导得 )(1)()()1()(22
22y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y ′+′−′−⋅−=−+−′−=−−′+−−′=′′. 注意到由y y x y ′+=′11可得1−′=′y x y y
x , 所以 )2(1])1([12y y y y x x
xy y y y y y x x xy y ′+′−′−⋅−=′+′−′−′−⋅−=′′, 从而 (xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0,
即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.
4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:
(1)x 2−y 2=C , y |x =0=5;
解 由y |x =0=0得02−52=C , C =−25, 故x 2−y 2=−25.
(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y ′|x =0=1;
解 y ′=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .
由y |x =0=0, y ′|x =0=1得
, ⎩⎨⎧=+=101
21C C C 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .
(3)y =C 1sin(x −C 2), y |x =π=1, y ′|x =π=0.
解 y ′=C 1cos(x −C 2).
由y |x =π=1, y ′|x =π=0得
, 即, ⎩⎨⎧=−=−0)cos(1)sin(2121C C C C ππ⎩⎨⎧=−=0cos 1sin 21
21C C C C 解之得C 1=1, 22π=C , 故2
sin(π−=x y , 即y =−cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ′, 由条件y ′=x 2, 这便是所求微分方程.
(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分.
解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y ′−
1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(−x , 0), 从而有
y x x y ′
−=+−10, 即yy ′+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.
解
2
T P k dT dP =, 其中k 为比例系数.
习题12−11
1. 试用幂级数求下列各微分方程的解:
(1)y ′−xy −x =1;
解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞=+
=1
0n n n x a a y ,
11
1011=−−−∑∑∞=+∞=−x x a x a x na n n n n n n 即 . 0])2[()12()1(112021=−++−−+−+∞
=+∑n n n n x a a n x a a a 可见 a 1−1=0, 2a 2−a 0−1=0, (n +2)a n +2−a n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),
于是 , 11=a 2102a a +=
, !!313=a , !!4104a a +=, ⋅ ⋅ ⋅ , !)!12(112−=−k a k , !
)!2(102k a a k +=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!2(1!)!12(1[
1
20120∑∞=−++−+=k k k x k a x k a y ∑∑∞=∞=−++−+=12011202
(!1)1(!)!12(1k k k k x k a x
k a ∑∞=−−+++−=11220!
)!12(1)1(12k k x x k e a , 即原方程的通解为∑∞=−−+−=1122
!)!12(112
k k x x k Ce y .
(2)y ′′+xy ′+y =0;
解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==
0n n n x a y ,
0)1(01122=++−∑∑∑∞
=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a x
na x x a n n
即 , 0])1()1)(2[(21220=++++++∑∞
=+n n n n x a n a n n a a 于是 0221a a −=,1331a a −=, ⋅ ⋅ ⋅,1112!)!12()1(a k a k k −−=−−,0
2!)!2()1(a k a k k −=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!12()1(!)!2()1([12112010+∞
=+−+−++=∑k k k k k x k a x k a x a a y ∑∑∞=−−∞
=−−+−=11211020!)!12()1()2(!!1k k k k k x k a x k a ∑∞=−−−−−+=1
121120!)!12()1(2k k k x x k a e a , 即原方程的通解为
∑∞=−−−−−+=1
121221!)!12()1(2k k k x x k C e C y . (3)xy ′′−(x +m )y ′+my =0(m 为自然数);
解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==
0n n n x a y , 0)()1(0112
2=++−−∑∑∑∞
=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a m x
na m x x a n n x 即 . 0])())(1[()(1
110=−−−++−∑∞=+n n n n x a m n a m n n a a m 可见 (a 0−a 1)m =0, (n −m )[(n +1)a n +1−a n ]=0 (n ≠m ),
于是 a 0=a 1,)2( )2()1(1+≥+⋅⋅⋅−=
+m n m n n a a m n ,)( !11m n a n a n ≤=. 所以 ∑∑∞+=+++=+⋅⋅⋅−+++=2111100)
2()1(!m n n m m m m n n x m n n a x a x n a a y
∑∑∞+=+++=+++=211100!
)!1(!m n n m n m m
n n n x a m x a n x a ∑∑∞+=+=++=1
100!)!1(!m n n m m n n n x a m n x a )!
