三年级上册数学试题-奥数.杂题.数表规律(A级)沪教版(2015)(含答案)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
③ 求和公式：和 =( 首项 末项 ) 项数÷ 2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
( 思路 1) 1 2 3
98 99 100
（1 100）（2 99）（3 98）
共 50 个 101
（50 51） 101 50 5050
( 思路 2) 这道题目，还可以这样理解：
和 =1
2
3
4
+和
100
99
方法 2：仔细观察数表， 可以发现： A 列中的数都是 16 的倍数，B 列中数除以 16 余 2 或者 14， C 列中的数除以 16 余 4 或 12， D列的数除以 16 余 6 或 10，E 列中的数除以 16 余 8. 这就是说，数表中数的排列与除以 16 所得的余数有关，我们只要考察 2000 除以 16 所得的余数就可以了，因为 2000÷16=125，所以 2000 位于 A 列。
方法 2：考虑除以 8 所得的余数 . 第①列除以 8 余 1，第②列除以 8 余 2 或是 8 的倍数，第③列 除以 8 余 3 或 7，第④列除以 8 余 4 或 6，第⑤列除以 8 余 5；而 1500÷8=187… 4， 1993÷ 8=249…1，则 1993 位于第①列， 1500 位于第④列。
【解析】 从 两个方面考虑：
⑴ 先看组成这张表的数： 1，3，5，7，9 ， ．这是一个公差为 2 的等差数列．第 60 行第 5 个数
是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第
60 行第 5 个数是数列中的第几项即可求解．而这个
项数就是排列第 60 行第 5 个数时所用去数的个数．
⑵ 从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：
8， 9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，
“以 1 开头的行 ”是这个三角阵的对称轴，
如图．则在以 1开头的行中，第 2008 个数是多少．
5 26 137 48
9
【考点】数阵中的等差数列
【难度】 3 星
【题型】填空
【解析】 方 法一： 2008 行第一个数字为 2007 1 （1 2006 2） 2 1 4028050
数是 46．
【答案】 46
【例 5】 自然数按一定规律排成下表，问第 60 行第 5 个数是几？
1
357
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47 49
... ...
... ...
【考点】数阵中的等差数列
【难度】 3 星
【题型】填空
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】方法 1：同例 3 的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有
都只有 8 个数。
（ 1500-9 ）÷ 8＝186…3
9 个数，其余各组
（1993—9）÷ 8＝ 248
所以，1500 位于第 188 组的第 3 个数，1993 位于第 249 组的最后一个数，即 1500 位于第④列， 1993 位于第①列。
98
97
2倍和
101
101
101
101
(100 1) 100 2 101 50 5050
98
99
100
3
2
1
即
，
和
101
101
101
(2) 中项定理： 对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首 项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：① 4 8 12
注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！
一、 简单数列规律
【例 1】 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字
.
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第 填 20，第 6 行中的括号内填 24 。
3 ，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差 异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列 问题．
二、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
【答案】 1500 位于第④列， 1993 位于第①列
【例 3】 下图是自然数列排成的数表，按照这个规律， 1993 在哪一列？
【考点】等差数列 1993 =1992 + 1 ，其中 1992 是 6 的倍数，
所以 1993 与 1 相同，位于 B 列
【答案】 1993 位于 B 列。
【题型】填空
【解析】 将 图中数字按顺时针方向转 45 ，成为下图的样子：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
那么在第 10 行的第 1 个数之前共有 9 行数，计算出这 9 行共有多少数字，就可以知道第 10 行的
第一个数是多少．前 9 行共有数字 1 2 3
9 （1 9） 9 2 45 （个），所以第 10 行的第 1
②根据由①得出的规律， 可以发现， 这个三角阵中第 6 行的数为 1，5，10，10，5，1； 第 7 行的数为 1， 6， 15，20，15， 6， 1。
③要求第 20 行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
至此，我们可以推断，第 20 行各数之和为 。
[ 本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用 ] 【答案】①三角阵中的每一个数 （两边上的数 1 除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和；
有用的公式： an am （n m） d ，（ n m）
② 项数公式：项数 ( 末项 首项 ) 公差 +1
由通项公式可以得到： n （an a1） d 1 ( 若 an a1 ) ； n （ a1 an） d 1 ( 若 a1 an ) ． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
(1) 三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项
首项 ( 项数 1 ) 公差， an a1 （n 1） d
递减数列：末项 首项 ( 项数 1) 公差， an a1 （n 1） d
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白
末项其
