四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018-2019高三12月月考数学理含答案

成都龙泉中学2019届高三上学期12月月考
数学理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1. 已知集合，，则A∩B=（）
A. B. C. （0，1] D. （0，3]
2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）
A. B. C. D.
3.若命题：“
2
,20
x R ax ax
∃∈-->
”为假命题，则a的取值范围是
A.(,8][0,)
-∞-+∞
B.(8,0)
-
C.(,0]
-∞ D.[8,0]
-
4. 已知：，，若函数和有完全
相同的对称轴，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
5.执行程序框图，假如输入两个数是S=1、k=2,那么输出的S=
A. 15
1+ B.15C.4 D.17
6. 某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视
图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为的直角梯形，则该多面体的体积为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
7.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（）
A．3200元 B．3400元 C．3500元 D．3600元
8. 已知实数
，满足
，若的最小值为，则实数的值为（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
9. 函数
，则使得成立的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 10. 已知
的外接圆的圆心为，半径
，如果
，且
，则向量
和
方向上的投影为( ) A. 6 B. C.
D.
11. 直线:42l x y +=与圆2
2
:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+=
A.1817
B.12
17-
C.417-
D.4
17
12. 设
是函数
的导函数，且
，
（为自然对数的底数），则不等式
的解集为（ ） A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分。

13.设()220{ log 0x x f x x x =>，，
，，
…则()()1f f -=______．
14.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点
*
0(,1),,n=
x n n n N ∈+∈则．
15. 、分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则
的最小值
为__________． 16. 已知为数列
的前项和，且
，若
，，
给定四个命题①；②；③；④.
则上述四个命题中真命题的序号为_______________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本题满分12分）已知向量，，.
（1）求的最大值，并求此时的值；
（2）在中，内角，，的对边分别是，，，满足，，，求的值.
18.（本题满分12分）如图，在四棱椎中，是棱上一点，且，底面
是边长为2的正方形，为正三角形，且平面平面，平面与棱交于点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
19. （本题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中
（
（颗）·
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（注：，）
20.（本题满分12分）已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足
.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求
的值.
21. （本题满分12分）已知函数.
(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），
已知曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线与曲线交点的极坐标，.
23. （本题满分10分）已知函数，.
(1)求，求的取值范围；
(2)若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.
1.【答案】D
【解析】
由解得，所以，由解得，所以
，故，选D.
2.【答案】A
【解析】，
，，故选A。

3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
【解析】：由题可知，，
所以，故选C。

7.【答案】C
8.【答案】D
【解析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案
【详解】由作出可行域如图：
联立，解得
联立，解得
化为
由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即
当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即
综上所述，实数的值为
故选
9.【答案】B
【解析】分析：先判断出偶函数在上单调递减，然后根据对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解．
详解：由题意知函数的定义域为，
当时，，
∴在上单调递减，
∵是偶函数，
∴在上单调递增．
∵，
∴，
两边平方后化简得且，
解得或，
故使不等式成立的取值范围是．
故选B．
②解绝对值不等式时，要根据绝对值不等式的特点进行求解，解题时要注意绝对值的几何意义的利用．
10.【答案】B
【解析】由＝0得，＝∴DO经过边EF的中点，
∴DO⊥EF.连接OF，∵||＝||＝||＝4，
∴△DOF为等边三角形，
∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4.
∴向量在方向上的投影为
||cos〈,〉＝4cos 150°＝－6，故选B.
11.【答案】D
12.【答案】B
【解析】：构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F （），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．
【详解】可构造函数F（x）=，
F′（x）==，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．
不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．
即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），
由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．
故不等式的解集为（0，），
故选：B．
13.【答案】-1
14.【答案】2
15.【答案】4
【解析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可
【详解】
由向量数量积的定义可知即向量在向量上的投影模长的乘积，故求的最小值，即求在轴上的投影的绝对值的最小值，
由双曲线的图象可知的最小值为
故答案为
16.【答案】②④
【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有
又，故数列为等差数列，且公差故
故①错误；故②正确；由题意知
若，则而此时，不成立，故③错误；
.，故④成立.
即答案为②④
17.【答案】(1) ，时，的最大值为 (2)
【解析】⑴利用向量数量积的坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得，进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的的值
⑵由⑴中的解析式结合求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得答案
【详解】（1），
当，，即，时，
的最大值为.
（2）∵，
∴，
∵，∴，∴，
∴，在中，由余弦定理得，
，∴，在中，由正弦定理得，
，∴.
18.【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：(1)在正方形中，，由面面垂直的性质定理可得，∴平面，又平面，∴，进而证得，又平面，，
∴平面，∵平面，∴平面平面.
(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到平面的一个法向量，平面的一个法向量.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角，又由题意可得二面角为钝角，即可得到二面角的余弦值.
试题解析：
(1)在正方形中，，又平面平面，且平面平面，
∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，
又平面，平面，∴平面.
又四点共面，且平面平面，∴，∴，
又，∴为棱的中点，是棱中点，
∵是正三角形，∴，又平面，，
∴平面，∵平面，∴平面平面.
(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，. 设平面的法向量为，则，∴，，
，解得，，令，则为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，，
∴，，得，，令，则为平面
的一个法向量.
∴，由图知二面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
19.【答案】（1）.（2）.（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到不相邻两组数据的概率值；（2）由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归直线方程，利用方程计算并判断所得的线性回归方程是否可靠.
试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从第5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以
故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是，
（2）由数据，求得
，由公式得，
，
所以关于的线性回归方程这
（3）当时，
同样地，当时，
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠
20.【答案】(1) .
(2).
【解析】：（1）设，则，根据向量表达式，表示出的坐标关系式，得出动点的轨迹。

（2），将直线被代入椭圆方程消去得，根据韦达定理表示出。

所以线段的中点坐标为，表示出线段的垂直平分线的方程，求出点的坐标，再表示出的长度，最后求解。

【详解】：（1）设，则，所以，由
化简得，因为，代入得，即为的轨迹为椭圆方程.
（2）由（1）知，点为椭圆的左偏点，将直线被代入椭圆方程消去得
，设，则有，则
，所以线段的中点坐标为
所以线段的垂直平分线所在的直线方程为
令得，即，所以
所以
21.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程。

（2）由（1）当时，，即，+,只需证,x
试题解析：（Ⅰ），由题设得，，
在处的切线方程为
(Ⅱ)，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以
，所以在上单调递增，
所以.过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方.
下证：当时，
设，则，
在上单调递减，在上单调递增，又
，∴，
所以，存在，使得，
所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在
上单调递减，在上单调递增，
又，∴，当且仅当时取等号，故. 又，即，当时，等号成立.
22.【答案】（1）（或）. .（2）.
【解析】试题分析：（1）先求出t，再代入消元将曲线的参数方程化为普通方程，根据将
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标.
试题解析：解：（1）∵，∴，即，
又，∴，∴或，
∴曲线的普通方程为（或）.
∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.
（2）由得，
∴（舍去），，
则交点的直角坐标为，极坐标为.
23.【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
(1)由题意得到关于实a的不等式，然后零点分段求解不等式组可得的取值范围是.
(2)原问题等价于，由二次函数的性质可知，由绝对值不
等式的性质可得，据此求解关于实数a的不等式可得的取值范围是.
试题解析：
（1），
若，则，得，即时恒成立，
若，则，得，即，
若，则，得，即不等式无解，
综上所述，的取值范围是.
（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，
当时，，
因为，所以当时，，即，解得，结合，所以的取值范围是.。