方山县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷.doc

方山县第二高级中学2018-2019 学年高三上学期 12 月月考数学试卷班级 __________ 座号 _____ 姓名 __________ 分数 __________ 一、选择题
1．“a=1”是“直线 l ： y=kx+a 与圆 C： x2﹣ 2x+y 2=0 订交”的（）
A ．充分不用要条件B．必需不充分条件
C．充要条件 D ．既不充分也不用要条件
2．过点M(
1
，则|MN | （）2,a) ， N (a,4) 的直线的斜率为
2
A ．10 B．180 C．6 3 D ．6 5 3．已知数列 a n 为等差数列， S n为前项和，公差为 d ，若S
2017
S
17 100 ，则 d 的值为（）2017 17
1 1
C．10 D．20
A ．
B ．
20 10
4．函数f ( x) x2 4x 5 在区间 0,m 上的最大值为 5，最小值为1，则m的取值范围是（）A．[2, ) B．2,4 C．( ,2] D．0,2 5．已知 f（ x） = ，若函数 f （x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（）
A ．（ 1， 3） B．（ 1，2） C ． [2， 3） D．（ 1， 2]
6．设{ a n}是递加等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）
A ．1 B． 2 C． 4 D． 6 7．已知直线a 平面，直线 b 平面，则（）
A ．a b B．与异面C．与订交 D ．与无公共点
8．假如双曲线经过点P（ 2 ，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（）
A ．x2﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1
9．已知函数 y=f （x）对随意实数x 都有 f（ 1+x） =f （ 1﹣ x），且函数 f （x）在 [1， +∞）上为单一函数．若数列 {a n
} 是公差不为 0 6 23 n 28 ）
的等差数列，且 f （ a ） =f （ a ），则 {a } 的前 28 项之和 S =（
A ．7
B ．14 C． 28 D． 56
10．某几何体的三视图以下图，则它的表面积为（）
第1页，共16页
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是．
12． 设直线系 M ：xcos θ+（y ﹣ 2） sin θ=1（ 0≤θ≤2π），对于以下四个命题： A ．M 中全部直线均经过一个定点 B ．存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上
C ．对于随意整数 n （ n ≥3），存在正 n 边形，其全部边均在 M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 此中真命题的代号是 （写出全部真命题的代号）．
13．抽样检查表示，某校高三学生成绩（总分 750 分）X 近似听从正态散布，均匀成绩为 500 分．已知 P （ 400
＜ X ＜ 450）=0.3，则 P （ 550＜X ＜ 600） =
．
14．已知函数 f (x)
x 2 1, x 0 ， g( x) 2x 1，则 f ( g(2))
， f [ g(x)] 的值域为
．
x 1, x 0
【命题企图】此题考察分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考察分类议论的数学思想与运算求解能力
.
15．已知抛物线 C 1 ： y
2
4x 的焦点为 F ，点 P 为抛物线上一点，且 | PF |
3 ，双曲线 C 2 ：
x 2
y 2 1
a 2
b 2
（ a 0 ， b 0 ）的渐近线恰巧过
P 点，则双曲线 C 2 的离心率为
.
【命题企图】此题考察了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知 识交汇，难度中等 .
16．命题： “? x ∈R ，都有 x 3≥1”的否认形式为
．
三、解答题
17．某班 50 位学生期中考试数学成绩的频次散布直方图以下图，此中成绩分组区间是：
第2页，共16页
[40， 50）， [50， 60）， [60， 70）， [70 ， 80）， [80 ， 90）， [90， 100] （Ⅰ）求图中 x 的值，并预计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于 90 分的学生和成绩低于 50 分的学生中随机选用 2 人，求这 2 人成绩均不低于 90 分的概率．
1 8 ．（本小题满分1
2 分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.因为条件限制，按男、女生比率采纳分层抽样的方法，从
某班选出 10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学修养测试，这10名同学的性别和测试
成绩（百分制）的茎叶图以下图.
（ 1）依据这 10名同学的测试成绩，分别预计该班男、女生国学修养测试的均匀成绩；
（ 2）若从这 10名同学中随机选用一男一女两名同学，求这两名同学的国学修养测试成绩均为优秀的概率.（注：
成绩大于等于75分为优秀）
第3页，共16页
19．（本小题满分10 分）求经过点P 1,2 的直线，且使A 2,3 , B 0, 5 到它的距离相等的直线
方程 .
