黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二12月月考数学(文)试题(解析版)

鹤岗一中2018—2019学年度上学期月考考试
高二数学文科试题
一、选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）
1.命题“若，则”的逆否命题为（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
由题意得，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”。

选B。

2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
3. 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（）
A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【答案】A
【解析】
试题分析：①中总体数量较少适合用简单的随机抽样；②中总体数目较多且无明显差异，适合用系统抽样；③中总体是有明显差异的几部分组成，适合用分层抽样,故选A.
考点：三种常见的随机抽样的方法.
4.相关变量的样本数据如下表：
经回归分析可得与线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，则( )
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可以先通过题目给出的表格计算出和的平均值，再将其代入回归直线方程中，即可得出结果。

【详解】由题意可知
所以有故选C。

【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，需要在解答中认真审题，利用表中的数据，利用公式，准确、合理的运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5.设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析：分别解不等式，求出x的范围，取值范围小的条件可以推出取值范围大的条件，反之则不成立.
详解：解不等式：，，
显然前面命题范围大，所以后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以前面命题为后面命题的必要不充分条件.故选B.
点睛：本题意在考察充分必要条件的判断，如果是范围问题，注意小范围为大范围的充分不必要条件.
6.下列命题中，假命题的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可以先通过取判断出A项正确；然后可以通过令函数，由函数图像性质得知B项正确；最后可以通过指数函数的图像以及性质判断出C项以及D项是否正确，得出结果。

【详解】A项：当时，故A正确；
B项：令函数由函数图像可知，当，故B正确；
C项：由指数函数的图像性质可知，当，故C正确；
D项：由指数函数性质可知，，故D错误。

综上所述，故选D。

【点睛】本题主要考查全称命题、特称命题、对数函数以及指数函数的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想，是简单题。

判断特称命题是否正确只需找一个满足题意的值即可，判断全称命题是否正确则需要判断所有的值是否都满足题意。

7.对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A. 变量与正相关，与正相关
B. 变量与正相关，与负相关
C. 变量与负相关，与正相关
D. 变量与负相关，与负相关
【答案】C
【解析】
试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x 与y 负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u 与v 正相关，故选C
考点：本题考查了散点图的运用
点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题
8. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为（）
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，因为样本中型号产品有件，所以，解得，故选C.
考点：分层抽样的计算.
9.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )
A. 12.5,12.5
B. 13,13
C. 13.5,12.5
D. 13.5,13
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先要通过频率分布直方图得出第一组、第二组、第三组的频率，然后根据平均数的定义计算出平均数，最后根据中位数定义计算出中位数，即可得出答案。

【详解】根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，则平均数为
,由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间的位置，即中位数为
故选B项。

【点睛】频率分布直方图问题需要注意：
在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。

10.设某校共有112名教师，为了支援西部教育事业，现要从中抽取16名组成暑假西部讲师团，教师从1～112进行编号．按编号顺序平均分成16组（1～7号，8～14号，…，106～112号），若第8组应抽出的号码为52，则在第一组中按此抽签方法确定的号码是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可以先根据第8组抽出的号码为52以及每一组中的数字数目，找出每一组中抽出的数字是该组的第几个数字，由此即可算出在第一组中按此抽签方法确定的号码。

【详解】因为第组应抽出的号码为，第八组为号，
所以每一组抽出的数字为该组的第三个数，
所以在第一组中按此抽签方法确定的号码是3，故选C。

【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题。

系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答。

11.已知命题设,则“”是“”的必要不充分条件；命题若，则与的夹角为钝角。

在命题①；②；③；④中，真命题是（）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可以先对命题以及命题进行分析，判断出命题以及命题的真假，然后再根据逻辑联结词的相关性质得出
的真假性，最后得出答案。

【详解】因为“”不能推出“”，但是“”不能推出“”，所以“”是
“”的必要不充分条件，命题正确；
因为所以，，所以命题正确。

所以为真命题，为假命题，为真命题，①③正确，故选A。

【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查充分条件与必要条件以及复合命题的真假性问题，属于中档题。

解答与非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”。

12.对于常数，“关于的方程有两个正根”是“方程的曲线是椭圆”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
依题意，两个正根即，令，此时方程有两个正根，但是方程不是椭圆.反之，令
，方程是椭圆，但是没有实数根.综上所述，应选既不充分也不必要条件.
二、填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）
13.将二进制数11110(2)化为十进制数，结果为______________。

【答案】30
【解析】
【分析】
本题首先需要确定二进制数中每一位数字在哪一位，然后利用二进制转化为十进制的运算法则进行转化，最终得到结果。

【详解】由二进制转化为十进制的运算法则可知：
故本题答案为30。

【点睛】本题考查了二进制与十进制的相关性质，考查了对二进制转化为十进制的运算法则的运用，考查了计算能力，是简单题。

14.命题“”的否定是____________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先观察题目所给命题，通过命题特征可知其为全称命题，再通过全称命题的相关性质以及全称命题的否定形式即可得出答案。

