高考数学 3年高考2年模拟 第6章 数列 第二节 数列的应用

第六章 数列第二节 数列的应用第一部分 三年高考体题荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010江西理）5.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数
()128()()
()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'0f
只与函数()f x 的一次项有关；得：412123818()2a a a a a a ⋅⋅==。

2.（2010江西理）4.
2111lim 1333n x →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（ ） A. 53 B. 3
2 C. 2 D. 不存在
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

1133lim ()1213
n n →+∞-=- 3.（2010北京理）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=
（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
【答案】C
4.（2010四川理）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim n n n
a S →∞= （A ）0 （B ）
12 （C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+
作差得a n ＋2＝2a n ＋1
又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ⇒ a 2＝2a 1
故{a n }是公比为2的等比数列
S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1 则111
21lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 【答案】B
5.（2010天津理）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，
且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前5项和为
（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

显然q ≠1，所以36
39(1q )1-=121-q 1q q q q
-⇒+⇒=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5
511()31211612
T -==-. 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。

6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =
(A)
【答案】A
【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析】由等比数列的性质知3
1231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,
所以132850a a =,
所以133364564655()(50)a a a a a a a =====
7.（2010湖北文）7.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，
321,22a a 成等差数列，则91078
a a a a +=+
A.1+
B. 1
C. 3+
D 3-
8.（2010安徽理）10、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是
A 、2X Z Y +=
B 、()()Y Y X Z Z X -=-
C 、2
Y XZ =
D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D
【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。

【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n 表示代入验证得结论.
（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面
积之和，则lim n →∞n s = A ． 22r π B. 83
2r π C.42r π D.62r π
9.（2010福建理）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】A
【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362
n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

二、填空题
1.（2010浙江理）（14）设1
1
2,,(2)(3)23n n
n n N x x ≥∈+-+ 2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+， 将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则
23453355
11110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 其中n T =__________________ .
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
2.（2010陕西文）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23
＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）
2（或152）. 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方
所以第四个等式．．．．．
为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 3.（2010辽宁理）（16）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n a n 的最小值为__________. 【答案】212
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。

【解析】a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+…(n -1)]+33=33+n 2
-n 所以
331n a n n n
=+- 设()f n =331n n +-，令()f n =23310n -+>，则()f n
在)+∞上是单调递增，
在上是递减的，因为n ∈N +,所以当n=5或6时()f n 有最小值。

又因为55355a =，66321662a ==，所以，n a n 的最小值为62162a = 4.（2010浙江文）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是 。

答案：2n n +
5.（2010天津文）（15）设{a n }
是等比数列，公比q =，S n 为{a n }的前n 项和。

记*21
17,.n n n n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = 。

【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

2
n n
n
T==
17]
n
=+-
因为n+≧8，
当且仅当n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值。

【温馨提示】本题的实质是求T n取得最大值时的n
值，求解时为便于运算可以对n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
6.（2010湖南理）15．若数列{}n a满足：对任意的n N*
∈，只有有限个正整数m使得
m
a n
＜
成立，记这样的m的个数为()
n
a*，则得到一个新数列{}
()
n
a*．例如，若数列{}n a是1,2,3,n
…，…，则数列{}
()
n
a*是0,1,2,1,
n-
…，…．已知对任意的N
n*
∈，2
n
a n
=，则5
()
a*=，
(())
n
a**=．
三、解答题
1.（2010湖南文）20.（本小题满分13分）
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为
{}
n
b求和：32
4
12231
n
n n
b b
b
b b b b b b
+
+
++
2.（2010全国卷2理）（18）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+． （Ⅰ）求lim n n n
a S →∞； （Ⅱ）证明：
12222312n n a a a n +++…＞． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)
(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩的运用，数列极限和数列不
等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
3.（2010北京理）（20）（本小题共13分）
已知集合121{|(,,),{0,1},1,2n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…
A 与
B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑
（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d (P). 证明：d （P ）≤2(1)
mn m -. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||n i i i i
i d A C B C a c b c =--=---∑
由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;
当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-
所以1
(,)||(,)n
i
i
i d A C B C a b d A B =--=
-=∑
(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =. 记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知
(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-= (,)(,)d B C d B A C A h =--=
所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的
个数为l 。