实就是首项加上 ( 末项与首项的 ) 间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个
有穷数列 ；把项数无限
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【 诀窍 】 1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手， 把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2 ，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析， 才能找到规律；
2007 2 1 （2 2007 2） 2007 2 4030057 ．
【答案】 4030057
【巩固】 将 自然数按下图的方式排列，求第 10 行的第一个数字是几？
1 3 6 10 15 21 2 5 9 14 20 4 8 13 19 7 12 18 11 17 16
【考点】数阵中的等差数列
【难度】 3 星
学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法 . 一道题做完了，我 们还应该仔细思考一下， 哪种方法更简洁， 题目主要考察的问题是什么…这样学习才能 举一反三，不断进步。
【答案】 2000 位于数表中的第 250 行的 A 列。
【巩固】 按 图所示的顺序数数，问当数到 1500 时，应数到第几列？ 1993 呢？
②第 6 行的数为 1，5，10，10， 5， 1；第 7 行的数为 1， 6， 15，20，15， 6，1； ③。
【例 2】 将自然数中的偶数 2， 4，6， 8， 10…按下表排成 5 列，问 2000 出现在哪一列？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】方法 1：考虑到数表中的数呈 S 形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组 8 个数， 则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为 B、 C、D、E、D、C、B、A. 因 此，我们只要考察 2000 是第几组中的第几个数就可以了， 因为 2000 是自然数中的第 1000 个偶数，而 1000÷ 8＝ 125，即 2000 是第 125 组中的最后一个数，所以， 2000 位于数表中的第 250 行的 A 列。
32 36 （4 36） 9 2 20 9 1800 ，
题中的等差数列有 9 项，中间一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于 20 9 ；
② 65 63 61
5 3 1 （1 65） 33 2 33 33 1089 ，
题中的等差数列有 33 项，中间一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于 33 33 ．
定义：从第二项起，每一项都比前一项大 差数列．
( 或小 ) 一个常数 ( 固定不变的数 ) ，这样的数列我们称它为等
譬如： 2、 5、 8、 11、 14、 17、 20、
从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列
100、 95、 90、 85、 80、
从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列
5 行中的括号内
【答案】 20 ， 24
【巩固】 用 数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：
① 这个三角阵的排列有何规律？ ② 根据找出的规律写出三角阵的第 6 行、第 7 行。 ③ 推断第 20 行的各数之和是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】①首先可以看出，这个三角阵的两边全由 1 组成；其次，这个三角阵中，第一行由 1 个数组成，第 2 行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中 的每一个数 （两边上的数 1 除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和 . 如：2=1+1，3=2+1， 4=3+1，6=3＋3。
1， 3，5， 7， ．第 60 行第 5 个数也就是
排完 59 行后又排 5 个数． 59 行所排数的个数就是 1，3， 5， 7， ，中的第 59 项．
所以，第 59 行所用数的个数为：
1 2 （59 1） 117 (个)， 从第一行排到第 59 行所用数的总个数为：
（1 117） 59 2 3481 (个)，
2008 行最后一个数字为 2008 1 （1 2007 2） 2 4032064
所以， 2008 行中间的数字为 （4028050 4032064） 2 4030057 ．
方法二：观察以 1 开头的行的数列： 1，3，7， 13 得出规律，后一个数比前一个数多 2，4，6
所以，第 2008 个数为 1 2 4 6
一 、数列的定义
按一定次序排列的一列数就叫做 数列 ；数列中每个数都叫做这个数列的 数列的第 1 项，第 2 个数称为第 2 项，第 n 个数称为第 n 项。
项 ，其中的第一个数称为这个
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为 的数列（即有无穷多个数的数列）称为 无穷数列 。
譬如：找找下面数列的项数： 4、 7、10、 13、 、 40、 43、46 ，
分析：配组： (4 、 5、6) 、 (7 、 8、 9) 、 (10 、 11、 12) 、 (13 、 14、 15) 、 、 (46 、 47、 48) ，注意等差 是 3 ，那么每组有 3 个数，我们数列中的数都在每组的第 1 位，所以 46 应在最后一组第 1 位， 4 到 48 有 48 4 1 45 项，每组 3 个数，所以共 45 3 15 组，原数列有 15 组． 当然还可以有其他的配组方法．
【题型】计算
【巩固】 从 1 开始的自然数如下排列，则第 2 行中的第 7 个数是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【解析】第 2 行的第 7 个数为 30. 参看下表：
【难度】 3 星
【题型】计算
【答案】 30
【例 4】 把自然数从 1 开始，排列成如下的三角阵：第 1 列为 1；第 2 列为 2， 3， 4；第 3 列为 5，6， 7，
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用 a1 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用 an 表示，它也可表示数列的第 n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用 n来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用