()!1(!0100∑∑=+=−++=m n n x m m n n n x e a m n x a
∑=+++−++=m n n m x m n x a m a e a m 0101!])!1([)!1(, 即原方程的通解为
∑=+=m n n x n x C e C y 02
1!(其中C 1, C 2为任意常数). (4)(1−x )y ′=x 2−y ;
解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==
0n n n x a y ,
∑∑∞=∞=−−=−0
211)1(n n n n n n x a x x na x 即 . 0])1[()13(231223201=+−++−−+++∑∞
=+n n n n n x a na a n x a a x a a a 可见 a 1+a 0=0, 2a 2=0, 3a 3−a 2−1=0, (n +1)a n +1−(n −1)a n =0(n ≥3),
于是 a 1=−a 0, a 2=0, 313=
a , )
1(221−=−=−n n a n n a n n (n ≥4). 因此原方程的通解为
∑∞=−++−=43)1(231)1(n n x n n x x C y (C =a 0为任意常数). . (5)(x +1)y ′=x 2−2x +y .
解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞
==0n n n x a y
, ∑∑∞=∞=−+−=+0
2
112)1(n n n n n n x a x x x na x 即 . 0])1()1[()13()1(231232210=++−+
−+++++−∑∞=+n n n n x a n a n x a a x a a a 于是 a 1=a 0, a 2=−1,323=
a ,)4()1(4)1( 231≥−−=−−=−−n n n a n n a n n n
. 因此原方程的通解为 ∑∞=−−−++−+=4332
)1(4)1(32)1(n n n x n n x x x C y (C =a 0为任意常数). 2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解:
(1)y ′=y 2+x 3, 2
1|0==x y ; 解 根据初始条件, 可设方程的解为∑∞=+=1
21n n n x a y , 代入方程得 321
11)21(x x a x na n n n n n n ++=∑∑∞=∞=−, 即 ⋅⋅⋅+++++++=+∑∑∞=∞=− )2(241431223212211321
1x a a a x a a x a x a x x na a n n n n n n . 比较两边同次幂的系数得
4
11=
a , 2a 2=a 1, 3a 3=a 2+a 12, 4a 4=a 3+2a 1a 2+1, ⋅ ⋅ ⋅, 于是 411=a , 812=a , 1613=a , 3294=a , ⋅ ⋅ ⋅. 因此所求特解为
32
9161814121432⋅⋅⋅+++++=x x x x y . (2)(1−x )y ′+y =1+x , y |x =0=0;
解 根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==1
n n n x a y
,
x x a x na x n n n n n n +=+−∑∑∞
=∞=−1)1(111即 . x x a n a n a n n n n +=−+−+
∑∞=+1])1()1[(1
11比较系数得 , 11=a 212=
a , )3( )1(121≥−=−=−n n n a n n a n n . 因此所求特解为
∑∑∞=∞=−+=−++=232)
1(1)1(121n n n n x n n x x n n x x y . 因为∑∞
=−2)1(1n n x n n 的和函数为(1−x )ln(1−x )+x , 所以特解还可以写成 y =2x +(1−x )ln(1−x )+x .
(3)0cos 2
2=+t x dt x d , x |t =0=a , 0|0==t dt dx . 解 根据初始条件, 可设方程的解为. ∑∞=+
=2n n n t a a x 将, ∑∞=+=2n n
n t a a x ∑∞=−−=2222)1(n n n t a n n dt x d 和∑∞=−=02)!2()1(cos n n n t n t 代 入方程得
0)!2()1()()1(02222=−++−∑∑∑∞
=∞=∞=−n n n n n n n n n t n t a a t a n n .
将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得
, a a =001=a , !22a a −=, , 03=a !
424a a =, , 05=a !696a a −=, , 07=a !
8558a a =, ⋅ ⋅ ⋅. 故所求特解为 !855!69!42!211(8642⋅⋅⋅++−+−
=t t t t a x .
习题12−2
1. 求下列微分方程的通解:
(1)xy ′−y ln y =0;
解 分离变量得
dx x
dy y y 1ln 1=, 两边积分得
∫∫=dx x dy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,
故通解为y =e Cx .
(2)3x 2+5x −5y ′=0;
解 分离变量得
5dy =(3x 2+5x )dx ,
两边积分得
, ∫
∫+=dx x x dy )53(52即 1232
55C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中15
1C =为任意常数.
(3)2211y y x −=′−;
解 分离变量得
2
211x dx y dy −=−, 两边积分得
∫∫−=−2
211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,
故通解为y =sin(arcsin x +C ).