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。

（III ）2,1()(,)A B P
m
d P d A B C ∈=
∑,其中,(,)A B P
d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，
设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则
,(,)A B P
d A B ∈∑=1
()n
i
i
i t m t =-∑
由于i t ()i m t -2
(1,2,...,)4
m i n ≤= 所以,(,)A B P
d A B ∈∑2
4nm ≤
从而2
2
2
,1
()(,)42(1)A B P m m
nm mn
d P d A B C C m ∈=≤=-∑
4.（2010天津文）（22）（本小题满分14分）
在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *
N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）记222
2323n n
n T a a a =+++，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（
2）. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基
础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，
65618a a =+=。

从而
65543
2
a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈
所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++⨯ ()21,*k k k N =+∈.
由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.
所以数列{}n a 的通项公式为22
1
,2
,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数
或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。

（III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈
若1m =，则2
222n
k k
k n a =-=∑，
若2m ≥，则
()()()2
2
222112211112212214441221n
m m m
m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤
⎛⎫=++=++-⎢⎥ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣
⎦⎣⎦∑∑ ()11312211222m m n m n
⎛⎫=+-+
-=-- ⎪⎝⎭. 所以223122n
k k k n a n =-=+∑，从而2
2322,4,6,8,....2n
k k
k n n a =<-<=∑
（2） 当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈。

()()()22
2222221
212131
42221n
m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()1131
4222121
m n m n =+-=--
-+ 所以2231221n
k k k n a n =-=++∑，从而2
2322,3,5,7,....2n k k
k n n a =<-<=∑
综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有3
2 2.2
n n T <-≤ 5.（2010天津理）（22）（本小题满分14分）
在数列{}n a 中，10a =，且对任意*
k N ∈.21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为k d 。

（Ⅰ）若k d =2k ，证明2k a ，21k a +，22k a +成等比数列（*
k N ∈） （Ⅱ）若对任意*
k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q 。

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

满分14分。

（Ⅰ）证明：由题设，可得*4,2121
a a k k N k k -=∈+-。

所以131()()...()21
21212123
a
a a a a a a a k k k k k -=-+-++-++---
=44(1)...41k k +-++⨯ =2k(k+1) 由1a =0，得222(1),22,2(1).2122122
a
k k a a k k a k k k k k =+=-==++++从而 于是1121222221,,221212a a a a k k k k k k a k a k a a k k k k
++++++===++所以。

所以*
2,,,22122
k d k k N a a a k
k k =∈++时，对任意成等比数列。

（Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,21
21k a
a a k k -+成等差数列，及,,22122
a a a k k k ++成等
比数列，得212112,222121221
k a a k k a
a a q k k k a a q
k k k -+=+=+=+-+- 当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*
N 从而
111
111,1(2)1111
111
21
1
k q
q q q k k k k q k ==
+-=≥-------
--即
所以11q k ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
是等差数列，公差为1。

（Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而14
2,2q =
=11
1
q -=1.由（Ⅰ）有 *1111,,1
k k k k q k N q k
k +=+-==∈-得
所以2
*
222211221,,2122a a a k k k k k k N a a k a k k k k
+++++===∈+（）
从而
因此，
2222*
2222(1)222214...........22..2(1),2212(1)(2)1
22242
k a a a k k k k k a a k a a k k k N k k a a a k k k k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*
m N ∈)
若m=1,则2
222n
k k
k n a =-=∑.
若m ≥2，则
2222
122111221(2)(21)42n
m m m k k k k k k k k k k k a a a k
-====++=+=∑∑∑∑+ 221
11
1114414411112222(1)2(1)2(1)211131
22(1)(1)222.
m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n m n ---===⎡⎤+++⎡⎤
⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+-+-=--
∑∑∑
所以22
223132,22,4,6,8...22n
n
k k k k
k k n n n a n a ==-=+<-<=∑∑从而
(2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*
m N ∈）
2
222
22221(21)31(21)4222(1)n
m k k k k
m k k m m m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ 1131
4222(1)21
m n m n =+-=--++
所以22312,21n
k k k n a n =-=++∑从而2
2322,3,5,72n
k k
k n n a =<-<=∑·
·· 综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *
∈,有2
23222n
k k
k n a =<-≤∑
证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-
212221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=
232211122222221
111k k k k k k
k k k k k k k k
a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=
==+=+=+ 由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。

