甘肃省兰州一中高三数学实战演练(三)【会员独享】

甘肃省兰州一中高三数学实战演练（三）【会员独享】
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)
1．若全集R U =，}20|{<<=x x A ，}1|||{≤=x x B ，则B A C U ⋂)(为（ ） A ．}01|{<≤-x x B ．}11|{≤≤-x x C ．}21|{≤≤x x D ．}01|{≤≤-x x 2．（理）如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．1 C ．2 D ．1或 －2 （文）下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ）
A ．x y sin =
B ．x y 2log -=
C ．x
y )2
1(= D ．12y x -=
3．两个非零向量a ，b 互相垂直，给出下列各式： ①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ； ③|a ＋b|＝|a －b |；
④|a |2
＋|b |2
＝(a ＋b 2)； ⑤（a ＋b ）·（a －b ）＝0．其中正确的式子有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
4．（理）已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)
n
a +等于（ ） A ．2)12(-n B ．)12(3
1-n
C ．14-n
D ．)14(3
1-n
（文）若数列{n a }的前n 项和为2n S n =，则（ ）
A ．12-=n a n
B ．12+=n a n
C ．12--=n a n
D ．12+-=n a n
5．设 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧><+)
0(,log ),0(,12
1x x x x x
,则f (x )≥21
的解集是( )
A ．(－∞,－2]∪[2
2
, +∞) B. [－2, 0)∪(0,
2
2
] C. [－2, 0)∪[
22, +∞) D. (－∞,－2]∪(0,
2
2
]
6．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜
）的图像的大致形状是（ ）
7．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A －sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ） A ．（0，
4π） B ．（4π，2π） C ．（2
π，34π） D ．（34π
，
）
8．（理）若直线4x －3y －2＝0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．－3＜a ＜7
B ．－6＜a ＜4
C ．－7＜a ＜3
D ．－21＜a ＜19
（文）圆064422=++-+y x y x 截直线x －y －5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．2
25 C ．1 D ．5
9．
0 1 2 3 4 5 2x
3x
7x
2x
3x
x
A ．181
B ．91
C ．920
D ．209
(文)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000
人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(1500，2000)(元)月收入段应抽出的人数为（ ）
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
10．以下四个命题：①PA 、PB 是平面α的两条长度相等的斜线段，则它们在平面α内的射影的长度必相等；
②平面α内的两直线12l l ﹑，若12l l ﹑均与平面β平行，则α∥β；
③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
④α、β为两相交平面，且α不垂直于β，α内有一定直线l ，则在平面β内有无数条直线与l 垂直．其中正确的命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．从6名学生中选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从
事A 种工作，则不同的选派方案共有 ( )
A ．96种
B ．180种
C ．240种
D ．280种
12．（理）已知抛物线C ：22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，则m 的取值范围是( )
A ．-∞(，]1- [3，)∞+
B ．[3，)∞+
C ．-∞(，]1-
D ．[－1，3] （文）设R ∈x ，则函数)1|)(|1()(x x x f +-=的图像在x 轴上方的充要条件是( )
A ．－1＜x ＜1
B ．x ＜－1或x ＞1
C ．x ＜1
D ．－1＜x ＜1或x ＜－1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题(本题共4小题，共20分)
13． （理）若2)2
1
22(lim 2=++-+
∞→bn n an n n ，则实数a ＋b 的值为________． （文）在8
3)12(x
x -
的展开式中常数项是________． 14．已知点),(y x P 满足条件
y x z k k y x x y x 3),(02,
,0+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为8，则k = . 15．已知正方体ABCD －A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'－ABCD 的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．
16． 已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线 22
211
x y a -=交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，
若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知函数(
)21
2cos ,22
f x x x x =
--∈R. （I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（II ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，
且()0c f C =，若向量
()1,sin A =m 与向量()2,sin B =n 共线，求,a b 的值.
18. （本小题满分12分）
（理）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
(1)随机变量ξ的概率分布； (9分) (2)随机变量ξ的数学期望与方差. （3分）
（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中． （1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；
（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 190,22ACB AC AA BC ∠====.
（1）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （2）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长.