【详解】由全称命题的否定为特称命题可知，
命题“”的否定是“”，
故答案为。

【点睛】本题主要考查了命题的否定，特别注意，命题中有全称量词时命题是全称命题，全称命题的否定为特称命题，属于基础题。

15.已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
条件p:log2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0<x<1.
条件q:x>a，
若p是q的充分不必要条件，∴a⩽0.
则实数a的取值范围是：(−∞,0].
故答案为：(−∞,0].
16.过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为-.
【答案】
【解析】
双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
视频
三，解答题：（17题10分，18,19,20,21,22各12分）
17.已知，且，设函数在上单调递减，函数在上为增函数，为假，
为真，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
试题分析：由指数函数二次函数的单调性可分别求得命题p,q中c的取值范围；借助于复合命题的判定方法分情况讨论得到c需满足的条件，进而得到其范围
试题解析：依题意：真假或假真
真（3分）真
综上可知：
考点：1．函数单调性；2．复合命题
18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83。

(1)求x和y的值。

(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2。

参考公式：方差，其中。

【答案】（1）x＝5，y＝3；（2）40.
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据茎叶图得出甲班同学的总分，再通过甲班同学成绩的平均分又可得出甲班同学的总分，借此即可算出的值，然后可以借助乙班学生成绩的中位数计算出的值；
(2)可通过甲班同学每一位同学的成绩、甲班同学成绩的平均数以及方差公式即可算出结果。

【详解】(1)由茎叶图可知甲班学生的总分为
又甲班学生成绩的平均分是，
总分又等于，所以，
乙班学生成绩的中位数是，得。

(2)因为甲班位学生成绩分别为。

甲班位学生成绩的平均数是，
所以位学生成绩的方差是。

【点睛】本题主要考查了茎叶图、平均数、中位数、方差的相关性质，考查了计算能力，考查了对题目所给信息的理解掌握以及相关公式的使用。

总分即等于每一个分数相加，也等于平均分乘以总数。

19.已知实数满足,其中,实数满足
(1)当时,若为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】（1）{x|2＜x≤3}；（2）{a|1＜a≤2}．
【解析】
试题分析：（1）先化简命题和，又p∧q为真，所以真真，求取值范围的交集，得出{x|2＜x≤3}．（2）涉及¬p 与¬q问题时，可根据互为逆否命题的命题等价进行转化，¬p是¬q的充分不必要条件，即，所以，不能推出，因此：{x|2＜x≤3}是：{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，从而得出的取值范围．
试题解析：（1）当a＞0时，{x|x2-4ax+3a2＜0}={x|（x-3a）（x-a）＜0}={x|a＜x＜3a}，
如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，
而{x|x2-x-6≤0，且x2+2x-8＞0}={x|2＜x≤3}，
因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．
故实数x的取值范围是{x|2＜x≤3}．
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．
由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，
易知a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．
故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}．
考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题的真假；4、集合的运算．
视频
20.在平面直角坐标系中，点在抛物线上.
（1）求的方程和的焦点的坐标；
（2）设点为准线与轴的交点，直线过点，且与直线垂直，求证：与相切.
【答案】（1）焦点的坐标（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用点在抛物线上解得，进而求得的方程和的焦点的坐标；
（2）根据题意明确的方程，联立方程利用判别式判断二者的位置关系.
试题解析：
（1）因为点在抛物线上，
所以，解得.
所以抛物线的方程为，焦点的坐标
（2）准线：与轴的交点，
直线的斜率，
所以直线的方程：，即，
由方程组，可得，
因为，所以与相切.
21.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.
【解析】
【分析】
（1）首先可以根据频率分布直方图得出样本中分数不小于的频率，然后算出样本中分数小于的频率，最后计算出分数小于的概率；
（2）首先计算出样本中分数不小于的频率，然后计算出分数在区间内的人数，最后计算出总体中分数在区间内的人数。

【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为，所以样本中分数小于
的频率为．所以从总体的名学生中随机抽取一人，其分数小于的概率估计为。

（2）根据题意，样本中分数不小于的频率为，分数在区间内的人数为
，
所以总体中分数在区间内的人数估计为。

【点睛】遇到频率分布直方图问题时需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。

22.如图，已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知是轨迹的三个动点，点在一象限，与关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）连接，根据题意，，则，可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即可求出动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出的坐标，同理可得点的坐标，进而表示出的面积，利用基本不等式，即可得出结论.
试题解析：(1)∵Q在线段PF的垂直平分线上，∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4，
又|EF|＝2＜4，∴Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г：＋y2＝1.
(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为y＝kx(k＞0)，
∵|CA|＝|CB|，∴C在AB的垂直平分线上，∴直线OC的方程为y＝－x.
，同理可得|OC|＝
当且仅当k＝1时取等号，∴S△ABC≥.
综上，当直线AB的方程为y＝x时，△ABC的面积有最小值.。