(4)y ′−xy ′=a (y 2+y ′);
解 方程变形为(1−x −a )y ′=ay 2, 分离变量得
dx x a a dy y −−=112
, 两边积分得
∫∫−−=dx x
a a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y
−−−−=−, 故通解为)
1ln(1x a a C y −−+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得
dx x
x y y y tan sec tan sec 22−=, 两边积分得
∫∫−=dx x
x y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=−ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .
(6)y x dx
dy +=10; 解 分离变量得
10−y dy =10x dx ,
两边积分得
∫
∫=−dx dy x y 1010, 即 10
ln 10ln 1010ln 10C x y +=−−, 或 10−y =10x +C ,
故通解为y =−lg(C −10x ).
(7)(e x +y −e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;
解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1−e y )dx , 分离变量得
dx e e dy e e x
x y y +=−11, 两边积分得
∫∫+=−dx e e dy e e x
x y y 11, 即 −ln(e y )=ln(e x +1)−ln C ,
故通解为(e x +1)(e y −1)=C .
(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;
解 分离变量得
dx x
x dy y y sin cos sin cos −=, 两边积分得
∫∫−=dx x x dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=−ln(sin x )+ln C ,
故通解为sin x sin y =C .
(9)0)1(32=++x dx
dy y ; 解 分离变量得
(y +1)2dy =−x 3dx ,
两边积分得
∫∫−=+dx x dy y 32)1(, 即 1434
1)1(31C x y +−=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).
(10)ydx +(x 2−4x )dy =0.
解 分离变量得
dx x
x dy y 411(4−+=, 两边积分得
∫∫−+=dx x x dy y )41
1(4, 即 ln y 4=ln x −ln(4−x )+ln C ,
故通解为y 4(4−x )=Cx .
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
(1)y ′=e 2x −y , y |x =0=0;
解 分离变量得
e y dy =e 2x dx ,
两边积分得
, ∫
∫=dx e dy e x y 2即 C e e x y +=221,
或 )21ln(2C e y x +=.
由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=
C , 所以特解2121ln(2+=x e y .
(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π=
=x y ; 解 分离变量得
tan y dy =tan x dx ,
两边积分得
∫∫=xdx ydy tan tan ,
即 −ln(cos y )=−ln(cos x )−ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π=
=x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.
(3)y ′sin x =y ln y , e y x ==2
π;
解 分离变量得
dx x
dy y y sin 1ln 1=, 两边积分得
∫∫=dx x dy y y sin 1ln 1,
即 C x
y ln 2
ln(tan )ln(ln +=, 或
2tan x C e y =. 由e y x ==π2得4
tan πC e e =, C =1,
所以特解为2tan x e y =.
(4)cos ydx +(1+e −x )sin ydy =0, 4
|0π=
=x y ; 解 分离变量得
dx e e dy y y x x +=−1cos sin , 两边积分得
∫∫+=−dx e e dy y y x
x 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,
或 cos y =C (e x +1).
由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 4
2=C , 所以特解为)1(4
2cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.
解 分离变量得
dx x
dy y 21−=, 两边积分得
∫∫−=dx x dy y 21, 即 ln y =−2ln x +ln C ,
或 y =Cx −2.
由y |x =2=1得C ⋅2−2=1, C =4, 所以特解为2
4x y =.
3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.
解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有
x dt
dV )9802(5.062.0×××=, 即dt x dV )9802(5.062.0×××=. 又因为330tan x x r =°=,
故 dx x dx r V 223
ππ−=−=, 从而 dx x dt x 23
)9802(5.062.0π−=×××, 即 x dt 2398025.062.03×××=π
,
因此 C x t +×××−=25980
25.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053××××=
πC ,
故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(980
25.062.0532252525+−=−××××=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .
4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50
104k =, 从而k =20, 因此v
t F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即v t dt dv 201=⋅
, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得
C t v +=22102
1, 即C t v 2202+=. 由初始条件有C +×=221010502
1, C =250. 因此 500202+=t v .
当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+×=v .
5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.
解 由题设知,
R dt dR λ−=, 即dt R
dR λ−=, 两边积分得
ln R =−λt +C 1,
从而 .
)( 1C t e C Ce R ==−λ 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e −λt .
又由于当t =1600时, 021R R =
, 故λ16000021−=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0−−==.
