普通高等学校招生全国统一考试预测密卷(一)数学(理)试

2017高考理数预测密卷一
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分
考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．设集合M Z =，{}
220N x x x =--<，则M N =（ ）
A ．{}0 1，
B ．{}1 0-，
C ．{}1 2，
D ．{}1 2-，
2．已知i 是虚数单位，复数()2
20172i +的共轭复数为（ ）
A ．34i -
B ．34i +
C ．54i -
D ．54i +
3．已知等比数列{}n a 的公比q =2，316,a =则其前2017项和2017S =（ ） A ．2019
2
4- B ．201822- C ．201824- D ．201922-
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输出的2a =，则输入的,a b 可能是（ ）
A.15,18
B.14,18
C.12,18
D.9,18
5.若实数,x y 满足不等式组10
2200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩
，则22
91241z x xy y =+++的最小值为（ ）
A ．2
B ．5
C ．26
D ．37 6.在
ABC ∆中,,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边,若函数
()()322213f x x bx a c ac x =+++-1+有极值点，则sin(2)3
B π
-的最小值是（ ）
A. 0
B. D. -1
7．某学校需要把6名实习老师安排到A ，B ，C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．72
8．如图，12,F F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1(F 的直线
l 与双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A ．
22
551728x y -= B ．2216x y -= C ．22
16y x -= D ．22
551287
x y -=
9．函数2
()(
1)cos()12
x
f x ex =-+的图象的大致形状是（ ）
10．在三棱锥BCD A -中，△ABC 与△BCD 都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为π1520，则△ABC 边长为（ ）
A. C. D.6 11．如图所示，A ，B ，C 是半径为2 的圆O 上不同的三点，线段CO 的延长线与线段BA
交于圆外的一点D ，若2O C O A O B λμ=+（R λ∈，R μ∈），则λμ+的取值范围是（ ）
A ．(0,2)
B ．(2,)+∞
C ．(),2-∞-
D ．()2,0-
12. 已知实数b a ,满足2
2
11a e b e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,0)c >的最小值为
（ ）
A B D ．11e e
+-
第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13. 已知9(a x 的展开式中，3x 的系数为94
，则222
1a dx x -⎰=__________.
14.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是
_____________.
15．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ，且1
sin c o s sin c o s 3
a A C c A A c +=，D 是
AC 的中点，
且cos 5
B BD ==，则AB
C ∆的最短边的边长为___________.
16. 如图，已知椭圆2
212
x y +=的左、右顶点分别是A ，B ，过点B 作x 轴的垂线l ，点P 是
直线l 的一点，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点是O ，则OP 与BC 所成角为______.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足1*
22()n n n S a n n N +=-+∈.
（1）求23,a a ；
（2）是否存在实数λ，使数列}2{n
n a λ
+为等差数列，若存在，求出请求出λ的值，若不存在，说明理由.
18.（本小题满分12分）
2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：
流失的教师数
以这100所乡村中学流失教师数的频率代替1所乡村中学流失教师数发生的概率，记X 表示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数，n 表示今年为两所乡村中学招聘的教师数.为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘. （Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
（Ⅲ）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
19. （本小题满分12分）
如图，已知DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，AC //DF ，四边形BCDE 为直角梯形，DE //BC ，BC CD ⊥，点G 为ABC ∆的重心，N 为AB 中点，AG ⊥平面
BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点.
（Ⅰ）求证：GM//平面DFN；
--MN与CD所成角的余弦值. （Ⅱ）若二面角M BC D
20. （本小题满分12分）
已知点M 是抛物线E :2
2y px =的准线与对称轴的交点，F 是抛物线的焦点，N 是抛物线上一点满足NF m NM =，当m 取最小值时，点N 横坐标为1. （I ）求抛物线E 的方程；
（II ）直线)0(≠+=k b kx y 交x 轴于点C ，交抛物线E 于不同的两点B A ,，点B 关于x 轴的对称点为P ，点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：Q P A ,,三点共线.
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln 3(f x a x bx a R =--∈且0)a ≠ （1）若a b =，求函数()x f 的单调区间；
（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．
选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,11,2
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程
为ρ=
，定点
(6,0)M ，点N 是曲线1C 上的动点，Q 为MN 的中点.