20．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且
2212b S +=，{}n b 的公比2
2
S q b =
. （1）求n a 与n b ； （2）证明：121111233
n S S S ≤+++<…
C 1
B 1
A 1
B
A
D
C
21．（本小题满分12分） （理）已知函数1
()[3ln(2)ln(2)].2
f x x x =
+-- （1） 求x 为何值时，]7,3[)(在x f 上取得最大值；
（2）设)(),()1ln()(x F x f x a x F 若--=是单调递增函数，求a 的取值范围. （文）已知函数32()3f x x ax x =--．
（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．
22. （本小题满分12分）
若椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 过点),2,3(-离心率为,33⊙O 的圆心为原点，直径为椭
圆的短轴，⊙M 的方程为,4)6()8(2
2
=-+-y x 过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线,,PB PA 切点为.,B A （1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为,Q 当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.
参考答案
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.理－1 文7 14. －6 15. 6∶2∶π33 16.
三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知函数()21
2cos ,2
f x x x x =
--∈R. （I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（II ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()0c f C =，若向量
()1,sin A =m 与向量()2,sin B =n 共线，求,a b 的值.
解:（I ）1cos 21
()222
x f x x +=
--=sin(2)16x π-- …………3分
则()f x 的最小值是－2,最小正周期是22
T π
π==. ……………………5分 （II ）()sin(2)106f C C π=-
-=,则sin(2)6
C π
-=1, 0,022C C ππ<<∴<<,11
2666
C πππ∴-<-<,
26
C π
∴-
=
2
π, 3C π
=, ………………………………………………7分
向量()1,sin m A =与向量()2,sin n B =共线
∴
1sin 2sin A
B
=， ……………………………………………………8分 由正弦定理得，1
2
a b = ①
由余弦定理得，2
2
2
2cos
3
c a b ab π
=+-，即3=22
a b ab +- ②
由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………10分
18. （本小题满分12分）（理）袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
(1)随机变量ξ的概率分布； (9分)
(2)随机变量ξ的数学期望与方差. （3分）
（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中． （1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；
（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率.
解：(理) (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4.………………..2分
111
23211
543
(2);5C C C P C C ξ=== 212123*********(3);10P C P C P C C C ξ+=== 31
32111154321
(4);10
P C P C C C C ξ===……………….8分
得随机变量ξ的概率分布律为：
………………..9分
(2)随机变量ξ的数学期望为：2
5
10141033532=⋅+⋅+⋅=ξE ；…………….10分 随机变量ξ的方差为：20
9101)5.24(103)5.23(53)5.22(22
2=⋅-+⋅-+⋅-=ξD …..12分
（文）(1) 设甲袋内恰好有2个白球为事件A,
()P A =22
4422674
35
C C C C =⋅⋅…………………4分
(2)设甲袋内恰好有4个白球为事件B ，则B 包含三种情况． ……………5分
①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．……………………..8分
∴ =)(B P 221111224342342422
6721
C C C C C C C C C C ++8
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅．…….12分 19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 190,22ACB AC AA BC ∠====.
（Ⅰ）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法一：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C A
C ⊥， 又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面
ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① …………………………3分
C 1
B 1
A 1
B
A
D
C
由D
为中点可知，1DC DC =
∴22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……② ……………… ……………5分
由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面1B CD ⊥平面B 1C 1D . … 6分
（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线于E ，连EB 1，由三垂线定理可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ……………8分
∴1160.B EC ∠=由B 1C 1=2
知，1C E =， ………………………………………10分 设AD=x
，则DC ∵
1DC C 的面积为1，∴13
3212
12=⋅+⋅x ，
解得x =
AD = ……………………………………12分
解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）.即
11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)
C B DC C
D ==-=0
101)1,0,1()1,0,1(;
,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD B C CD 由得由
得1CD DC ⊥；又1
11DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，
∴平面1B CD ⊥平面B 1C 1D ……………………………6分
（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,),(0,2,2)CD a CB ==， 设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由
,1,02200
01-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅z z y ax x CD m CB m 令 0,220x az y z +=⎧⇒⎨+=⎩令z=-1. 得(,1,1)m a =-，又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =， 则由2
1
21
|
|||60cos 2
=+⇒
=
a n m
，
即a =，
故AD = ……………………………………12分
20．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且
2212b S +=，
{}n b 的公比22
S q b =
.（1）求n a 与n b ； （2）证明：121111233n S S S ≤+++<…
解：（I ）由已知可得22
312
3q a a q q ++=⎧⎪
+⎨=⎪⎩
…………2分 解得，3q =或4q =-（舍去），26
a =……………4分
3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=………………6分
（2）证明：
(33)12211
()
2(33)31n n n n S S n n n n +=
∴==-++……………..7分
121112*********
(1)(1)
322334131n S S S n n n ∴
+++=-+-+-++-=-++………….9分
111212
10(1)123313n n n ≥∴<
≤∴≤-<++…………11分
故
1211112
33n S S S ≤+++<
…………………..12分
21．（本小题满分12分） （理）已知函数1
()[3ln(2)ln(2)].2
f x x x =
+-- （I ） 求x 为何值时，]7,3[)(在x f 上取得最大值；
（Ⅱ）设)(),()1ln()(x F x f x a x F 若--=是单调递增函数，求a 的取值范围. （文）已知函数3
2
()3f x x ax x =--．
（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）.4
4
]2123[21)(2--=--+=
'x x x x x f …………………………3分 24,()0;4,()0.()(2,4),(4,).()[3,7].