可得
11
11
11111k k k k k q q q q q +-
=-=----，
所以11k q ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列，公差为1。

（ii ）证明：因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。

所以3214a a d =+=，从而3122a q a =
=，11
11q =-。

于是，由（i ）可知所以11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是公
差为1的等差数列。

由等差数列的通项公式可得
1
1
k q -= ()11k k +-=，故1k k q k +=。

从而
11
k k k d k q d k
++==。

所以
12112112 (121)
k k k k k d d d d k k k d d d d k k ----===--，由12d =，可得 2k d k =。

于是，由（i ）可知()221221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈ 以下同证法一。

6.（2010湖南理）21．（本小题满分13分）
数列{}*()n a n N ∈中，是函数322211
()(3)332
n n n f x x a n x n a x =
-++的极小值点
（Ⅰ）当a=0时，求通项n a ；
（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

7.（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n
S 是公差为d 的
等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为
2
9。

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。

满分16分。

（1）由题意知：0d >，(1)(1)n d n d =
-=-
21323213233()a a a a S S S S =+⇒=⇒-=，2221)]2),d a d -=
化简，得：2211,a d d d a d -+===
22(1),n d n d nd S n d +-==，
当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形。

故所求2(21)n a n d =- （2）（方法一）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>⇒+>⋅⇒+>⋅， 22
2
m n c k +<
恒成立。

又n m k n m ≠=+且3，222
2
2
2
2
9
2()()92
m n m n m n k k ++>+=⇒>， 故9
2
c ≤
，即c 的最大值为29。

d =
(1)n d =
-，得0d >，22n S n d =。

于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有
22
2
2
222()99
()222
m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==。

所以c 的最大值max 92c ≥。

另一方面，任取实数92a >。

设k 为偶数，令33
1,122
m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，
且22222222
331()[(1)(1)](94)222
m n S S m n d d k k d k +=+=++-=+。

于是，只要2
2
942k ak +<
，即当k >
22
122m n k S S d ak aS +<⋅=。

所以满足条件的92c ≤，从而max 9
2
c ≤。

因此c 的最大值为92。

2009年高考题
一、选择题
1.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且2525
2(3)n
n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -++
+=
A. (21)n n -
B. 2
(1)n + C. 2
n D. 2
(1)n -
【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 22
2=，0>n a ，
则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.
【答案】 C
2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若
63S S =3 ，则 6
9S
S =
A. 2
B.
73 C. 8
3
D.3 【解析】设公比为q ,则36333
(1)S q S S S +=
＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3
＝2 于是63693
11247
1123
S q q S q ++++===++ 【答案】B
3.（2009宁夏海南卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若
1a =1，则4s =( )
A.7
B.8
C.15
D.16 【解析】
41a ，22a ，3a 成等差数列，
22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S ,选C.
【答案】 C
4.（2009湖北卷文）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{2
1
5+}，[
215+],2
15+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B
【解析】可分别求得1122⎫⎪
=
⎬⎪⎪⎩⎭
，1=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.
5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289
B.1024
C.1225
D.1378 【答案】C
【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2
n
n
a n =
+，同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =，则由2n b n =()n N +∈可排除A 、D ，又由(1)2
n
n
a n =+知n a 必为奇数，故选C.
6..（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是
A.21
B.20
C.19
D. 18 【答案】 B
【解析】由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即
433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由10
n n a a +≥⎧⎨
<⎩得20n =，选B 7.（2009江西卷理）数列{}n a 的通项2
2
2(cos sin )33
n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为
A ．470
B ．490
C ．495
D ．510 【答案】 A
【解析】由于2
2{cos
sin }33
n n ππ
-以3 为周期,故 222222
2
223012452829(3)(6)(30)22
2
S +++=-++-++
+-+
2210
10
2
11
(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A
8.（2009四川卷文）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190 【答案】B
【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2
d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝10 二、填空题
9.（2009浙江文）设等比数列{}n a 的公比12q =
，前n 项和为n S ，则44
S
a = ． 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n 项和的知识联系． 答案 15
解析 对于443
1444134(1)1,,151(1)
a q s q s a a q q a q q --==∴==--
10.（2009浙江文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，16
12
T T 成等比数列．
【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案：
812
48,T T T T
解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，81248,T T T T ，16
12
T T 成等比数列．
11.（2009北京理）已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则
2009a =________；2014a =_________.
答案 1，0
解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====. ∴应填1，0.
12..（2009江苏卷）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若
数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = . 答案 -9
解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。