（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2） 已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为A ，B ，若AB 的中点为D ，求||PD 的长．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|22||22|,f x x x x R =+--∈. （1）求不等式()3f x ≤的解集； （2）若方程()
2
f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.
2017高考理数预测密卷一
参考答案
一、选择题. 1.【答案】A
【解析】因为{}
{}22012N x x x x x =--<=-<< ，所以M N ={}0 1，，故选A.
考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集. 2．【答案】A
【解析】因为()2
201722(2)34i i i +=+=+，所以共轭复数为34i -，选A.
考点：共轭复数概念，n i 的周期性，复数运算. 3．【答案】A
【解析】根据题意可得，20172019120174(12)
4,2412
a S -===--.
考点：等比数列通项及求和. 4．【答案】B
【解析】执行程序，可知a=14，b=18时，b=18-14=4， 由a ＞b ，则a 变为14-4=10， 由a ＞b ，则a 变为10-4=6， 由a ＞b ，则a 变为6-4=2， 由a ＜b ，则b 变为4-2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2 考点：程序框图 5.【答案】B
【解析】作出可行域，如图所示，2
(32)1z x y =++ 设32x y μ=+变形成322
y x μ
=-
+可知过点)1,0(A 时纵截距最小，此时2μ=，[2,)μ∴∈+∞，min 5Z =.
考点：简单的线性规划. 6.【答案】D
【解析】由已知可得()()
222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根
()2222222224401cos (,)
223
b a
c ac a c b ac a c b B B ac π
π⇒∆=-+->⇒+-<+-⇒=<⇒∈
min 52(,),sin(2)13333
B B ππππ
∴-∈-=-.
考点：函数的极值, 余弦定理,三角函数最值. 7．【答案】C
【解析】先考虑甲不能到A 班的方案：112
254()C 60C C =,减去其中乙和丙安排到同一班级的方案
11
1232()C 12
C C =，即48种，选C.
考点：排列组合 8.【答案】C
【解析】由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以
1212AF AF BF a -==，所以24B F a =.在12AF F ∆中，16A F a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，解得
2
1a =，所以 2
6b =，双曲线的方程为2
2
16
y x -=，故选C. 考点：双曲线的定义和标准方程. 9．【答案】B
【解析】由已知可得()()(f x f x f x -=-⇒是奇函数⇒排除A 、C ；又
1()022
e f =<排除D,故选B. 考点：函数的图象. 10.【答案】D
【解析】取BC 的中点为M ，E 、F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM 、DM 、OF 、OE 、OM 、OB ，则E 、F 分别在AM 、DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，所以∠AMD 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平
面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥DM ，又，所以FM EM ==AM 31
，所以四
边形OEMF 为正方形，所以OM=
a ，在直角三角形OMB 中，球半径
OB=
22BM OM +=
=，所以外接球的体积为
24π5
312a ⨯=，故选D.
考点：三棱锥的外接球问题. 11．【答案】D
【解析】因为2OA OB OC ===,2OC OA OB λμ=+,所以()
2
2
4OC OA OB λμ=+，
展开得22
44216OA OB λμλμ++⋅=，所以22
2cos 4AOB λμλμ++∠=,当60
AOB ∠=时，()2224λμλμλμλμ++=+-=即()2
44λμλμ+=+<,所以22λμ-<+<.当
,OA OB 趋近于射线OD 时，由平行四边形法则可知2
2
OC OE OF OA OB λ
μ
=+=
+
,此时
0,0λμ<>且λμ>，所以0λμ+<，因此λμ+的取值范围是()2,0-，故选D.
考点：平面向量的数量积. 12.【答案】C
【解析】用x 代换a ，用y 代换b ，则,x y 满足2
2
11x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,以x 代换c ，可得点
(,ln )x x ，满足ln y x =，所以
求
的最小值即为求圆
2
211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣⎦上的点Q 到曲线ln y x =上的点P 的距离的最小值.由圆的对称性知,只需考虑圆心⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+0,1e
e C 到曲线ln y x =上的点距离的最小值.设曲线ln y x =上任一点
()''11,ln ,,|x t P t t y y x t ==∴=,即经过P 的切线斜率为t 1
,由切线垂直于直线PC ,所以
ln 011,1t t t e e -⨯=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭即：21ln 0t t e t e ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭.不妨设()21ln g x x x e x e ⎛
⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()()()()()1120,230,2,3g x x e x x g x g x x e ⎛
⎫''=
+-+><<>∴ ⎪⎝
⎭时，在为增函数,又()01ln 2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-+=e e e e e e g ,即当()1,e P 时线段PQ 长度最小,为e e e e -+=-+221111,
故选C.
