反函数(教案).doc

反函数
教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数
教学重点：反函数的定义和求法
教学难点：反函数的定义和求法.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
我们知道，物体作匀速运动的位移和时间的函数关系，即s = vt与t = J (其V
中速度V是常量)在S =W中，位移S是时间f的函数。

在f = E中，时间f是位移S V 的函数。

在这种情况下，我们说函数f =-是函数S = vt的反函数。

V
在函数y = 2x+6 ( x e R)中，x是自变量，y是勺函数。

从函数y = 2x+6 中解出x ,就可以得到式子x= y - 3(y e 7?) o这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x = -^ y - 3, x都有唯一的值和它对应。

这就说明了，可以把y作为自变量，x 作为y的函数。

这时，我们就说x = ?)- 3 (y c R)是函数y = 2x +6 (xeR)的反函数。

由此，我们可给出反函数的定义。

二、讲解新课：
1.反函数定义：一般的，函数y = y(x)(x e A)中，设它的值域为C。

我们根据这个函数中的关系，用y把x表示出来，得到x = 9(y)。

如果对于y在C 中的任
何一个值，通过x =(p(y) , x在A中都有唯一的值和它对应，那么x = 9(y) 就表示y 是自变量，x是自变量y的函数。

这样的函数x =(p{y\y eC)叫做函数y = /(x)(x e A)的反函数，记作
x = f\y)
习惯上，我们把它改写成尸厂⑴.
说明：(1 )对于任意一个函数y = /(x),它的反函数不一定存在；
(2 )函数是特殊的映射，只有当函数为----- 映射时，该函数才具有反函数；
(3)记号尸表示f的逆对应，当然f也是尸的逆对应，即f与厂是互逆的.
注意：
f(-v)
2.反函数与函数的关系
(1 )反函数与函数是相对的。

如果函数y = f(x)有反函数y = fT(x)，那么函数丫
=广'(X)的反函数就是y = f(x)，即y = f(x)与)=广|(对互为反函数。

(2 ) y = f(X)与丫 =广1(了)的定义域，值域如下表。

函数V = f(x) 反函数 > =尸3)
定义域A C
值域c A
(3)设V - f(X)的定义域为A,值域为C,则有：
f[f"'W] = v (x e A): f-1[f(x)] = x (x e C)
三、讲解例题：
例1.求下列函数的反函数：
y = 3x - l(x e R)；② y = x3 +1(x e R)；
r\ Q
③ y = & + l(x > 0)；④ y = -- (x G R,且]丰 1).
x-1
解：①由y = 3x-l,得工=二^
y -L 1
函数 y = 3x-l(x e R)白勺反函数是 y = —^―(x e R),
由 y = x3 +l(x G 7?),得 x= \/y-1,
.，•函数y = x3 +l(x e R)的反函数是y = Vx-l(x e R)
由 y=Vx +L 得 x=(y-l)2,
•/x>0, /.y>l.
函数 y = Vx + l(x > 0)的反函数是 y= (x -l)2 (x>l);
由得U
6 (XG R|X^ 1} , .*.ye {yeRly^ 2) 函数 y = 2" 3 (x e R,且x n 1)的反
函数是 y = ' * ' (x e R,x 丰 2)
x-1 x-2
说明：(1 )求函数y = f (x)的反函数就是求反函数的解析式和反函数的定义域，反函数的定义域就是原函数的值域；
(2 )求函数y = f(x)的反函数的一般步骤是：
反解，由y = /(x)解出x = fT(y),写出y的取值范围；
互换x,y,得尸广⑴；
写出完整结论(一定要有反函数的定义域)。

例2.判断下列函数是否有反函数。

如有反函数，则求出它的反函数。

(1 ) /(x) = x2 -4x(x G 7?);
(2 ) f(x) = x2-4x + 2(x<2)o
解：(1 )令y = f(x) = 0,得到对应的两根：%! = 0,x2 = 4
这说明函数确定的映射不是——映射，因而它没有反函数。

(2 )由 f(x) = x2—4x + 2 =(x-2尸—2 ,得(x-2)2 = y + 2
• x < 2 , • . x- 2 = - Jy + 2, x = 2 - Jy + 2 ,
所以，反函数为 f T(X)= 2-』x + l,xe [-2,+8).
说明：判断一个函数是否有反函数，即判断映射是否是-------- 映射.
例3、求函数y = l-71-x2 ( -l<x<0 )的反函数.
解：,/ -l<x<0 /.0<x2<l 0<1 -x2 < 1
0 <71-x2 < 1 0 < y <1
由：y =l-Vl-x2解得：x = -y)2y - y2('•' -1< x < 0 )
•■- y = 1-Vl-x2 (-1<X < 0)的反函数是：y = -yjlx - x2 (0<x<l ) 注意：先把y的取值范围(值域)求出来，原函数的值域就是反函数的定义域。

, (x(x < 0) ,,, ,
例4、设函数y=/(x)= < ,求它的反函数.
x2(x>0)
分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应
在不同的X范围内求其反函数.
解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x (x<0);
⑵当x>0时，y=x2,由yr? (x > 0)彳导x=右，又y= x? (x > 0)的值域为y
>0, -■•y=x2 (x > 0)的反函数是 y= V7 (x > 0).
补充作业：求函数y
综上可得所求的反函数为x-l(x > 1) x + l(x< -1) 综合⑴⑵可得尸(%)=
Jx(x <
0) [Vx(x > 0)
说明：一般地，分段函数的反函数仍是分段函数，在求分段函数的反函数时, 应当“逐段”地分别求出反函数，然后再综合在一起，写成分段函数的形式.
四、 课堂练习：课本P63练习：1、2、3、4
补充练习：
求函数y =Vx + 2的反函数.
解：函数y +2的值域为｛yly>2j
由y = Vx + 2得尤=(y — 2尸
函数 y = Vx + 2 的反函数为 y = (x- 2)2 (% > 2)
五、 小结
1.反函数的定义。

2 .怎样的函数存在反函数。

3. 求函数y = f(x)的反函数的一般步骤。

六、课后作业：课本第64习题2. 4： 1 x + l(x > 0)
的反函数。

x-l(x < 0) 解：由y = x + l(x > 0)得其反函数为y = x-l(x > 1),
又由y =尤一1(尤V0)得其反函数为y = x + l(x<-l).
七、板书设计(略)。