天津市六校静海一中、杨村一中、宝坻一中等2018届高三上学期期末联考数学文试题 含答案 精品

第（4）题
2017～2018学年度第一学期期末六校联考
高三数学（文）试卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再填涂。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目的要求．
（1）若集合{}{}
22,R ,230,R x A y y x B x x x x ==∈=-->∈，那么R A B （）ð=（ ）.
（A ）(]3,0 （B ）[]3,1- （C ）()+∞,3
（D ）()()0,13,-+∞
（2）已知:12p x +>，:(0)q x a a >≥，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范
围是（ ）．
（A ）01a ≤≤ （B ）0a ≤≤3
（C ）1a ≤
（D ）3a ≥
（3）已知实数y x ,满足11y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤，
≤，≥，则目标函数12--=y x z 的最大值为（ ）.
（A ）3- （B ）
2
1
（C ）4
（D ）5
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若
输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）． （A ）64 （B ）73
（C ）512 （D ）585
（5）已知双曲线1:C 12222=-b y a x )0,0(>>b a 和2:C 122
22=-b
x a y )0,0(>>b a 的渐近线
将第一象限三等分，则1C 的离心率为（ ）.
（A ）6或
3
3
2
（B ）2或
3
3
2 （C ）2或3
（D ）6或3
（6）已知函数2()2cos f x x x =-
，则f ,13
(log 2)f ,2(log 3)f 的大小关系是（ ）.
（A ）)2(log 3
1f <)3(log 2f <)2
(2
f
（B ）)2(log 3
1f <)2
(2
f <)3(lo
g 2f
（C ）)3(log 2f <)2(log 3
1f <)2
(2
f
（D ）)2
(2
f <)3(lo
g 2f <)2(log 3
1f
（7）设函数1
()(1)f x ax x a
=+-（其中0a >）在0≤x ≤1的最小值为()g a ，则()g a 的最大值
为（ ）． （A ）a
（B ）
a
1
（C ）2 （D ）1
（8）已知O 是ABC △的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且
5102=+y x )0(≠x ，则ABC △的面积为（ ）.
（A ）24
（B ）
3
（C ）18 （D ）220
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸的相应位置上．
（9）在复平面内，复数
2)21(1i i
i
+++的共轭复数对应的点位于第________象限． （10）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且半径为1．若直线l ：0368=--y x 被圆C 截得
的弦长为3，则圆C 的方程为________________． （11）已知c b a ,,分别是锐角△ABC 的角C B A ,,所对的边，
a =________．
（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r
若该几何体的表面积为1620π+，则r
（13）如图所示，向量，，的终点C B A ,,
在一条直线上，且CB AC 3-=，设a OA =，
b OB =，
c OC =，若c ma nb =+
，
则m n -的值等于________．
（14）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有2()()f x f x x -+=，且在
(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
已知函数()()
2ππ()sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，．
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间[6
π
-，
2
π
]上的最大值和最小值．
（16）（本小题满分13分）
为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校C B A ,,的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．
（Ⅰ）求y x ,的值；
（Ⅱ）若从高校C B ,抽取的人中选2人作专题发言，列出选择的所有可能情况，并求这2
人都来自高校C 的概率．
（17）（本小题满分13分）
如图，四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，△PAD 是正三角形，底面
ABCD 是直角梯形，CD AB //，AD CD ⊥，222CD AB AD ===，M 为PC 中点．
（Ⅰ）求证：BM //平面PAD ； （Ⅱ）求证：直线⊥BM 平面PDC ；
（Ⅲ）求直线PD 与平面BDM 所成角的正弦值．
（18）（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和1
12(N*)2n n n S a n -⎛⎫
=--+∈ ⎪
⎝⎭
，数列{}n b 满足n n n a b 2=．
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n c 2
log =，数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+22n n c c 的前n 项和为n T ，求满足25
(N*)21n T n <∈的n 的
最大值．
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 和圆)0(:2222>=+r r y x C ，若圆2C 的直径是椭圆1
C 的焦距长的2倍，且圆2C 的面积为π4，椭圆1C 的离心率为3
6
，过椭圆1C 的上顶点A 有一条斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆的另一个交点是B ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆1C 的右焦点为F ，O
为坐标原点，当OBF OBA S =△△时，求OBA △的面
积．
M
C
B
D
A
P
（20）（本小题满分14分）
已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中m ，R ∈n ，
0<m ，
（Ⅰ）求m 与n 的关系式； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3
m ，
求m 的取值范围.