考点：1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式. 二、填空题. 13.【答案】9
ln 5
. 【解析】
由二项式9(a x
的展开式为39992
199()((1)r
r r r r r r r r a T C C a x x ---+==-，令8r =，
可得888343
99(1)92T C a x ax -=-=⨯，令49
924
a -⨯=，解得4a =． 则
422
2442119
()ln(1)ln(1)ln 221115
a
dx dx x x x x x =-=--+=--+⎰
⎰ 考点：二项式定理的应用,定积分计算. 14.【答案】8.
【解析】由题设三视图中所提供的信息可知该几何体的直观图如图所示：
C
A
4,AB AD DE CF ====8CD
EF ==
,AE BC BF ====故最长的棱长为8.
考点：三视图. 15．【答案】【解析】1
sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，
∴1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C +=，即1
sin sin sin 3
A B
C =.
由cos
B =
得sin B =， ()C A B π
=-+，∴()3sin A A B =+，
则sin cos A A =，得tan 1A = ∴4
A
π
=
，则2
21264c b
+
-=， 1sin sin 53A C ⨯
=且1sin sin 23
B C
⨯=，
∴535c b a =
==，∴222913265105
a a a +-=.
解得a =
6b c ==. ∴ABC ∆
的最短边的边长考点：1、解三角形；2、三角恒等变换. 16.【答案】
2
π.
【解析】设)P t ，则直线PA
的方程为y x =
+，
由2
212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，整理得2222
(4)280t x x t +++-=，
解得1x =
224x t -=+，则点C
的坐标是222
4(
,)44t
t t ++，故直线BC 的斜
率BC k t =-
，由于直线OP
的斜率OP k =，故1BC OP k k ⨯=-，∴OP BC ⊥. 考点：直线与椭圆的位置关系. 三、解答题.
17. 【答案】（1）239,25a a ==；（2）存在实数1λ=-，使数列}2{
n
n a λ
+为等差数列. 【解析】（1）∵1
22n n n S a n +=-+
∴11221(2)n
n n S a n n --=-+-≥
从而 12221n n n n a a a -=--+，即：1221(2)n
n n a a n -=+-≥ 可得 13a =，22122219a a a =+-⇒=，3
32322125a a a =+-⇒=.
（2）若}2{
n n a λ
+为等差数列，则)2
(2222
2331λλλ+=+++a a a ， 3259282
λλλ
++++=
，1λ=-. 当=1λ-时，11112221
1222
n n n n n n
n a a a ----+--==+. 即：
1111122n n n n a a -----=,数列1
{}2
n n
a -为等差数列.
∴存在实数1λ=-，使数列}2{
n
n a λ
+为等差数列. 考点：递推公式的应用, 等差数列的定义，数列探索性问题. 18. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）19；（Ⅲ）19n =. 【解析】
（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；
24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ； 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P .
所以X 的分布列为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）. 当19=n 时，1920.68(1925)0.2(19225)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯
(19235)0.0440.4+⨯+⨯⨯=.
当20=n 时，
2020.88(2025)0.08(20225)0.04EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯40.8=.