等比数列的通项。

{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为
3
2
q =-，6q = -9
13.(2009山东卷文)在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 解析 设等差数列}{n a 的公差为d ,则由已知得⎩⎨
⎧
++=+=+6
47
2111d a d a d a 解得13
2
a d =⎧⎨
=⎩,所以
61513a a d =+=.
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
14.(2009湖北卷理)已知数列{}n a 满足：1a ＝m
（m 为正整数），1,231,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩
当为偶数时，
当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。

答案 4 5 32
解析 （1）若1a m =为偶数，则
12a 为偶, 故223 a 224
a m m a === ①当4
m 仍为偶数时，46832m m a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 故
13232m
m =⇒=
②当4m 为奇数时，433
3114a a m =+=+63
144
m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
故3
1414
m +=得m=4。

（2）若1a m =为奇数，则213131a a m =+=+为偶数，故331
2
m a +=
必为偶数 63116m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
，所以31
16
m +=1可得m=5 15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{n a }前n 项和为n S 。

已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=_______
解析由1m a -+1m a +-2m a =0得到
()()()121221
2120,0,22138102
m m m
m m m m a a a a a S m a m ---+-====
-=∴=又。

答案10
16.（2009陕西卷文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则
n a = .
解析:由6312a s ==可得{}n a 的公差d=2,首项1a =2,故易得n a =2n. 答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则
2
lim
n
n S n →∞= .
611223
112512211(1)lim lim 112122n n n n n a a d a S S n n S n n s a d d n n n n →∞→∞=+==⎧⎧⎧++⇒⇒⇒=+⇒=⇒==⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩解析：
答案：1
18.（2009宁夏海南卷文）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = 解析 由216n n n a a a +++=得：11
6-+=+n n n q q q
，即062=-+q q ，0q >，解得：q ＝2，
又2a =1，所以，112a =，2
1)
21(21
44--=S ＝15
2。

答案 152
19.(2009湖南卷理)将正⊿ABC 分割成n 2
（n ≥2，n ∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=
10
3
，…，f(n)=
1
6
(n+1)(n+2)
答案
101
,(1)(2)36
n n -+ 解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
1212121,,,a b c x x a b y y b c z z c a ++=+=++=++=+
1212121221122()2,2x x y y z z a b c g x y x z y z +++++=++==+=+=+ 12121262()2g x x y y z z a b c =+++++=++=
即12121211110(3)13233
g f a b c x x y y z z g =
=+++++++++=++=而 进一步可求得(4)5f =。

由上知(1)f 中有三个数，(2)f 中 有6个数，(3)f 中共有10个数相加 ，(4)f 中有15个数相加….，若(1)f n -中有1(1)n a n ->个数相加，可得()f n 中有
1(1)n a n -++个数相加，且由
363331045(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3), (3333333)
f f f f f f f +=====+==+==+
可得1
()(1),3
n f n f n +=-+所以
11113
()(1)(2)...(1)3333333
n n n n n n f n f n f n f +++-=-+
=-++==++++ =113211
(1)(2)3333336n n n n n +-+++++=++ 20.（2009重庆卷理）设12a =，121
n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*
n N ∈，则数列{}n b 的通项
公式n b = ．
解析 由条件得11111
2
2
22
222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---且14b =所以数列{}n b 是首项
为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=
答案 2n+1
三、解答题
21.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知点（1，
3
1）是函数,0()(>=a a x f x
且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{
}1
1
+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >
20091000的最小正整数n 是多少? 解（1）()113f a ==Q ,()13x
f x ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2
9
=-, ()()32
3227
a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列，2213421
81233
27
a a c a ===-=-- ，所以 1c =；
又公比2113a q a ==，所以1
2112333n n
n a -⎛⎫
⎛⎫
=-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
*n N ∈ ；
1n n S S --=
=Q ()2n ≥
又0n b >
0>
, 1；
数列
构成一个首相为1公差为1
()111n n +-⨯= ， 2n S n =
当2n ≥， ()2
2
1121n n n b S S n n n -=-=--=- ；
21n b n ∴=-(*n N ∈)；
（2）12233411111
n n n T b b b b b b b b +=
++++
L ()
1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭； 由1000212009n n T n =
>+得10009n >，满足1000
2009
n T >的最小正整数为112. 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++
（I ）设n n a
b n
=，求数列{}n b 的通项公式
（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有
1112n n n a a n n +=++11
2
n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1
122
n n b -=-(*
n N ∈) （II ）由（I ）知1
22n n n a n -=-
, ∴n S =11(2)2n
k k k k -=-∑111(2)2n n
k k k k
k -===-∑∑
而
1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又1
12
n
k k k
-=∑
是一个典型的错位相减法模型， 易得
11
12
42
2n
k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。