6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.
解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为 x
y x y −=−−2002, 故曲线满足微分方程:
x y dx dy −=, 即dx x dy y 11−=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .
因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2×3=6, 曲线方程为xy =6.
7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.
解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v −==
, 故dx =ky (h −y )dt .
又由已知, y =at , 代入上式得
dx =kat (h −at )dt ,
积分得
C t ka kaht x +−=3223121.
由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223
121t ka kaht x −=
. 因此船运动路线的函数方程为
⎪⎩⎪⎨⎧=−=ay
y t ka kaht x 3
223121, 从而一般方程为)312
(32y y h a k x −=.
习题12−3
1. 求下列齐次方程的通解:
(1)022=−−−′x y y y x ;
解 原方程变为
1)(2−−=x y x y dx dy . 令x
y u =, 则原方程化为 12−+=+u u dx du x u , 即dx x du u 11
12=−, 两边积分得
C x u u ln ln )1ln(2+=−+, 即Cx u u =−+12, 将x
y u =代入上式得原方程的通解
Cx x y x y =−+1)(2, 即222Cx x y y =−+. (2)x
y y dx dy x
ln =; 解 原方程变为x
y x y dx dy ln =. 令x
y u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=−, 两边积分得
ln(ln u −1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将x
y u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.
(3)(x 2+y 2)dx −xydy =0;
解 这是齐次方程. 令x
y u =
, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx −x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=,
两边积分得
u 2=ln x 2+C , 将x
y u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).
(4)(x 3+y 3)dx −3xy 2dy =0;
解 这是齐次方程. 令x
y u =
, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx −3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=−, 两边积分得
C x u ln ln )21ln(213+=−−, 即2312x C u −
=, 将x
y u =代入上式得原方程的通解 x 3−2y 3=Cx .
(5)0ch 3)ch 3sh
2(=−+dy x
y x dx x y y x y x ; 解 原方程变为x
y x y dx dy +=th 32. 令x
y u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得
3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x
y u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx x
y =. (6)0)1(2)21(=−++dy y
x e dx e y x y x . 解 原方程变为y x
y x
e e y x dy dx 21)1(2+−=.
令y
x u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+−=+, 即u u e
e u dy du y 212++−=, 分离变量得
dy y du e u e u
u 1221−=++, 两边积分得
ln(u +2e u )=−ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将y
x u =代入上式得原方程的通解 C e y
x y y x =+)2(, 即C ye x y x =+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
(1)(y 2−3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;
解 这是齐次方程. 令x
y u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2−3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,
即 dx x du u u u 133
2=−−, 或dx x du u u u 1)11113(=−+++− 两边积分得
−3ln |u |+ln|u +1|+ln|u −1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2−1=Cxu 3, 将x
y u =代入上式得原方程的通解 y 2−x 2=Cy 3.
由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2−x 2=y 3.
(2)x
y y x y +=′, y |x =1=2; 解 令x
y u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx x
udu 1=, 两边积分得
C x u +=ln 212,
将x
y u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).
由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).
(3)(x 2+2xy −y 2)dx +(y 2+2xy −x 2)dy =0, y |x =1=1.
解 这是齐次方程. 令x
y u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u −x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u −x 2)(udx +xdu )=0,
即
dx x du u u u u u 11
12232−=+++−+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+−+, 两边积分得
ln|u +1|−ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将x
y u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).
由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).
3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程. 解 设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x =−∫,
两边求导得 x x y x x y x y 2)(21)(21)(=′−−
, 即 4−=
′x y y . 令x
y u =, 则有 4−=+u dx du x u , 即dx x
du u 41−=, 两边积分得
u =−4ln x +C . 将x
y u =代入上式得方程的通解 y =−4x ln x +Cx .
由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =−4x ln x +x .
习题12−4
1. 求下列微分方程的通解:
(1)x e y dx
dy −=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+∫⋅∫=−−−−−∫
∫. (2)xy ′+y =x 2+3x +2;
解 原方程变为x x y x y 2
31
++=+′.
])2
3([1
1
C dx e x x e y x x +∫⋅++∫=∫−
])23(1
])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=∫∫
x C
x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.
(3)y ′+y cos x =e −sin x ;
解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +∫⋅∫=∫−−
)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=−−−∫.
