收敛数列的性质

当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
n
对数列{ xn }：若子数列 { x p | p A}与{ xq | q B } (其中A B N )趋于同一极限值a ( p, q ) 则xn a ( n )
Th ( 数列收敛充要条件 ) { an } 收敛

{ a n } 的任何子列收敛 于同一极限.
Th ( 数列收敛充要条件 ) {
§2.2 收敛数列的性质
1、唯一性
2、有界性 3、保号性 4、保不等式性 5、四则运算 6、迫敛性 7、子数列的收敛性
1、唯一性
定理2.2
n
每个收敛的数列只有一个极限.
n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
0
，由 n
lim x n a
，
N1 ，使得当 n N1 时，有
xn a 0
ab xn a 0 2
yn n 又由 lim b
， N 2 ，使得当 n N 2 时，有
yn b 0
ab yn b 0 2
定理
K1 , 使当k K1时，有 | x2 k a |
k
x2 k 1 a ( k )
再由lim x2 k 1 a知
K 2 , 使当k K 2时，有 | x2 k 1 a |
取N max{2 K1 ,2 K 2 1}
则当n N时
若n 2m则2m 2 K1 m K1
a lim x a 0 n 证明：由 ，取 0 0 ， N，当 n>N 时，
n
2
a xn a , 有 2
a a xn a 2 2
•推论
如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0) 且数列 {xn}收敛于a 那么a0(或a0) 这说明若数列 xn 收敛且极限不为零，则当 n充分大时， n 与0的距离不能任意小.这一事 实在后面讨论极限的四则运算时会用到.
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1 1 n
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
定理2.3
收敛的数列必定有界. 由定义, 取 1,
证 设 lim xn a ,
n
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
ln 2 反而缩小为 n ln(1 ) 从而 n N 时， ln 2 ln 2 仅有 ln(1 ) 成立， n ln n 但不是 ln(1 ) 的充分条件． n
小结 (1), 唯一性;
(2), 有界性;
(3), 保号性;
(4), 四则运算法则; (5), 不等式性;
证 yn a,
zn a ,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
上两式同时成立,
lim a a , lim b b , n n 2.5 （保序性） 设
n n
若
a b ，则存在 N 使得当 n N 时有 an bn .
ab 0 2 证：取 ，则存在 N1 ，当 n
N1 时
ab | a n a | 2
从而
又存在 N 2 ，当 n N 2 时
取 K N,
则当 k K 时,
nk nK nN N .
证 毕．

lim x nk a . xnk a . k
例4
对于数列xn
若x 2 k a ( k )
则xn a ( Байду номын сангаас ) lim x2 k a知 证 0 由k
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
3保序性
{yn } ， 定理 2.4 给定两个序列 {xn } ， 若 n，
x n a lim y n b xn yn 且 lim n ， n ，则 a
b .
证
反证法，如若不然， a b ，取
ab 2
| bn b |
ab ab an a 2 a 2 b
2


ab bn an 2 当 n max(N1 , N 2 ) 时 .
ab ab bn b 2 2
4 保号性
定理2.6 (收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整 数N 当nN时 有xn0(或xn0)
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
例1 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的.
1 xn a , 由定义, 对于 , 证 设 lim n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
此时有 | xn a || x2 m a |
若n 2m 1则2m 1 2 K 2 1 m K 2
此时有
| xn a || x2 m 1 a |
N
总之： 0
使当n N时
恒有 | xn a |
即 lim xn a
} 收 敛, 则
lim max{a n , bn } max{lim a n , lim bn },
n n n
lim min { a n , bn } min { lim a n , lim bn }.
n n
7数列极限的四则运算法则 •定理2.8 设有数列{xn}和{yn} 如果

而 xnk 在原数列 xn 中却是第 nk 项，显然，nk k .
定理7 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相 同． 证
设数列 x nk 是数列 x n 的任一子数列．
n
lim x n a ,
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
a z n a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim xn a.
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
例1 求 lim (
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
xn
x
5 迫敛性
定理 2.7
( 双逼原理 )
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
n
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
n
n
lim xn A lim yn B
n
那么
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim ( xn yn ) A B
xn A (3)当 yn 0 (n1 2 )且 B 0 时 lim n yn B
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
2、有界性
子列 { a2n1 } 和 { a 2 n } 收敛于同一极限.
Th ( 数列收敛充要条件 ) {
an
} 收敛
子列 { a2k 1
都收敛.
an
} 收敛
}、{
a2k
} 和 { a3 k }
思考题
指出下列证明lim n n 1 中的错误．
n
n
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 )