2
2ρ（cosθ﹣ 2sinθ）+4=0 ，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴20．在极坐标系内，已知曲线 C1的方程为ρ﹣
方向，利用同样单位长度成立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（ t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的一般方程；
（Ⅱ）设点 P 为曲线 C2上的动点，过点P 作曲线 C1的切线，求这条切线长的最小值．
21．已知椭圆C 的中心在座标原点O，长轴在 x 轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为
4．
（Ⅰ）椭圆 C 的标准方程．
（Ⅱ）已知 P、 Q 是椭圆 C 上的两点，若OP⊥ OQ，求证：为定值．
第4页，共16页
（Ⅲ）当为（ Ⅱ ）所求定值时，尝试究OP ⊥OQ 能否成立？并说明原因． 22 ．在数列 {a n } 中， a 1=1，a n+1 =1﹣ ， b n =
，此中 n ∈ N * ．
（ 1）求证：数列 {b n
} 为等差数列；
（
2 ）设
=b
n+1 ?（
） ，数列 {c } 的前 n 项和为 T ，求 T ；
c n
n
n
n
（ 3 ）证明： 1+ + + + ≤2
﹣ 1（ n ∈ N * ）
第5页，共16页
方山县第二高级中学 2018-2019 学年高三上学期 12 月月考数学试卷（参照答案）
一、选择题
1．【答案】 D
【分析】 解：圆 C ： x 2﹣2x+y 2=0，即（ x ﹣ 1）2+y 2=1
若直线 l ： y=kx+a 和圆 C ： x 2+y 2
=2 订交，则圆心（ 1， 0）到直线 kx ﹣ y+a=0 的距离 d ＜ r ，
即
＜1，即 |k+a|＜
，
2
2
2
2
即 k +a +2ka ＜ 1+k ，即 a +2ka ＜ 1， 当 a=1 时， 2k ＜ 0，即 k ＜0，
故当 a=1 时不可以判断直线和圆的地点关系， 若直线和圆订交， a 不必定等于 1．
所以 “a=1”是“直线 l ： y=kx+a 和圆 C ： x 2+y 2=2
订交 ”
的既不充分也不用要条件．
应选： D ．
【评论】此题主要考察直线和圆的地点关系的应用，以及充分条件和必需条件的应用． 2．【答案】D 【分析】
考点： 1.斜率； 2.两点间距离 . 3．【答案】 B 【分析】
n n 1
na 1
d S n d 试题剖析：若 a n 为等差数列，
S n
2
a 1
n 1
n n 2
，则
为等差数列公差为,
n
2
S
2017
S
17
d 100, d
1
2017 17
100, 2000
,应选 B.
2
10
考点： 1、等差数列的通项公式； 2、等差数列的前项和公式 .
4．【答案】 B 【分析】
第6页，共16页
试题剖析：画出函数图象以以下图所示，要获得最小值为，由图可知 m 需从开始，要获得最大值为，由图可知 m 的右端点为，故 m 的取值范围是 2,4 .
考点：二次函数图象与性质．
5．【答案】 C
【分析】解：∵ f（ x）=是R上的增函数，
∴，
解得： a∈ [2， 3），
应选： C．
【评论】此题考察的知识点是分段函数的单一性，正确理解分段函数单一性的含义是解答的重点．
6．【答案】 B
【分析】
试题剖析：设 a n 的前三项为 a1, a2 , a3，则由等差数列的性质，可得a1 a3 2a2，所以 a1 a2 a3 3a2，
解得 a2
a1 a3 8 a1 2 a1 6
a n
4 ，由题意得，解得
a3
或
a3
，因为是递加的等差数列，所以a1a3 12 6 2
a1 2,a3 6 ，应选B．
考点：等差数列的性质．
7．【答案】 D
第7页，共16页
【分析】
试题剖析：因为直线a平面，直线b平面，所以 a // b或与异面，应选D.
考点：平面的基天性质及推论.
