概率统计随堂测试-B参考答案

《概率论与数理统计》随堂测验B 参考答案
一、(3分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
1()02,0(,)80
x y x y f x y ⎧2+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 求方差D(X-Y)及相关系数ρXY ，并判断X 与Y 是否不相关性？说明理由。

【解】222
00
011E(X)(,)()2(1)88xf x y dxdy xdx x y dy x x dx +∞+∞-∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰⎰76=， 由x 与y 的对称性，知E(Y)=7/6， 222
00
011E(XY)(,)()(288xyf x y dxdy xdx y x y dy x x dx +∞+∞-∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰⎰8433= 2222222000115E(X )(,)()2(1)E(Y )883x f x y dxdy x dx x y dy x x dx +∞+∞-∞-∞==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰2= D(X)=E(X 2)-(E(X))2=11/36=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/36，
因此 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X, Y)=
2/3, XY 1ρ11
==-。

因ρXY ≠0，所以X 与Y 不是不相关（相关）。

二、(2分) 某学校有学生900人，每人到机房上机的概率为10%，
试用中心极限定理求机房至少需配备多少台电脑，才能以95%以上的概率保证学生使用。

(参考数据：标准正态分布函数值 (0.95)0.8289, (1.645)
0.95, (1.96)0.975Φ=Φ=Φ=) 【解】设X 表示900学生中同时上机的人数，由题设 X~b(900, 0.1)，设 n 表示满足题设要求 的需配备的最少的电脑数，依题意，n 应满足 P{X ≤n}>0.95，
由中心极限定理，
N(0,1)~
，
0.95<≤90()9n -≈Φ 查表得，且(1.645)0.95Φ=()x Φ单调增加，故
90 1.6459
n ->，n>104.805， 因此该校机房至少需配备105台电脑，才能以95%以上的概率保证学生使用。

三、(2分)设X 1, X 2, …, X n (n>2)为来自总体N(0, 1)的简单随机样本，X 与S 2为样本均值和样本方差，试确定212223(n-1)X X X ++X n
+ 2)所服从的分布。

(要求指明具体参数) 【解】因为X 1, X 2, …, X n 是来自N(0, 1)的简单随机样本，所以X 1, X 2, …, X n 相互独立，且
221X ~χ(1)，2
22223n X +X ++X ~χ(1n - ，
又相互独立，所以
222123X X +X ++X 与2n 2122223X 1~F(1,1)X X ++X 1n n n -+- ，即 2122223(n-1)X ~F(1,1)X X ++X n
n -+ 。

四、(3分)设总体X 的分布律
X
1 2 3 P θ2 2θ(1-θ) (1-θ)2
其中θ(0<θ<1)为未知参数，已知取得了样本值x 1=1, x 2=2, x 3=1．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．
【解】(1)22()22(1)3(1)32E X θθθθ=+⨯-+⨯-=-θ，解得1(3())2
E X θ=-， 以X 代替E(X)，于是得θ的矩估计量为1ˆ(3)2X θ
=-，θ的矩估计值为 1ˆ(3)2x θ=-，代入1311()(121)33t x x x x 43
=++=++=， 故θ的矩估计值为65ˆ=θ。

(2)由给定的样本值，得似然函数为
3
1231{}{1}{2}{i i i L P X x P X P X P X ======∏1}=2252(1)2(1),θθθθθθ=⋅-⋅=-
)1(1ln 52ln ln θθ-++=n L ，令
,0115ln =--=θθθL d d 得θ的最大似然估计值为6
5ˆ=θ。