(4)y ′+y tan x =sin 2x ;
解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫−
)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=∫−
∫+⋅=)cos 1
cos sin 2(cos C dx x x x x
=cos x (−2cos x +C )=C cos x −2cos 2x .
(5)(x 2−1)y ′+2xy −cos x =0;
解 原方程变形为1cos 1222−=−+′x x
y x x
y .
)1cos
(1221222C dx e x x e y x x
dx x x +∫⋅−∫=∫−−−
)(sin 11
])1(1cos [11
2222C x x C dx x x x
x +−=+−⋅−−=∫.
(6)23=+ρθ
ρd d ; 解 )2(33C d e e d d +∫⋅∫=∫
−θρθθ )2(33C d e e +=∫
−θθθ θθθ33332)32(−−+=
+=Ce C e e . (7)x xy dx
dy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫
− )4(22C dx e x e x x +⋅=∫− .
2222)2(x x x Ce C e e −−+=+= (8)y ln ydx +(x −ln y )dy =0;
解 原方程变形为
y x y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1
ln 1C dy e y
e x y y dy y y +∫⋅∫=∫− )ln 1(ln 1C ydy y
y +⋅=
∫ y
C y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(−+=−x y dx
dy x ; 解 原方程变形为2)2(221−=−−x y x dx dy . ])2(2[21
221C dx e x e y dx x dx x +∫⋅−∫=∫−−− ∫+−⋅−−=]2
1)2(2)[2(2C dx x x x =(x −2)[(x −2)2+C ]=(x −2)3+C (x −2).
(10)02)6(2=+−y dx
dy x y .
解 原方程变形为y x y dy dx 2
13−=−. ])2
1([3
3C dy e y e x y dy y +∫⋅−∫=∫− )121(33C dy y y y +⋅−
=∫ 3232
1)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
(1)x x y dx
dy sec tan =−, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫
=∫− )(cos 1)cos sec (cos 1C x x
C xdx x x +=+⋅=∫. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .
(2)x
x x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (1
1C dx e x x e y dx x x +∫∫=∫− )cos (1)sin (
1C x x
C xdx x x x +−=+⋅=∫. 由y |x =π=1, 得C =π−1, 故所求特解为)cos 1(1x x y −−=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|−==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +∫⋅∫=∫
− )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e x
C xdx e x x x +−=+⋅=
∫. 由4|2−==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +−=x e x y . (4)83=+y dx
dy , y |x =0=2;
解 )8(33C dx e e y dx dx +∫⋅∫=∫
− x x x x x Ce C e e C dx e e 333333
8)38
()8(−−−+=+=+=∫. 由y |x =0=2, 得32
−=C , 故所求特解为)4(3
23x e y −−=. (5)1323
2=−+y x x dx dy , y |x =1=0. 解 )1(
22323
2C dx e e y dx x x dx x x +∫⋅∫=∫−−− )2
1()1(22221
131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=−−∫. 由y |x =1=0, 得e C 21−=, 故所求特解为)1(2
11132−−=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y . 解 由题意知y ′=2x +y , 并且y |x =0=0.
由通解公式得
)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+∫∫=∫
∫−− =e x (−2xe −x −2e −x +C )=Ce x −2x −2.
由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x −x −1).
4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.
解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt dv m
21−=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得
)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k e v t m k t m k dt m k
m k +⋅=+∫⋅∫=∫∫−− )(222
22121C e k m k te k k e t m k
t m k t m k +−=−.
由题意, 当t =0时v =0, 于是得22
1k m k C =. 因此 )(22
122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k m k +−=− 即 )1(22
121t m k e k m k t k k v −−−=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
解 由回路电压定律知
0102
5sin 20=−−i dt di t , 即t i dt di 5sin 105=+. 由通解公式得
t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(−−+−=+∫⋅∫=∫
. 因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此
)4
5sin(25cos 5sin 55π
−+=+−=−−t e e t t i t t (A).