具有让考生和一线
教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。

也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

23.（2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任
意的
(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A .
（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于34⨯与4
3
均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于661236
12,13,16,23,,,,,,231236
⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，
∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与
n
n
a a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ∉.
从而1n
n
a A a =
∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<
<， ∴k n n a a a >，故()2,3,
,k n a a A k n ∉=.
由A 具有性质P 可知
()1,2,3,,n
k
a A k n a ∈=.
又∵
1
21
n n n n
n n a a
a a a a a a -<<<
<， ∴
211
21
1,,,n n n n n n n n a a
a a
a a a a a a a --====，
从而
1211
21
n n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a --=++
+=++++，
∴
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有
552343
,a a a a a a ==，即2
5243
a a a a ==， ∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ∉，
由A 具有性质P 可知
4
3
a A a ∈. 2
243
a a a =，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232
a a
a a a ==，
∴
5342
24321
a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列. 24.（2009江苏卷）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足
222223457,7a a a a S +=+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得
1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。

满分14分。

（1）设公差为d ，则2
222
2
543
a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176
772
a d ⨯+=，解得
15a =-，2d =,
(2)
（方法一）12
m m m a a a ++=(27)(25)
23m m m ---,设23m t -=，
则
12
m m m a a a ++=
(4)(2)
86t t t t t --=+-, 所以t 为8的约数
（方法二）因为
1222222
(4)(2)8
6m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+
为数列{}n a 中的项， 故
m+2
8 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即
经检验，符合题意的正整数只有2m =。

25（2009江苏卷）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,
,a b n ∈（a 和b 可以相等）
；对于随机选取的{},1,2,
,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数
根的概率。

（1）求2n T 和2n P ；
（2）求证：对任意正整数n ≥2
，有1n P >-
. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分10分。

26.（2009山东卷理)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，
均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；
（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +
∈
，不等式
1212111
·······n n
b b b b b b +++> 解:因为对任意的n N +
∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2
n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以
1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则
1212n n b n b n
++=,所以1212111
35721
·······2462n
n b b b n b b b n
++++=⋅⋅
下面用数学归纳法证明不等式
1212111
35721
(246)
2n n b b b n b b b
n
++++=⋅⋅>
. ① 当1n =时,左边=
32,右边
因为3
2
>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即
1212111
35721
(246)
2k k b b b k b b b k ++++=⋅⋅>.则当1n k =+时,左边=
1121211111
3572123
···
(246)
222
k k k
k b b b b k
k b b b b
k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅
⋅
+ 2322k k +>=+所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.（2009广东卷理）知曲线2
2
:20(1,2,
)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n
C
引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2
）证明：13521n n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅
⋅<
. 解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立0222=+-y nx x 得
0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2
222=+--=∆n n n k k n k ，∴
1
2+=
n n k n （1
2+-
n n 舍去）
2
2
22
2
)1(1+=+=n n k k x n n n
，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n （2）证明：∵
1
21
1
11111+=++
+-
=+-n n n n n
x x n
n 1
21
12125331212432112531+=
+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯<-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n n x x x x n ∴n
n
n x x x x x x +-<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531
由于
n
n n n
x x n y x +-=
+=11121
，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f c os 21)('-=，令0)('=x f ，得2
2cos =
x ，给定区间)4,0(π，则有0)('
<x f ，则函数)(x f 在)4,0(π上单
调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<
在)4,0(π
恒成立，又4
311210π
<≤+<
n ，
则有
121
sin 2121+<+n n ，即n
n n n y x x x sin 211<+-.
28.（2009安徽卷理）首项为正数的数列{}n a 满足2
11(3),.4
n n a a n N ++=
+∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数；
（II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围.
解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。