d 来表示；
和 ：一个数列的前 n项的和，常用 Sn 来表示 ．
三、等差数列的相关公式
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
( 思路 1) 1 2 3
98 99 100
（1 100）（2 99）（3 98）
共 50 个 101
（50 51） 101 50 5050
( 思路 2) 这道题目，还可以这样理解：
和 =1
2
3
4
+和
100
99
方法 2：仔细观察数表， 可以发现： A 列中的数都是 16 的倍数，B 列中数除以 16 余 2 或者 14， C 列中的数除以 16 余 4 或 12， D列的数除以 16 余 6 或 10，E 列中的数除以 16 余 8. 这就是说，数表中数的排列与除以 16 所得的余数有关，我们只要考察 2000 除以 16 所得的余数就可以了，因为 2000÷16=125，所以 2000 位于 A 列。
方法 2：考虑除以 8 所得的余数 . 第①列除以 8 余 1，第②列除以 8 余 2 或是 8 的倍数，第③列 除以 8 余 3 或 7，第④列除以 8 余 4 或 6，第⑤列除以 8 余 5；而 1500÷8=187… 4， 1993÷ 8=249…1，则 1993 位于第①列， 1500 位于第④列。
【解析】 从 两个方面考虑：
⑴ 先看组成这张表的数： 1，3，5，7，9 ， ．这是一个公差为 2 的等差数列．第 60 行第 5 个数
是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第
60 行第 5 个数是数列中的第几项即可求解．而这个
项数就是排列第 60 行第 5 个数时所用去数的个数．
⑵ 从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：
8， 9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，
“以 1 开头的行 ”是这个三角阵的对称轴，
如图．则在以 1开头的行中，第 2008 个数是多少．
5 26 137 48
9
【考点】数阵中的等差数列
【难度】 3 星
【题型】填空
【解析】 方 法一： 2008 行第一个数字为 2007 1 （1 2006 2） 2 1 4028050
数是 46．
【答案】 46
【例 5】 自然数按一定规律排成下表，问第 60 行第 5 个数是几？
1
357
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47 49
... ...
... ...
【考点】数阵中的等差数列
【难度】 3 星
【题型】填空
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】方法 1：同例 3 的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有
都只有 8 个数。
（ 1500-9 ）÷ 8＝186…3
9 个数，其余各组
（1993—9）÷ 8＝ 248
所以，1500 位于第 188 组的第 3 个数，1993 位于第 249 组的最后一个数，即 1500 位于第④列， 1993 位于第①列。
98
97
2倍和
101
101
101
101
(100 1) 100 2 101 50 5050
98
99
100
3
2
1
即
，
和
101
101
101
(2) 中项定理： 对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首 项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：① 4 8 12
注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！
一、 简单数列规律
【例 1】 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字
.
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第 填 20，第 6 行中的括号内填 24 。
3 ，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差 异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列 问题．
二、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
【答案】 1500 位于第④列， 1993 位于第①列
【例 3】 下图是自然数列排成的数表，按照这个规律， 1993 在哪一列？
【考点】等差数列 1993 =1992 + 1 ，其中 1992 是 6 的倍数，
所以 1993 与 1 相同，位于 B 列
【答案】 1993 位于 B 列。
【题型】填空
【解析】 将 图中数字按顺时针方向转 45 ，成为下图的样子：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
那么在第 10 行的第 1 个数之前共有 9 行数，计算出这 9 行共有多少数字，就可以知道第 10 行的
第一个数是多少．前 9 行共有数字 1 2 3
9 （1 9） 9 2 45 （个），所以第 10 行的第 1
②根据由①得出的规律， 可以发现， 这个三角阵中第 6 行的数为 1，5，10，10，5，1； 第 7 行的数为 1， 6， 15，20，15， 6， 1。
③要求第 20 行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
至此，我们可以推断，第 20 行各数之和为 。
[ 本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用 ] 【答案】①三角阵中的每一个数 （两边上的数 1 除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和；
有用的公式： an am （n m） d ，（ n m）
② 项数公式：项数 ( 末项 首项 ) 公差 +1
由通项公式可以得到： n （an a1） d 1 ( 若 an a1 ) ； n （ a1 an） d 1 ( 若 a1 an ) ． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
(1) 三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项
首项 ( 项数 1 ) 公差， an a1 （n 1） d
递减数列：末项 首项 ( 项数 1) 公差， an a1 （n 1） d
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白
末项其
实就是首项加上 ( 末项与首项的 ) 间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个
有穷数列 ；把项数无限