2017～2018学年度第一学期期末六校联考
高三数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． （1）A. 提示：{}{}
13,0-<>=>=x x x B y y A 或 （2）A ．提示：,:,31:a x a x q x x p -<>-<>或或
:31,:p x q a x a ∴⌝-⌝-≤≤≤≤，由已知得 1.a a -⎧⎨
⎩
≥-3,
≤1a ∴≤． 又∵0a ≥，∴01a ≤≤．
（3）C. 提示： ⎩
⎨⎧-==+11
y y x 相交于点)1,2(-A
∴41122=-+⨯=y ．
（4）B. 提示： 1,1;2,9;4,7350x S x S x S ======>． （5）B ．提示：双曲线1C 的一条渐近线倾斜角为
30或
60，
333或=∴
a b ,23
32或=∴e . （6）A ．提示：()2
2cos f x x x =- 是偶函数，()22sin f x x x '=+在)2,0(π上恒大于零，
所以()2
2cos f x x x =-在)2,0(π单调递增.
∵13333
(log 2)(log 2)(log 2),0log 21f f f =-=<<，21log 32<<
，22,π<<
∴)2(log 3
1f <)3(log 2f <)2(2f .
（7）D ．提示：11
()f x a x a a
=-+（），
当01a <<时，1
0a a
-<，()f x 递减，在[0，1]上的最小值为f （1）＝a ； 当a ＝1时，1
0a a
-=，()1f x =； 当a ＞1时，10a a
-
>，()f x 递增，在[0，1]上的最小值为1
(0)(1)f a a =>．
因此 (1)(01),()1
(1),1
(0)(1),
f a a
g a a f a a ⎧
⎪=<<⎪
==⎨⎪⎪=>⎩
()g a 的最大值为1.
（8）D ．提示：取AC 中点D ，因为O 是ABC △的外心，则AC DO ⊥.
50105,=⨯==⋅+⋅=⋅∴+=AC DO AC AD AC AO DO AD AO .
又AC y AB x AO +=，
=⋅∴y x ⋅+)(=x +⋅=60cos 10050x A y +=．
即6cos 105A x y ⋅+=．又5102=+y x ，
32
2sin ,31cos ,2cos 6=
∴==∴A A x A x ． 2203
2
210621=⨯⨯⨯=
∴S ． 二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． （9）三 提示：i z i z 2
9
25,2925--=+-
=． （10）1)1(22=+-y x ． 提示：设圆心)0)(0,(>a a C ，
圆心到直线距离1038-=
a d ，由勾股定理得等式1)2
3
()1038(22=+-a ． 解得（舍）或4
1
1-==a a ， 所以圆的方程为1)1(2
2=+-y x ．
（11．提示：由已知得sin()sin()4sin cos A B B A
A A ++-=，又cos 0A >， sin 2sin
B A ∴=．由正弦定理，得2b a =．
=
． （12）2．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，其表面积
ππππ201622
2222S 22+=+⋅+
⋅+=r r
r r r r ，得到2=r ． （13）－2． 提示：由CB AC 3-=，有33()O C O A A C O A C B O A C O O B
=+=-=-+
， 即33OC OA OC OB =+- ．于是1322OC OA OB =-+
， 2
321+-=，
所以1
3
222
m n -=--
=-． （14）1a ≤． 提示：令()22
()(),()().22
x x g x f x g x f x -=--=--
得到0)()(=-+x g x g ，)(x g ∴为奇函数．
又∵在(0,)+∞上()()0g x f x x ''=->，),0()(+∞∴在x g 单调递增．
而由奇函数性质得到()R g x 在上单调递增. 已知(2)()22f a f a a ---≥，且
22(2)2222a a a --=-，有22
(2)(2)()22
a a f a f a ----≥，即(2)()0g a g a --≥． ∴ 2a a -≥ ．解得1a ≤．
三、解答题：本大题6小题，满分80分． （15）本题满分13分．
解：(Ⅰ) ()
2221()sin 2sin cos f x x x x x =+-1cos212cos2x x x
-=+-
1s i n 2
c o s 22x x =-+＝()
π12s i n 262
x -+． …………………5分 所以()f x 的最小正周期为π. …………………7分
（Ⅱ）因为π-6≤x ≤π2，所以π2
-≤π26x -≤5π
6. ………………9分 于是，当ππ262x -=-，即π6
x =-时，()f x 取得最小值3
2-； ……………11分
当ππ262
x -=，即π
3x =时，()f x 取得最大值25. ……………13分
（16）本题满分13分． 解：（Ⅰ）由题意
54
36218y
x ==， 所以3,1==y x ． ……………………4分 （Ⅱ）记从高校B 抽取的2人为21,b b ，从高校C 抽取的3人为321,,c c c ，则高校C B ,抽
取的5人中选取2人作专题发言的基本事件有：
（21,b b ），（11,c b ），（21,c b ），（31,c b ），（12,c b ），（22,c b ），（32,c b ）， （21,c c ），（31,c c ），（32,c c ）共10种． …………………………9分 设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，
则X 包含的基本事件有3个（21,c c ），（31,c c ）（32,c c ）．
10
3
)(=
∴X P ． ……………………………………13分 （17）本题满分13分．
证明：（I ）取PD 中点N ，连接MN ，AN ， 因为M 为PC 中点， 所以CD MN //，且CD MN 2
1
=． …………1分 又CD AB //，且CD AB 2
1
=
