江苏省通州区兴仁中学高二上学期期中考试(数学)

江苏省通州区兴仁中学高二上学期期中考试（数学）
本试卷满分：160分 考试时间：1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题纸上. 1．平行线x+3y-4=0和2x+6y-9=0的距离为__
20
10
________. 2. 棱长为a 的正方体的外接球的表面积是__32
a π_______ 3. 设
b a ，为两条直线, βα，为两个平面,给出下列命题: (1)若,,a b a b αα⊥⊥//则 (2)若,,a b a b αα////则// (3)若,,a b b a αα⊥⊥则// (4)若,,a a αβαβ⊥⊥则// 其中正确命题的个数是___2个______.
4. 已知点P （x ，y ）在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，OP 的最小值为__22_______.
5.如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中''A O =6, ''C O =2,则原图形的面积为_242_________.
（第5题图） （第10题图） 6. 求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'
A 的坐标_)5
4
,513(-
_____________. 7.
，它的侧棱与底面所成角为
60，则正四棱锥的体积为
_____
3
_____. 8. 三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是____-1______.
9. 直线l 被两条直线1l :4x+y+3=0和2l :3x─5y ─5=0截得的线段中点为P (─1,2),则直线l 的方程为____3x+y+1=0______________.
10. 将正方体的纸盒展开如图，直线AB 、CD 在原正方体中所成的角为__
60______.
11. 直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a,b,c 的符号分别是_______ a<0,b<0,c>0_或a>0,b>0,c<0________(与0比较)。

12. 给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题：
’
①,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；
②l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；
④若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα// 其中真命题个数是_____3个____.
13. 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 02=--y x
14. 已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x －y －2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x +y －1=0，则直线l 的方程是____ x －2y －3=0________.
二、解答题：本大题共6小题, 共90分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中, 的中点和分别为BC C A F E 11, (1)求证: 11EF AA B B //平面 (2)
若13AA AB EF ABC ==，与平面的角
证明：(1)取11A B 的中点Ｄ，连结ＤＥ、ＢＤ
11
1
11111
11//E A C C BC C BF BC
BF
BDEF BD EF
AA B B EF AA B B EF AA B B
∴=∴∴⊂⊄∴111
是的中点DE//B 21
又//B ，2
DE//则四边形为平行四边形
又BD 平面，平面//平面
A
B
C A 1
B 1
C 1
E F
（２）取ＡＣ的中点Ｈ，连结ＨＦ
111//360EH AA AA ABC
EH ABC EFH EF ABC AA EFH ⊥∴⊥∠=∴∠=︒
︒
，平面平面，就是与平面所成的角在直角三角形EHF 中，EH=故EF 与平面ABC 所成的角为60
16. （本小题满分15分） 已知两条直线1l :x+(m-1)y+1=0, 2l :(m-1)x+(m+1)y+2=0，当m 为何值时, 1l 与2l
（1）平行；（2）垂直；（3）相交？ 解:
（1）因为1l 与2l 平行，
所以，⎩⎨⎧≠--=--+0
)1(20)1(12m m m
解得，ｍ＝０
（2）因为1l 与2l 垂直， 所以，m-1+(m-1)(m+1)=0 解得，ｍ＝1或-2 (3) 因为1l 与2l 相交，
所以，m+1-2
)1(-m ≠0,
所以，.30≠≠m m 且
17. 解答下列各题：（本小题满分16分）
（1）直线l 经过点（3，2），且倾斜角与直线x y =的倾斜角互补，求直线l 的方程．（5分） （2）直线l 经过点（3，2），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．（6分） （3）直线l 的方程为(
)
0123522
=--+--m my x m m ，它在x 轴上的截距为
2
1
，求m 的值．（5分） 解：（1）直线l 的方程为：05=-+y x （2）设直线l 的方程为
)0,0(1≠≠=+b a b
y
a x ， 则⎪⎩
⎪⎨⎧==+b
a b a 1
2
3 ，解得⎩⎨
⎧-==⎩⎨⎧==1155b a b a 或 ，
所以，直线l 的方程为：
,11
1155=-+=+y x y x 或 即x+y-5=0或x-y-1=0
（3）5=m
18.（本小题满分14分） 如图, 的直径，是圆O AB 上的点，是圆O C 所在平面，垂直于圆O PA PB AE ⊥于，
E F PC AF 于⊥ 求证:(1) AF BC ⊥ (2) PAB AEF 平面平面⊥ (3) 2=AB , 2=BC , 6=PB ,求三棱锥ABC P -的
全面
积
证明：(1)
PA ABC BC ABC
PA BC
⊥⊂∴⊥平面，平面
AB O AC BC
∴⊥又是圆的直径
AC PA PAC A 又，在平面中交于
BC PAC
AF PAC BC AF
∴⊥⊂∴⊥平面又平面
(2)由BC AF ⊥，AF PC ⊥，ＢＣ，ＰＣ在平面ＰＢＣ中交于Ｃ AF PBC ∴⊥平面 又PB PBC ⊂平面
AF PB
AE PB AF AE AEF A
PB AEF
PB AEF
∴⊥⊥∴⊥⊂∴⊥又，，在平面中交于平面又平面PAB 平面PAB 平面
（3）222+
19.（本小题满分15分） 已知△ABC 的AB 边上的高线所在直线的方程为2x －3y +1=0和AC 边上的高线所在的直线方程为x +y =0，顶点A （1，2），求： （1）BC 边所在直线的方程；（8分）（2）△ABC 的面积.（7分）
解：（1）AB 、AC 边所在直线方程为3x +2y －7=0，x －y +1=0. ∴C （－2，－1）、B （7，－7）. ∴边BC 所在直线方程是2x +3y
+7=0.
P
B
（2）∵｜BC ｜＝117=313，点A 到边BC 的高为h ＝
13
15，从而△ABC 的面积是
21
×313×13
15＝
2
45
． 本小题满分16分） 已知实数a 满足0<a <2，直线l 1：ax －2y －2a +4=0和l 2：2x +a 2
y －2a 2
－4=0与两坐标
轴围成一个四边形。

(1)求证：无论实数a 如何变化，直线l 2必过定点.（5分） (2)画出直线l 1和l 2在平面坐标系上的大致位置.（5分） (3)求实数a 取何值时，所围成的四边形面积最小？（6分） (1)证明：由l 1：ax －2y －2a +4=0变形得a(x-2)-2y+4=0 所以，当x=2时，y=2 即直l 1过定点(2,2)
由l 2：2x +a 2y －2a 2－4=0变形得a 2
(y －2)+ 2x －4=0 所以当y=2时，
即直线l 2过定点(2,2) (2)
(3)直线l 1与y 轴交点为A(0,2-a )，直线l 2与
x 轴交点为B(a 2
+2,0)，如下图 由直线l 1：ax －2y －2a +4=0知，直线l 1也过定点C(2,2) 过C 点作x 轴垂线，垂足为D ，于是 S 四边形AOBC =S 梯形AODC +S △BCD
=22
12)22(212
⋅+⋅+-a a
=42
+-a a
∴当a =21
时，S 四过形AOBC 最小.
故当a =2
1
时，所围成的四边形面积最小。