6. 设曲在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).
dy x x xf dx x yf L ])(2[)(2−+∫ 解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以
])(2)]([2x x xf x
x yf y −∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf ′(x )−2x , 或 1)(21)(=+′x f x
x f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+∫⋅∫=∫∫−32)(1)1(
)(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x
x x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:
(1))sin (cos 2x x y y dx
dy −=+;
解 原方程可变形为
x x y
dx dy y sin cos 11−=+, 即x x y dx y d cos sin )(11−=−−−. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫
x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [−=+−=∫
−, 原方程的通解为
x Ce y x sin 1−=. (2)23xy xy dx
dy =−; 解 原方程可变形为
x y x dx
dy y =−1312, 即x xy dx y d −=+−−113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +∫⋅−∫=∫
−−
)(222323C dx xe e x x +−=∫− 3
1)31(222232323−=+−=−−x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223
−=−x Ce y . (3)4)21(313
1y x y dx dy −=+; 解 原方程可变形为
)21(3
1131134x y dx dy y −=+, 即12)(33−=−−−x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫
x x x Ce x C dx e x e +−−=+−=∫
−12])12([, 原方程的通解为1213
−−=x Ce y x .
(4)5xy y dx
dy =−; 解 原方程可变形为
x y
dx dy y =−4511, 即x y dx y d 44)(44−=+−−. ])4([444C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=∫
−− )4(44C dx xe e x +−=∫
− x Ce x 441−++−=, 原方程的通解为
x Ce x y 44
411−++−=.
(5)xdy −[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.
解 原方程可变形为 )ln 1(11123x y
x dx dy y +=⋅−⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +−=+−−. ])ln 1(2[2
22C dx e x e y x dx x +∫⋅+−∫=∫−− ])ln 1(2122
C dx x x x ++−=
∫ x x x x C 94ln 3
22−−=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122−−=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.
解 原方程可变形为
)
()(xy xg xy yf dx dy −=. 在代换v =xy 下原方程化为
)
()(22v g x v vf x v dx dv x −=−,
即
dx x
du v f v g v v g 1)]()([)(=−, 积分得 C x du v f v g v v g +=−∫ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.
9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:
(1)2)(y x dx
dy +=; 解 令u =x +y , 则原方程化为
21u dx du =−, 即21u du dx +=. 两边积分得
x =arctan u +C .
将u =x +y 代入上式得原方程的通解
x =arctan(x +y )+C , 即y =−x +tan(x −C ).
(2)11+−=y
x dx dy ; 解 令u =x −y , 则原方程化为 111+=−u
dx du , 即dx =−udu . 两边积分得 1221
C u x +−=.
将u =x +y 代入上式得原方程的通解
12)(21C y x x +−−=, 即(x −y )2=−2x +C (C =2C 1).
(3)xy ′+y =y (ln x +ln y );
解 令u =xy , 则原方程化为
u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+−, 即du u
u dx x ln 11=. 两边积分得
ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .
将u =xy 代入上式得原方程的通解
xy =e Cx , 即Cx e x
y 1=. (4)y ′=y 2+2(sin x −1)y +sin 2x −2sin x −cos x +1;
解 原方程变形为
y ′=(y +sin x −1)2−cos x .
令u =y +sin x −1, 则原方程化为
x u x dx du cos cos 2−=−, 即dx du u =2
1. 两边积分得 C x u +=−
1. 将u =y +sin x −1代入上式得原方程的通解 C x x y +=−+−
1sin 1, 即C x x y +−−=1sin 1.
(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为
)
1()1(22y x xy x xy y dx dy +++−=. 令u =xy , 则原方程化为
)
1()1(1222u u x u u x u dx du x +++−=−, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得
du u
u u dx x )111(123++=. 两边积分得 u u
u C x ln 121ln 21+−−=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy xy y x C x ln 121ln 221+−−
=+, 即 2x 2y 2ln y −2xy −1=Cx 2y 2(C =2C 1).
习题12−5
1. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:
(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;
解 这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为
x Q xy y
P ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y y x dx x y x =++∫∫0
2202)46(3即 C y y x x =++32233
43. (2)(a 2−2xy −y 2)dx −(x +y )2dy =0;
解 这里P =a 2−2xy −y 2, Q =−(x +y )2. 因为
x
Q y x y P ∂∂=−−=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y x dx a y x =+−∫∫0
202)(即 a 2x −x 2y −xy 2=C .
(3)e y dx +(xe y −2y )dy =0;
解 这里P =e y , Q =xe y −2y . 因为
x Q e y
P y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y xe dx e y y x =−+∫∫0
00)2(即 xe y −y 2=C .
(4)(x cos y +cos x )y ′−y sin x +sin y =0;
解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy −(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =−(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为
x
Q x y y P ∂∂=−=∂∂sin cos ,
所以此方程是全微分方程, 其通解为
, C dy x y x dx y
x =++∫∫00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C .