可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n . 【考点】概率与统计、随机变量的分布列
19. 【答案】（1）证明见解析；（2）
3
π
. 【解析】（Ⅰ）连AG 延长交BC 于P ，
因为点G 为ABC ∆的重心，所以
2
3
AG AP = 又23AM AF =，所以2
3
AG AM AP AF ==，所以GM //PF ；
因为AC //DF ，DE //BC ，所以平面ABC //平面DEF ， 又DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，
N 为AB 中点，P 为BC 中点, NP //AC ,又AC //DF ，
所以NP //DF ，得,,,P D F N 四点共面
GM ∴//平面DFN
（Ⅱ）由题意，以P 为原点，PC 为x 轴，PE 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系， 设CD m =，则
11(1,0,0),(1,,0),(,,0),(1,0,0),(22C D m A F m B N --，
2
,3
AM AF
=
12(,
33m M ∴
，42(2,0,0),(,33m BC BM == 设平面MBC 的法向量(,,)n a b c =，则0
n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取(0,3,2)n m =-，
平面BCD 的法向量(0,0,1)v =， 所以二面角M BC D --
的余弦值cos 4
34n
v n v
θ⋅=
=
=
⋅
+，6m =，
又52(
,,636
m MN -=
-，(0,,0)CD m = 1cos ,2NM CD MN CD NM CD
⋅〈〉=
=
=
⋅,直线MN 与CD 所成角为3
π. 考点：空间线面的平行的判定及向量的数量积公式等有关知识的综合运用. 20.【答案】（I ）2
4y x =；（II ）证明见解析.
【解析】（I ）设(,),(,0),(,0)22
p p
N x y M F -
，则
p
x NF m NM +===
==∴当且仅当2
p x =
时，m 取得最小值.所以抛物线方程为：2
4y x =. （II ）由条件可知)0,(k b C -，则)0,(k
b
Q .
联立⎩⎨⎧=+=x
y b kx y 42，消去y 得0)42(2
22=+-+b x bk x k ，
0)1(164)42(222>-=--=∆bk k b bk .
设()())(,,,212211x x y x B y x A <，则()22,y x P -
,21424,
24212
21k bk bk x k bk x x ---=
-=
+.214242
2k
bk
bk x -+-= 因为
1212,AP y y k x x +=
==-
11110()2AQ y k kx b k b kx b x k
k
-+=
===--⎣⎦ 所以Q P A k k AQ AP ,,,=三点共线. 考点：抛物线定义,直线与抛物线的位置关系.
21.【答案】（1）当0>a 时，函数()x f 的单调增区间是()1,0，单调减区间是()+∞,1，当0<a 时，函数()x f 的单调增区间是()+∞,1，单调减区间是()1,0；（2）见解析. 【解析】（1）由()3ln --=ax x a x f 知()x
x a x f )
1(-=
' 当0>a 时，函数()x f 的单调增区间是()1,0，单调减区间是()+∞,1， 当0<a 时，函数()x f 的单调增区间是()+∞,1，单调减区间是()1,0. （2）()ln g x x bx =-,设()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>，
∵1()0g x =，2()0g x =，∴11ln 0x bx -=，22ln 0x bx -=， ∴1212ln ln ()x x b x x -=-，1212ln ln ()x x b x x +=+， 要证12ln ln 2x x +>，即证12()2b x x +>， 即121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即112212
2()ln x x x x x x ->+， 设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1
t t t ->+（1t >）， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-
+， ∴2
2(1)'()0(1)
t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，
∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->
+， ∴12ln ln 2x x +>．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数与方程、不等式.
22.【答案】（1
）22(3x y +=；（2
）32
+. 【解析】（1）由题意知，曲线1C
的直角坐标方程为2212360x y x ++-+=.
设点(',')N x y ，),(y x Q . 由中点坐标公式得⎩⎨
⎧=-=y
y x x 2'62'，
代入2212360x y x ++-+=中，得 点Q 的轨迹2C
的直角坐标方程为22(3x y +-=.
（2）P
的坐标为0) ，设l
的参数方程为,1,2
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
代入曲线2C
的直角坐标方程得：2(330t t -++=，
设点A ，B ，D 对应的参数分别为1t ，2t ，3t
，则123t t +=123t t =， ||=
PD 123||||2t t t +==. 考点：求动点的轨迹方程，直线的参数方程中参数的几何意义．
23.【答案】（1）3
(,]4
-∞（2）11a -<<. 【解析】（1）原不等式等价于143x <-⎧⎨-≤⎩或1143x x -≤≤⎧⎨≤⎩或143
x >⎧⎨≤⎩，得1x <-或314x -≤≤ ∴不等式()3f x ≤的解集为3
(,]4-∞．
（2）由方程()2
f x a x +=可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h
作出图象如下:
于是由题意可得11a -<<．
考点：绝对值不等式的解法，方程解的个数问题
.。