本小题满分13分。

解：（I ）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，
则由递推关系得213
(1)14
k k a a m m ++==-+是奇数。

根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数。

（II ）（方法一）由11
(1)(3)4
n n n n a a a a +-=
--知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >。

另一方面，若01,k a <<则113014k a ++<<=；若3k a >，则2133
3.4
k a ++>= 根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<<⇔<<∀∈>⇔>∀∈ 综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。

（方法二）由21213
,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >。

22111133()()
,444
n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-=
因为2113
0,,4
n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号。

根据数学归纳法，n N +∀∈，1n n a a +-与21a a -同号。

因此，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。

29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{}n a ，12,a a a b ==，且对满足m n p q +=+的
正整数,,,m n p q 都有.(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=++++
（1）当14
,25
a b =
=时，求通项;n a （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有
1
.n a λλ
≤≤
解：（1）由
(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=
++++得 121
121.(1)(1)(1)(1)
n n n n a a a a a a a a --++=++++将1214,25a a ==代入化简得
1121
.2
n n n a a a --+=
+
所以
1
1
111,131n n n n a a a a ----=⋅++ 故数列1{
}1n
n
a a -+为等比数列，从而 11,13
n n n a a -=+即31
.31n n n a -=+
可验证，31
31
n n n a -=+满足题设条件.
(2) 由题设
(1)(1)
m n
m n a a a a +++的值仅与m n +有关,记为,m n b +则
111.(1)(1)(1)(1)
n n
n n n a a a a b a a a a +++=
=++++
考察函数 ()(0)(1)(1)
a x
f x x a x +=
>++,则在定义域上有
1
,
111
()(),12,011a a f x g a a a
a a ⎧>⎪+⎪⎪≥==⎨⎪⎪<<⎪+⎩
故对*
n N ∈， 1()n b g a +≥恒成立. 又 22
2()(1)
n
n n a b g a a =
≥+, 注意到1
0()2
g a <≤
,解上式得
n
a
=≤≤
取λ=,即有
1
.
n
aλ
λ
≤≤.
30. (2009湖北卷理)已知数列{}n a的前n项和1
1
()2
2
n
n n
S a-
=--+（n为正整数）。

（Ⅰ）令2n
n n
b a
=，求证数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；
(Ⅱ）令
1
n n
n
c a
n
+
=，
12
........
n n
T c c c
=+++试比较
n
T与
5
21
n
n+
的大小，并予以证明。

解（I）在1
1
()2
2
n
n n
S a-
=--+中，令n=1，可得
11
12
n
S a a
=--+=，即
1
1
2
a=
当2
n≥时，21
1111
11
()2()
22
n n
n n n n n n n
S a a S S a a
--
----
=--+∴=-=-++
，，
11
n11
1
2a(),21
2
n n
n n n
a a a
--
--
∴=+=+
n
即2.
11
2,1,n21
n
n n n n n
b a b b b
--
=∴=+≥-=
n
即当时，b.
又
11
21,
b a
==∴数列}
{n b是首项和公差均为1的等差数列.
于是1(1)12,
2
n
n n n n
n
b n n a a
=+-⋅==∴=.
(II)由（I）得
11
(1)()
2
n
n n
n
c a n
n
+
==+，所以
23
1111
23()4()(1)()
2222
n
n
T n
=⨯+⨯+⨯+++
K
2341
11111
2()3()4()(1)()
22222
n
n
T n+
=⨯+⨯+⨯+++
K
由①-②得231
11111
1()()()(1)()
22222
n n
n
T n+
=++++-+
K
1
1
1
11
[1()]133
42
1(1)()
1222
1
2
3
3
2
n
n
n
n n
n
n
n
T
-
+
+
-+
=+-+=-
-
+
∴=-
535(3)(221)
3
212212(21)
n
n n n
n n n n n
T
n n n
++--
-=--=
+++
于是确定
5
21
n
n
T
n+
与的大小关系等价于比较221
n n+
与的大小
由2345
2211;2221;2231;2241;225;
<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+<⨯K。