解
(5)(x 2−y )dx −xdy =0;
解 这里P =x 2−y , Q =−x . 因为
x Q y
P ∂∂=−=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为
, C xdy dx x y x =−∫∫002即 C xy x =−33
1. (6)y (x −2y )dx −x 2dy =0;
解 这里P =y (x −2y ), Q =−x 2. 因为
y x y
P 4−=∂∂, x x Q 2−=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.
(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;
解 这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为
x
Q e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C d e d =+∫∫θθρθρρ0
2022即 ρ(e 2θ+1)=C .
(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.
解 这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为
y y
P 2=∂∂, y x Q =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.
2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:
(1)(x +y )(dx −dy )=dx +dy ;
解 方程两边同时乘以
y x +1得 y x dy dx dy dx ++=
−, 即d (x −y )=d ln(x +y ), 所以y
x +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x −y =ln(x +y )+C .
(2)ydx −xdy +y 2xdx =0;
解 方程两边同时乘以2
1y 得 02
=+−xdx y xdy ydx , 即02()(2=+x d y x d , 所以2
1y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+2
2. (3)y 2(x −3y )dx +(1−3y 2x )dy =0;
解 原方程变形为
xy 2dx −3y 3dx +dy −3x 2dy =0, 两边同时乘以2
1y 并整理得 0)33(2=+−+xdy ydx y
dy xdx , 即0)(3)1()2(2=−−xy d y d x d , 所以2
1y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy y
x =−−3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;
解 方程两边同时乘以2
21y x +得 022=−++dx y
x ydy xdx , 即0)]ln(21[22=−+dx y x d , 所以2
21y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .
(5)(x −y 2)dx +2xydy =0;
解 原方程变形为
xdx −y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以
2
1x 得 022
2=−+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x
为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+2
ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx −3xy 2dx −xdy =0.
解 方程两边同时乘以x 得
2xydx −x 2dy −3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)−x 2dy −3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得
03)(2222=−−dx x y
dy x x yd , 即0)(32=−x y x d 所以2
y x 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=−x y
x . 3. 验证
)]
()([1xy g xy f xy −是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:
解 方程两边乘以
)]()([1xy g xy f xy −得 0])()()]
()([1=+−dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P −=, )]
()([)(xy g xy f y xy g Q −=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=−′−′=∂∂2
)]()([)()()()(, 所以)]
()([1xy g xy f xy −是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2−2x 2y 2)dy =0;
解 这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2−2x 2y 2 , 所以 31
)]()([1y x xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以
3331y x 得全微分方程 032323
222232=−++dy y x y x dx y x x , 其通解为
C dy y x y x dx x x y x =−++∫∫122123232, 即
C y x y x =−+−)11ln (ln 31222, 或221
2y x e Cy x =.
(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy −x 3y 3)dy =0.
解 这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y −x 3 y 3 , 所以 441)]()([1y
x xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以
1y x 得全微分方程 02112433
334=−+++dy y x y x xy dx y
x xy ,
其通解为
C dy y x y x xy dx x x y x =−+++∫∫14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113
322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:
(1)xy ′+2y =4ln x ;
解 原方程变为x x y x y ln 42=+
′, 其积分因子为 22)(x e x x =∫=μ, 在方程x x
y x y ln 42=+′的两边乘以x 2得 x 2y ′+2xy =4x ln x , 即(x 2y )′=4x ln x ,
两边积分得
, C x x x xdx x y x +−==∫
222ln 2ln 4原方程的通解为2
1ln 2x C x y +
−=. (2)y ′−tan x ⋅y =x . 解 积分因子为,
x e x xdx cos )(tan =∫=−μ在方程的两边乘以cos x 得
cos x ⋅y ′−sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )′=x cos x , 两边积分得
C x x x xdx x y x ++==⋅∫cos sin cos cos , 方程的通解为x
C x x y cos 1tan +
+=.
习题12−6
1. 求下列各微分方程的通解:
(1)y ′′=x +sin x ;
解 12cos 2
1)sin (C x x dx x x y +−=
+=′∫, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++−=+−=∫, 原方程的通解为
213sin 6
1C x C x x y ++−=. (2)y ′′′=xe x ;
解 , 12C e xe dx xe y x x x +−==′′∫
, 21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++−=+−=′∫
, 3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++−=++−=∫
原方程的通解为
.