8．【答案】 B
【分析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x ，
22
代入点 P（ 2，），可得
λ=4 ﹣ 2=2 ，
可得双曲线的方程为x2﹣ y2=2 ，
即为﹣=1．
应选： B．
9．【答案】 C
【分析】解：∵函数 y=f （ x）对随意实数x 都有 f（ 1+x） =f （ 1﹣ x），且函数 f（ x）在 [1，+∞）上为单一函数．
∴函数 f （ x）对于直线 x=1 对称，
∵数列{a n
0 的等差数列，且 6 23
} 是公差不为f（ a ） =f （ a ），
∴ +a =2 ．
a6 23
则 {a n} 的前 28 项之和 S28= =14 （ a6+a23） =28 ．
应选： C．
【评论】此题考察了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式、函数的对称性，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】 A
【分析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为 2，
∴ 母线长为，
圆锥的表面积
2
．S=S 底面 +S 侧面 = ×π×1+ ×2×2+ ×π×=2+
应选 A．
【评论】此题考察了由三视图求几何体的表面积，解题的重点是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
二、填空题
第8页，共16页
11．【答案】2：1 ．
【分析】解：设圆锥、圆柱的母线为l ，底面半径为 r，
所以圆锥的侧面积为：=πrl
圆柱的侧面积为： 2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2： 1
故答案为： 2： 1
12．【答案】 BC
【分析】
2 2
【剖析】考证发现，直线系M ： xcosθ+（ y﹣ 2） sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x +（y﹣ 2） =1 的切线的会合，
A ．M 中全部直线均经过一个定点（0， 2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B ．存在定点P 不在 M 中的任一条直线上，察看直线的方程即可获得点的坐标．
C．对于随意整数n（ n≥3），存在正n 边形，其全部边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积必定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ： xcosθ+（y﹣ 2） sinθ=1（ 0≤θ≤2π）中每条直线的距离
d= =1，直线系 M ： xcosθ+（ y﹣2） sin θ=1 （ 0≤θ≤2π）表示圆
2 2
x +（ y﹣2） =1 的切线的集
合，
2 2
A ．因为直线系表示圆M 中全部直线均经过一个定点
x +（ y﹣ 2） =1 的全部切线，此中存在两条切线平行，
（ 0， 2）不行能，故 A 不正确；
B ．存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上，察看知点M （ 0， 2）即切合条件，故 B 正确；
C．因为圆的全部外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于随意整数n（ n≥3），存在正 n 边形，其全部边均在 M 中的直线上，故 C 正确；
D ．以以下图， M 中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不必定相等，
故本命题不正确．
故答案为： BC．
第9页，共16页
13．【答案】0.3．
【分析】失散型随机变量的希望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【剖析】确立正态散布曲线的对称轴为x=500 ，依据对称性，可得P（ 550＜ξ＜ 600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750 分）ξ近似听从正态散布，均匀成绩为500 分，
∴正态散布曲线的对称轴为x=500 ，
∵P（400＜ξ＜ 450） =0.3，
∴依据对称性，可得P（550＜ξ＜600） =0.3．
故答案为： 0.3．
【评论】此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，正确运用正态散布曲线的对称性是重点．14．【答案】2，[1,) .
【分析】
15．【答案】3
第10页，共16页
3
16．【答案】? x 0∈R ，都有 x 0＜1．
【分析】 解：因为全称命题的否认是特称命题．
“ x R
x 3 1
x 0 R
所以， 命题： ? ∈ ，都有
≥ ”的否认形式为： 命题： “?
∈ ，
3
都有 x 0 ＜ 1”．
x 0 R 3 1
故答案为： ? x 0
∈ ，都有 ＜ ．
【评论】此题考察全称命题与特称命题的否认关系，基本知识的考察．
三、解答题
17．【答案】
【分析】 解：（Ⅰ）由（ 0.006×3+0.01+0.054+x ）×10=1，解得 x=0.018 ，
前三组的人数分别为：（ 0.006×2+0.01+0.018） ×10×50=20，第四组为 0.054×10×50=27 人，故数学成绩的众数 落在第四组，故众数为
75 分．
（ Ⅱ ）分数在 [40， 50）、 [90， 100] 的人数分别是 3人，共 6人，
∴ 这 2 人成绩均不低于 90 分的概率 P= =．
【评论】此题考察频次散布直方图及古典概型的问题， 前者要娴熟掌握直方图的基天性质和怎样利用直方图求众数；后者常常和计数原理联合起来考察． 18．【答案】
【分析】 【命题企图】此题考察茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基此题型，解答的 重点是应用有关数据进行正确计算，是中档题.