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【 诀窍 】 1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手， 把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2 ，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析， 才能找到规律；
2007 2 1 （2 2007 2） 2007 2 4030057 ．
【答案】 4030057
【巩固】 将 自然数按下图的方式排列，求第 10 行的第一个数字是几？
1 3 6 10 15 21 2 5 9 14 20 4 8 13 19 7 12 18 11 17 16
【考点】数阵中的等差数列
【难度】 3 星
学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法 . 一道题做完了，我 们还应该仔细思考一下， 哪种方法更简洁， 题目主要考察的问题是什么…这样学习才能 举一反三，不断进步。
【答案】 2000 位于数表中的第 250 行的 A 列。
【巩固】 按 图所示的顺序数数，问当数到 1500 时，应数到第几列？ 1993 呢？
②第 6 行的数为 1，5，10，10， 5， 1；第 7 行的数为 1， 6， 15，20，15， 6，1； ③。
【例 2】 将自然数中的偶数 2， 4，6， 8， 10…按下表排成 5 列，问 2000 出现在哪一列？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】方法 1：考虑到数表中的数呈 S 形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组 8 个数， 则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为 B、 C、D、E、D、C、B、A. 因 此，我们只要考察 2000 是第几组中的第几个数就可以了， 因为 2000 是自然数中的第 1000 个偶数，而 1000÷ 8＝ 125，即 2000 是第 125 组中的最后一个数，所以， 2000 位于数表中的第 250 行的 A 列。
32 36 （4 36） 9 2 20 9 1800 ，
题中的等差数列有 9 项，中间一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于 20 9 ；
② 65 63 61
5 3 1 （1 65） 33 2 33 33 1089 ，
题中的等差数列有 33 项，中间一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于 33 33 ．
定义：从第二项起，每一项都比前一项大 差数列．
( 或小 ) 一个常数 ( 固定不变的数 ) ，这样的数列我们称它为等
譬如： 2、 5、 8、 11、 14、 17、 20、
从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列
100、 95、 90、 85、 80、
从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列
5 行中的括号内
【答案】 20 ， 24
【巩固】 用 数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：
① 这个三角阵的排列有何规律？ ② 根据找出的规律写出三角阵的第 6 行、第 7 行。 ③ 推断第 20 行的各数之和是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】 2 星
【题型】计算
【解析】①首先可以看出，这个三角阵的两边全由 1 组成；其次，这个三角阵中，第一行由 1 个数组成，第 2 行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中 的每一个数 （两边上的数 1 除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和 . 如：2=1+1，3=2+1， 4=3+1，6=3＋3。
1， 3，5， 7， ．第 60 行第 5 个数也就是
排完 59 行后又排 5 个数． 59 行所排数的个数就是 1，3， 5， 7， ，中的第 59 项．
所以，第 59 行所用数的个数为：
1 2 （59 1） 117 (个)， 从第一行排到第 59 行所用数的总个数为：
（1 117） 59 2 3481 (个)，
2008 行最后一个数字为 2008 1 （1 2007 2） 2 4032064
所以， 2008 行中间的数字为 （4028050 4032064） 2 4030057 ．
方法二：观察以 1 开头的行的数列： 1，3，7， 13 得出规律，后一个数比前一个数多 2，4，6
所以，第 2008 个数为 1 2 4 6
一 、数列的定义
按一定次序排列的一列数就叫做 数列 ；数列中每个数都叫做这个数列的 数列的第 1 项，第 2 个数称为第 2 项，第 n 个数称为第 n 项。
项 ，其中的第一个数称为这个
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为 的数列（即有无穷多个数的数列）称为 无穷数列 。
譬如：找找下面数列的项数： 4、 7、10、 13、 、 40、 43、46 ，
分析：配组： (4 、 5、6) 、 (7 、 8、 9) 、 (10 、 11、 12) 、 (13 、 14、 15) 、 、 (46 、 47、 48) ，注意等差 是 3 ，那么每组有 3 个数，我们数列中的数都在每组的第 1 位，所以 46 应在最后一组第 1 位， 4 到 48 有 48 4 1 45 项，每组 3 个数，所以共 45 3 15 组，原数列有 15 组． 当然还可以有其他的配组方法．
【题型】计算
【巩固】 从 1 开始的自然数如下排列，则第 2 行中的第 7 个数是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【解析】第 2 行的第 7 个数为 30. 参看下表：
【难度】 3 星
【题型】计算
【答案】 30
【例 4】 把自然数从 1 开始，排列成如下的三角阵：第 1 列为 1；第 2 列为 2， 3， 4；第 3 列为 5，6， 7，
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用 a1 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用 an 表示，它也可表示数列的第 n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用 n来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用
d 来表示；
和 ：一个数列的前 n项的和，常用 Sn 来表示 ．
三、等差数列的相关公式