， 所以四边形ABMN 是平行四边形，
有AN MB //． ……………………3分 因为⊄MB 平面PAD ，⊂AN 平面PAD ，所以BM //平面PAD ． ………4分 （II ）因为平面PAD ⊥平面ABDC ，且平面PAD ⋂平面ABDC =AD ，
CD ⊥AD ，所以⊥CD 平面PAD ． ……………………5分
因为⊂AN 平面PAD ，所CD AN ⊥． ……………………6分 因为侧面PAD 是正三角形，PD 中点为N ，所以PD AN ⊥． ………7分 又PD CD D = ，所以AN ⊥平面PDC ． ……………8分 因为AN MB //，所以⊥MB 平面PDC ． ……………………9分 解：（Ⅲ）过P 作PE DM ⊥于E ，
因为⊥MB 平面PDC ，⊂MB 平面BDM 所以平面BDM ⊥平面PDC ． 又平面BDM I 平面PDC =DM ，
所以PE ⊥平面BDM ．（或直接由线面垂直判定定理得） …………10分 所以DE 是PD 在平面BDM 内的射影，
即PDE ∠为直线PD 与平面BDM 所成角． ……11分
Rt PDC △中，12DM PM PC ==
=，
又25
PDC PDM S S PE DM DM ∆∆=
==
， …………………12分 所以Rt PDE △
中，sin 5
PE PDE PD ∠=
=
． 所以直线PD 与平面PBC
……13分 （18）本题满分13分．
解：（Ⅰ）在11
()22n n n S a -=--+中，令1n =，可得11112a S a ==--+，112
a =
． 当2n ≥时，2111()22
n n n S a ---=--+， 所以 1111()2
n n n n n n a S S a a ---=-=-++．即
11111
2+(),2212
n n n n n n n a a a a ----==+．
而 2n n n b a =，∴11n n b b -=+．
即当2n ≥，11n n b b --=，又1121b a ==，
所以，数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列． ………4分 于是1(1)1n b n n =+-⨯=，所以2
n n n
a =
． ……6分 （Ⅱ）因为2
2log log 2n n n
n
c n a ===， 所以
22211
(2)2
n n c c n n n n +==-⋅++． ……………………………8分 111111111111
(1)()()()()132435112212
n T n n n n n n =-+-+-++-+-=+---++++ ．
…………………10分
由2521n T <
，得11125121221n n +--<++，即1113
1242
n n +>++．
又11
()12
f n n n =+++关于n 单调递减，111313(4),(5)304242f f =>=， ∴n 的最大值为4． ……………………………………13分
（19）本题满分14分．
解：（Ⅰ）ππ42=r ，0>r ，2=∴r ． ……………………………………1分
∵22r c
，∴c = ……………………………………2分
3
6=e ，222c b a =+，3=∴a ，1=b ． ∴椭圆方程为13
22
=+y x ． ……………………4分 （Ⅱ）设),(11y x B ，直线l ：1+=kx y ， ……………………………………………5分 由联立方程组221,13
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得06)13(22=++kx x k ． ……7分 1
3621+-=∴k k x ，211231131k y kx k -+=+=+． ………………………9分 x k
k y l OB 613:2-=∴． 设点A 到直线OB l 的距离为1d ，点F 到直线OB l 的距离为2d ，则
O BA O BF S S ∆∆=32 ，∴1232d d =．
有 222)613(1|2613|32k
k k k -+-=22)613(11k k -+， ……………………11分 02151824=+-∴k k ．解得223k =或6
12=k ． 36,0=∴>k k 或6
6=k ，……………………………………12分 此时均有OBA S ∆= 3
6．……………………………………………………………14分 （20）本题满分14分．
解：（Ⅰ）2()36(1)f x mx m x n '=-++．
因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=．
即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+． ………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡
⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
． 由于0m <时，有211
>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：
故由上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝⎭
单调递减，在2(1,1)m +单调递增， 在(1,)+∞上单调递减. ………………………8分 （Ⅲ） []1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，
∴()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>.
又 0m <，∴222(1)0x m x m m -
++<. …………………10分 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象是开口向上的抛物线， ∴22(1)0120(1)010g m m g ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩
解得34->m . 又 0m <， ∴ 403m -<<，即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………14分。