人教版高中数学高一A版必修4同步优化训练 平面向量基本定理

2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,CD =b ，则AM 等于( ) A.
21(a -b ) B.21(b -a ) C.21(a +b ) D.2
1
-(a +b ) 答案：C
2.如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A.若实数λ1、λ2使λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a 可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，这里λ1、λ2是实数
C.对实数λ1、λ2，λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对
解析：平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；C 中的向量λ1e 1+λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的. 答案：A
3.如图2-3-1，D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC =a ，CA =b ，给出下列命题： ①AD =21-
a -
b ;②BE =a +21b ;③CF =21-a +2
1
b ;④CF BE AD ++=0. 其中正确命题的序号为_______________________.
图2-3-1
解析：如图所示，CD AC AD +==-b +
21CB =-b 2
1
-a ,
+==a +
2
1
b ,+==-b -a , =+21=b +21(-b -a )=21b 2
1
-a ,
CF BE AD ++=-b 21-a +a +21b +21b 2
1
-a =0.
所以应填①②③④.
答案：①②③④
4.如图2-3-2，
ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a 、b 表示MA 、
MB 、MC 和MD .
图2-3-2
解：在
ABCD 中，
∵+==a +b ,-==a -b , ∴MA =-
21AC=-21(a +b )=-21a -2
1b , =
21=21(a -b )=21a -21b ,
=
2
1=21a +21b ,-==-21a +2
1b .
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.向量,,的终点A,B,C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( )
A.r =21-
p +23
q B.r =-p +2q C.r =23p 2
1
-q D.r =-q +2p
解析：由3-=，得)(3OC OB OA OC --=-， 即32+-=.∴=21-+23，即r=21-p +2
3
q . 答案：A
2.设一直线上三点A,B,P 满足=λ(λ≠1)，O 是空间一点，则OP 用OA ,OB 表示为( )
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.OP =
λλ++1 D.OP =λ
1
OA +
λ-11OB 解析：由=λ(λ≠1),得-=λ(-)，即=λ
λ++1OB
OA .
答案：C
3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A,C)，则AP 等于( )
A.λ(AD AB +),λ∈(0,1)
B.λ(BC AB +),λ∈(0,
22) C.λ(AD AB -),λ∈(0,1) D.λ(BC AB -),λ∈(0,
2
2) 解析：∵点P 在对角线AC 上，∴AP 与AC 共线. 又AD AB AC +=,
∴AP =λ(AD AB +).当P 与A 重合时,λ=0;当P 与C 重合时,λ=1. 答案：A
4.(2006高考安徽卷，理14)在
ABCD 中，AB =a ，AD =b ,NC AN 3=,M 为BC 的中点，
则MN =_________________(用a 、b 表示). 解析：CN MC MN +==21BC +41CA =21AD +4
1
(BA CB +) =
21b +41[-b +(-a )]=4
1
(b -a ). 答案：4
1
(b -a )
5.如图2-3-3所示，四边形ABCD 为矩形，且AD=2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 中点，EA =e 1,EF =e 2,以e 1、e 2为基底，表示向量AF 、AB 、AD 及BD .
图2-3-3
解：∵=e 1,=e 2,∴=e 2-e 1. 依题意有:AD=2AB=DE,且F 为ED 中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形. ∴==e 2-e 1,==e 2. ∴+==e 2-e 1+e 2=2e 2-e 1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△ABC 中，设AB =m,AC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______________,
AE=_____________________.
解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得BD=
3
1
BC,BE=
3
2
BC，转化为已知向量即可.
答案：
3
2
m+
3
1
n
3
1
m+
3
2
n
2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中，α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为________________________________.
解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.
答案：x+2y-5=0
3.如图2-3-4所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c,AN=d,试用c,d表示AB和AD.
图2-3-4
解：设AB=a,AD=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得
BN=
2
1
b,DM=
2
1
a.
从△ABN和△ADM中可得
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
c
a
b
d
b
a
2
1
,
2
1
解之，得
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
),
2(
3
2
),
2(
3
2
d
c
b
c
d
a
即AB=
3
2
(2d-c),AD=
3
2
(2c-d).
4.如图2-3-5所示，在△ABC中，M是边AB的中点，E是线段CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF.求证：FC
HF
BH=
=.
图2-3-5
证明：M为AB中点，MH∥AF，则==x.
设AB =a ，AC =b ,MH =2a
+x ，AF =a +2x . 又E 为CM 的中点，EF =21MH =2
4x
a
+.
MC =2a b -,EC =21MC =4
2a
b -.
又EF AF AE -==(a +2x)-(24x
a +).
由AC EC AE =+,(a +2x)-(24x a +)+(4
2a
b -)=b ,
2a +23x +2b =b ,3x =b -a ,x =3
1
(b -a ). HF BH ==31(b -a ),而FC =(b -a )32-(b -a )=3
1
(b -a ).
∴FC HF BH ==.
5.如图2-3-6所示的△OAB 中，OA =a ，OB =b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且
OM =31a ，ON =2
1
b ，设AN 与BM 相交于点P ，用向量a 、b 表示OP .
图2-3-6
解：OM +=,+=. 设m =,m =，则
m OM +==31
a +m(
b 31-a )=3
1(1-m)a +m b ,
n +==
21b +n(a 21-b )=2
1
(1-n)b +n a . ∵a ,b 不共线，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-m n n m )1(21)1(31
⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.52,5
1m n ∴=
51a +5
2
b . 6.如图2-3-7,已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E ，O 是任意一点.求证：
4=+++.
图2-3-7
证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点，∴CE EC AE -==,DE ED BE -==. 在△OAE 中，OE AE OA =+,
同理，OE BE OB =+,OE CE OC =+,OE DE OD =+ 以上各式相加，得OE OD OC OB OA 4=+++. 7.证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，令AB =a ,AC =b 为基底，则BC =b -a ,AD =
21a +21b ,BE =2
1b -a .
设AD 与BE 交于点G 1，并设1AG =λ,1BG =μ, 则有BG CG -=11=
2λa +2λb -b =2
λa +22
-λb ,
AG CG -=11=a -b -μa +2
μ
b =(1-μ)a +22-μb ,
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.222
2,12μλμλ
解之，得λ=μ=3
2
. ∴1AG =
3
2
. 设AD 与CF 交于点G 2，同理可得1AG =
3
2
. ∴G 1与G 2重合，也就是说AD 、BE 、CF 相交于同一点. ∴三角形的三条中线交于一点. 快乐时光
感 想
A ：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？
B ：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.
A：何以见得呢？
B：人家大人小孩都会说英语.。