32213C x C x C e xe y x x +++−= (3)2
11x y +=′′; 解 12
arctan 11C x dx x y +=+=′∫ x C dx x x x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++−=+=∫∫ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++−=, 原方程的通解为
2121ln arctan C x C x x x y +++−=.
(4)y ′′=1+y ′2;
解 令p =y ′, 则原方程化为
p ′=1+p 2, 即dx dp p =+2
11, 两边积分得
arctan p =x +C 1, 即y ′=p =tan(x +C 1),
, 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++−=+=∫原方程的通解为
21|)cos(|ln C C x y ++−=.
(5)y ′′=y ′+x ;
解 令p =y ′, 则原方程化为
p ′−p =x ,
由一阶线性非齐次方程的通解公式得
, 1)()(111−−=+=+∫⋅∫=∫
∫−−x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx 即 y ′=C 1e x −x −1,
于是 22112
1
)1(C x x e C dx x e C y x x +−−=−−=∫, 原方程的通解为
2212
1C x x e C y x +−−=.
(6)xy ′′+y ′=0;
解 令p =y ′, 则原方程化为 x p ′+p =0, 即01=+′p x
p , 由一阶线性齐次方程的通解公式得
x
C e C e C p x x 1ln 111==∫=−−, 即 x
C y 1=′, 于是 211ln C x C dx x
C y +==∫, 原方程的通解为
y =C 1ln x +C 2 .
(7)yy ′′+′=y ′2;
解 令p =y ′, 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅=
′′, 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 11
2=−, 两边积分得
||ln ||ln |1|ln 2
112C y p +=−, 即. 22121y C p ±− 当|y ′|=|p |>1时, 方程变为
2211y C y +±=′, 即dx dy y C ±=+21)
(11, 两边积分得
arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,
即原方程的通解为
)(sh 1121
x C C C y ±=. 当|y ′|=|p |<1时, 方程变为 2211y C y −±=′, 即
dx dy y C ±=−21)(11, 两边积分得
arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,
即原方程的通解为
)(sin 1121x C C C y ±=
.
(8)y 3y ′′−1=0;
解 令p =y ′, 则dy dp p
y =′′, 原方程化为 013=−dy dp p
y , 即pdp =y −3dy , 两边积分得
1
22212121C y p +−=−, 即p 2=−y −2+C 1, 故 21−−±=′y C y , 即
dx dy y C ±=−−211, 两边积分得
)(12121C x C y C +±=−,
即原方程的通解为
C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .
(9)y
y 1=′′; 解 令p =y ′, 则dy dp p
y =′′, 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy y
pdp 1=, 两边积分得
12222
1C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=′, 即dx dy C y ±=+1
1, 两边积分得原方程的通
211231]2)(3
2[C C y C C y x ++−+±=.
(10)y ′′=y ′3+y ′. 解 令p =y ′, 则dy
dp p
y =′′, 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+−p dy dp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解. 由0)1(2=+−p dy
dp 得 arctan p =y −C 1, 即y ′=p =tan(y −C 1),
从而 )sin(ln )tan(1
112C y dy C y C x −=−=+∫, 故原方程的通解为
.
12arcsin C e y C x +=+ 2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
(1)y 3 y ′′+1=0, y |x =1=1, y ′|x =1=0;
解 令p =y ′, 则dy dp p y =′′, 原方程化为
013=+dy dp p y , 即dy y
pdp 31
−=, 两边积分得
122
1C y p +=, 即y y C y 211+±=′. 由y |x =1=1, y ′|x =1=0得C 1=−1, 从而y
y y 2
1−±=′, 分离变量得
dx dy y
y =−±21, 两边积分得
221C x y +=−±, 即22)(1C x y +−±=.
由y |x =1=1得C 2=−1, 2)1(1−−=x y , 从而原方程的通解为
22x x y −=.
(2)y ′′−ay ′2=0, y |x =0=0, y ′|x =0=−1;
解 令p =y ′, 则原方程化为
02=−ap dx dp , 即adx dp p
=21
, 两边积分得 11C ax p +=−, 即1
1C ax y +−=′. 由y ′|x =0=−1得C 1=1, 11+−
=′ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax a y ++−=.
由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+−=ax a y .
(3)y ′′′=e ax , y |x =1=y ′|x =1=y ′′|x =1=0;
解 11C e a
dx e y ax ax +==′′∫.。