111
(3)(7)[3ln 5ln1][3ln 9ln 5][ln 625ln 729]0,
222
x f x x f x f x f x f f ''∴<<<>>∴+∞∴-=---=-<当时当时在上是减函数在是增函数在上的最大值应在端点处取得
(3)(7).7,()[3,7].
6f f x f x ∴<=即当时取得在上的最大值分
（Ⅱ）∵ F (x)是单调递增函数，/()0F x ∴≥恒成立
又.)
4)(1()
1(45)1(441)(2
22--+-+-=----='x x a x x a x x x a x F 显然在F (x)2()(2,),(1)(4)0f x x x +∞-->的定义域上恒成立.
2(1)54(1)0(2,)a x x a ∴-+-+≥+∞在恒成立. ………………………………10分
下面分情况讨论a a x x a ,),2(0)1(45)1(2上恒成立时在∞>+-+-的解的情况. 当01<-a 时，显然不可能有2(1)54(1)0(2,)a x x a -+-+≥+∞在上恒成立. 当210,(1)54(1)580(2,)a a x x a x -=-+-+=->+∞时在上恒成立. 当01>-a 时，又有两种情况：①2516(1)(1)0a a +-+≤； ②25
2(1)2524(1)0.2(1)
a a a -
≤-⋅+⨯-+≥-且
由①得2
1690a +≤，无解；由②得1.
10, 1.4
a a a ≥-->∴>
综上所述各种情况，当21,(1)54(1)0(2,)a a x x a ≥-+-+≥+∞时在上恒成立. ∴所求的a 的取值范围为[).,1+∞ ………………………………………………12分
(文)解：（1）0323)(2>--='ax x x f ． ∵ x ≥1． ∴ )1
(23x
x a -<， 当x ≥1时，
)1(23x x -是增函数，其最小值为0)11(2
3
=-． ∴ a ＜0（a ＝0时也符合题意）． ∴ a ≤0．…………………6分
（2）0)3(='f ，即27－6a －3＝0， ∴ a ＝4．
∴ x x x x f 34)(2
3
--=有极大值点3
1-=x ，极小值点3=x ．
此时f （x ）在3
1
[-∈x ，]3上时减函数，在3[∈x ，＋)∞上是增函数． ∴ f （x ）在1[∈x ，]a 上的最小值是18)3(-=f ，最大值是6)1(-=f ，（因12)4()(-==f a f ）．…………………12分
22. （本小题满分12分）
若椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 过点),2,3(-离心率为,33
⊙O 的圆心为原点，直径为椭
- 11 - 圆的短轴，⊙M 的方程为,4)6()8(22=-+-y x 过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线,,PB PA 切点为.,B A
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为,Q 当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；
（3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.
解：（1
）由题意得：2222222
941
15,10,a b a c a
b a b
c ⎧+=⎪⎪⎧=⎪⎪=∴⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎪⎩所以椭圆的方程为2211510x y +=…………4分 （2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8,6）时，弦PQ 最大。

因为直线PA 的斜率一定存在，所以可设直线PA 的方程为：6(8)y k x -=-………………6分 又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0,0）到直线PA
=13k =或139k = 所以直线PA 的方程为：3100139500x y x y -+=--=或…………8分
(3)设,AOP α∠=
,2AOP BOP AOB α∠=∠∠=则，
22220cos 2cos 12()11,OA AOB OP OP
α∠=-=-=-则…11 分 2200cos 10OA OB OA OB AOB OP ∴⋅=∠=
- max min 55155(),().818
OA OB OA OB ∴⋅=-⋅=-………12分。