第11页，共16页
第12页，共16页
19．【答案】4xy20 或 x1．
【分析】
20．【答案】
【分析】
【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
【剖析】（Ⅰ）运用 x= ρcosθ， y= ρsinθ， x2+y2= ρ2，即可获得曲线 C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线 C2的参数方程为一般方程；
第13页，共16页
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣ 2）作直线 3x+4y ﹣ 15=0 的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可获得最小值．
2
【解答】解：（Ⅰ ）对于曲线C1的方程为ρ﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x 2 2
+y ﹣ 2x+4y+4=0 ，
2 2
即圆（ x﹣ 1） +（ y+2） =1；
曲线 C2的参数方程为（ t 为参数），
可化为一般方程为：3x+4y ﹣ 15=0 ．
（Ⅱ ）可经过圆心（1，﹣ 2 ）作直线 3x+4y ﹣ 15=0 的垂线，此时切线长最小．
则由点到直线的距离公式可得d= =4，
则切线长为= ．
故这条切线长的最小值为．
【评论】此题考察极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、一般方程的互化，考察直线与圆相切的切线长问题，考察运算能力，属于中档题．
21．【答案】
【分析】（ I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．
∵离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴， 2a=4，解得 a=2，c=1．
∴ b2=a2﹣ c2=3 ．
∴椭圆 C 的标准方程为．
（ II ）证明：当OP 与 OQ 的斜率都存在时，设直线OP 的方程为 y=kx （ k≠0），则直线OQ 的方程为 y= ﹣x （ k≠0）， P（ x， y）．
联立，化为，
∴ |OP|2=x 2 +y2= ，同理可得 |OQ|2= ，
∴= + = 为定值．
当直线 OP 或 OQ 的斜率一个为0 而另一个不存在时，上式也成立．
第14页，共16页
所以=为定值．
（ III ）当=定值时，尝试究OP⊥OQ 能否成立？并说明原因．
OP⊥ OQ 不必定成立．下边给出证明．
证明：当直线 OP 或 OQ 的斜率一个为0 而另一个不存在时，则===，知足条件．
当直线 OP 或 OQ 的斜率都存在时，
设直线 OP 的方程为 y=kx （ k≠0），则直线OQ 的方程为y=k ′x（k≠k′， k′≠0）， P（x， y）．
联立，化为，
∴ |OP|2=x 2 +y2=，
同理可得 |OQ|2=，
∴=+=．
化为（ kk ′）2=1，
∴kk ′=±1．
∴OP⊥ OQ 或 kk ′=1 ．
所以 OP⊥OQ 不必定成立．
【评论】此题考察了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆订交问题转变为方程联立可得交点坐标、互相垂直的直线斜率之间的关系，考察了剖析问题与解决问题的能力，考察了推理能力与计算能力，属于难题．22．【答案】
【分析】（ 1）证明： b n+1﹣ b n=﹣=﹣=1 ，又 b1=1．∴数列 {b n} 为
等差数列，首项为1，公差为1．
（ 2）解：由（ 1）可得： b n=n ．
c n=b n+1?（）=（ n+1）．
∴数列{c n} 的前 n 项和为 T n=+3×+++（ n+1 ）．
=+3 ×+ +n+（ n+1），
第15页，共16页
∴T n=++++﹣（n+1）=+﹣（n+1），
可得T n
﹣．=
（ 3）证明： 1+ ++ + ≤2 ﹣ 1（ n∈ N*）即为： 1+ +++≤﹣ 1．
∵= ＜=2 （ k=2 ， 3，）．
∴1+ + + + ≤1+2[ （﹣1） +（）++（﹣） ]=1+2 =2 ﹣1．∴1+ + + + ≤2 ﹣ 1（ n∈N *）．
第16页，共16页。