2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题论文答辩

70.9 48.8 29.9 91.3 2.588 1.056 2.498
75.7 37.4 33.3 90.8 1.838 1.168 1.702
总计
1.347 2.437 2.984 3.784 2.763
求解参数N与P的关系为
N (P 3) 3
P值太大，反而会影响计算效率，因此，取
P 30 为宜。
rpGM 1.6139 103 m / s ra a
沿运动轨迹切线方向
第2页，共15页。
1.问题一：着陆准备轨道近月点和远月点的位置
加速度为：
d 2Z dt 2
e i
d 2r dt 2
r d
dt
2
i
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
对嫦娥三号进行受力分析，由牛顿第二定律得：
mMG ei
2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A题： 嫦娥三号软着陆轨道设计
与控制策略
第1页，共15页。
1. 问题一：嫦娥三号速度的大小和方向
vp
(1 e )
(1 e )a
(1 e )
va (1 e )a
联立上式可得近月点（近拱点），远月点（远拱点）的速度：
vp
va
raGM 1.6922 103 m / s rp a
当 rp 1752.013 103 m 时，解得 cos ，则-1 ； 180
当 ra 1837.013 103 m 时，解得 cos，则1 。 0
则在近月点的位置是 （180，1752.013 103 )
远月点的位置是 （0，1837.013 103 )
第4页，共15页。
2.问题二：嫦娥三号的着陆轨道
d 2Z m
r2
dt 2
将两公式联立，整理得轨道方程：
r
p 1 e * cos(
0)
当cos( 0 ) 1时，得到 r最大值。
于是有：
得轨迹方程：
0
0, e
1
p r0
p r
1 e cos
第3页，共15页。
1. 问题一：着陆准备轨道近月点和远月点的位置
即得到
r 1.7935106
1 0.0237 cos
嫦 娥 三 号 着 陆 过 程 中 距 月 面 100m处 月 面 情 况 变 化 趋 势 图 250
200
150
100
50
0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
第13页，共15页。
3.问题三：敏感性分析
节点数
10节点 20节点 30节点 40节点 50节点
不同节点数所对应的位置和速度
位置RMS/m
速度RMS/m
R T N 总计 R
T
N
78.7 43.7 29.3 94.6 0.849 0.608 0.852
68.4 44.1 29.5 86.6 1.734 0.624 1.601
63.4 40.1 29.6 80.7 2.251 0.826 1.777
2v
r
( v sin
m
mr
cos
m )F
C
第9页，共15页。
2.问题二：6个阶段的最优控制策略
，
优化目标函数： J [ x (t f )]
优化参数：
约束： 即得:
r ,v ,
T t 0
tf
G0
式（2）、（6）积分
tf
J F / C(t)dt
t0
解得:
J= 382.6531kg
第10页，共15页。
n阶B样条函数：
设 P1, P2,, P（n n k）为给定空间的n个点，称下列参数曲线
n
P(t) PiBi，（k t），tk t tn1 i 1
为k阶（k-1次）的B样条曲线。称折线
P1, P2,Pn 为 P(t) 的控制多变形。
第5页，共15页。
2.问题二：嫦娥三号的着陆轨道
在本文中，采用n阶B样条函数中三阶B样条函数，其具有良好的二阶光滑度。
0
t 2
B
1
2 1t 6
t
3
3 t
t
2
2 t
2 3
4 3
t 1 1 t 2
20000 15000 10000
5000
0
B'
1 2
3 t 2k 2 t 2k
2t 2t
2k
t 2 t 1 1 t 2
0
-5000 1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
若求耗然最少，则需构造哈密尔顿函数:
H (x,, ) T f (x,u)
其中， [r ,v , , ,满m足]T:
•
H
(x, , u)
x
•r
2v
r3
v 2
F cos
mr 2
2 v
r2
•v
r
2
r
• 0
•
2v r
2
v r
•
m
v
F m2
sin
F m 2r
cos
H
rv
v
r2
vr 2
mr00/vv2
/ r0
•
m
F
C
v
r r
/
r0
v/v,v
r0
/
v
/ r0
联立m m / m0•r v•
v
F m
sin
1 r2
r 2
•
•
1(F
cos
2v )
rm
•
m
F
C r0
第8页，共15页。
2.问题二：6个阶段的最优控制策略
最优燃耗问题：
终端性能指标：
J [x(t f )] m (0) m (t f ) 1 m (t f )
第14页，共15页。
第15页，共15页。
第11页，共15页。
3. 问题三：误差分析和敏感性分析
进入粗避障阶段
嫦 娥 三 号 着 陆 过 程 中 距 月 面 2400m处 月 面 情 况 变 化 趋 势 图 250
200
150
100
50
0
0
500
1000
1500
2000
2500
第12页，共15页。
3. 问题三：误差分析和敏感性分析
进入精避障阶段
3. 问题三：误差分析和敏感性分析
误差分析
（1）着陆准备轨道参数的误差：在计算15km处速度时采用的月球半径为月球的平均半径，而此 位置的半径应该1735.843km≤R≤1737.646km，所以导致计算速度与实际速度有微小的偏差。 （2）燃料耗费在着陆过程中的误差：在燃料最优计算时所用的时间为750s，而实际的时 间应该比750s还要小。从而影响发动机的推力大小，导致计算所需的燃料与实际所用燃料的 偏差。 （3）模型的假设、模型的近似求解产生的误差:嫦娥三号运行轨迹是一个椭圆，其中受到扁率 的影响。为了使模型更加理想化，我们假设月球的形状扁率对嫦娥三号的着陆轨道无影响。 （4）嫦娥三号软着陆位置与地形有关：软着陆的地形会影响嫦娥三号姿态调整发动机所需燃 料的多少；当遇到的陨石坑面积大时，水平移动的距离就大，姿态调整发动机所需的燃料就多 ；当遇到的陨石坑面积小或地势平坦时，水平移动的距离就小，姿态调整发动机所需的燃料就 少。
第6页，共15页。
2.问题二：6个阶段的最优控制策略
每个阶段的初始状态和终端状态：
第7页，共15页。
2.问题二：6个阶段的最优控制策略
根据题意及运动轨迹得出嫦娥三号的质心运动方程：
•
r v
•
v
F sin
m
r2
r 2
•
•
1(F
cos
2v )
rm
F
t t /t ,t F / F,F