同济五版线性代数习题答案第二章矩阵及其运算.doc

解(
X] x 2
x 3
)
第二章 矩阵及其运算（参考答案）（习题二心76）
p 54 1.计算下列乘积:
<4 3 r
<7
、
⑴ 1 -2 3 2
q
7
<b
<4 3 r [
'4x7 + 3x24-1x1、
15、 解
1 -2
3 2 — lx7 + (—2)x2 + 3xl — 6 q 7
0 /
、5x74-7x2 + 0x1 \ z <49;
3
⑵(1,2,3) 2 .
，3、
解(1 2 3) 2 =(lx3 + 2x2 + 3xl) = (10).
J;
<2
-1
（5）3],易,工3）a \2
<2
‘2x(-1)
2x2
、 "-2 4、
解
1 (T 2)=
1x(-1)
1x2 -1 2
X /
<3x(-1) 3x2
)
厂
3
⑶ 1 (-1,2).
3
1 1 \
'1 3 1
、
"2 1 4 0、 0 -1 2
(6 -7 8、 J T 3 4,
1 -3 1
_〔20 -5 —6,
.4 0 一
2
4
0 解
\
-2J。

a \2
>i = -3Z] + z 2
'力=2Z|+Z3
y 3=-z 2-k3z 3
=(%/] + a ]2x 2 + a ]3x 3 a l2x } + a^x 2 + a 13x 3 a u x } + a-,3x 2 + 6t 33x 3) x =a u x[ + a 22x^ + %3工；+ 2a l2x }x 2 + 2a l3x }x 3 + 2a 23x 2x 3。

2 1 0、
<10 3 1
0 10 1
0 12-1
(6)
.
0 0 2 1
0 0-23
^0 0 0 3, ^0 0 0 —3,
<12 10、 Q 0 3
1
<1 2 5 2
0 10 1
0 12-1
0 12-4
解
0 0 2 1 0 0-23 0 0-43
^0 0 0 3, 、0 0 0 一3/
,0 0 0 -9；
q i i)
'1 2 3、
fl 1 1
解 3AB — 2A=3 i i -i
-1 -2 4 -2 1 1 -1 J t •>
、0
5 1,
J -1 b
5 8、
<1 1 q
r
-2 13 22
、 0 -5 6 -2 1 1 -i -2 -17 20
<
2
9 0；
<1
-1
<4
29 -2>
求从Z], Z2, Z 3到X p X 2, W 的线性变换.
<1 1
1、
< 1 2 3、
乌2.设A = 1 1
-1 ,B =
-1 -2 4
<1 "I
<o 5 L
求 3 AB —2 A 及
NB.
<1 1 1) '1 2 3
、
<0 5 8
、 A 『B = 1 1 -1 -1 -2 4
0 -5 6
J -1 •> p 0 5 1)
<2 9 o >
P 54 3.已知两个线性变换
而=2一+为
< 邑=一2乂+3），2+2为 石=4名
+力+5为
/
、
< 2 0 1
) 3、
< 2 0 1) '-3 1 oy J
-2 3 2
-2 3 2 2 0 i
<4 1 5>
*
4 \ 1 5, /
-1 3^ 由己
/ 、
22
k Z 3>
所以有
2
、 3>
8> AB 主 BA
(2) (A + B)2
2、 "2 2、 r 8 1
4 5, 2 5
14
29 / \ /
\ <3 8、 %
8
、 / + + <4
<8 12
\
‘10 16、
J5 27,
<2 (A + B)(A —B)=
2V0
5人。

2）伐
J'
6) %
A 2-
B 2
"4
8) f 1
Ilf
0) (2
JI
8
、
7,
'-6 1 =12 -4 "10 -1
x { =-6z 1 + z 2
+3Z 3
< x 2 = I2z l
-4Z 2 +9Z 3 x 3 =-10z, -z 2 +I6Z3
(\ P S4 4.设4 = (1) AB = BA 吗？
(\ 0)、
B =
, I 可:
"1 2)
故(A + B)2 / A 2 + 2AB + B 2
故
(A + B)(A — B)W 人2 —身
P 54 5.举反列说明下列命题是错误的：
(1 )若疽=0，则 A = 0 ;
(2 )若 A 2 = A ，则 A = 0 或 A = E ; (3 )若 AX = AY ，且 ArO ，则 X = Y .
<0 1、
解⑴取4=
人2=0但A。

lo oj
(\ 1、
(2) 取4=
A 2 = A ，但 A^O 且0/E
(2) (A + 8)2 =疽 + 2AB + B 2
吗? (3) (A + B)(A — B) = A 2
-B 2
解 ⑴人二 则AB
\
\ 3 O' 4, r 2 <2
lo oj
r i 0) ( i ⑶取人= ,x=
lo oj
j
A 0
1
、
L
(0 1
、
b
A 2
IJU
°)」1
J =〔24
0) oYi o) (i
"2/1
、
b
利用数学归纳法证明:
A*
1 0、 A 1 ，求 A 〃.
1 01 Es 6.设4二。

，求 A2,A 3,...,A \
当A = 1时，显然成立，假设k 时成立，则化+1时
心心」1叩°)」1
°)
S JU J 〔伙+1以 \) 」1 0)
由数学归纳法原理知：A*=。

W 1J
物 以〃 T 〃(〃-1"一2、
2
由此推测 A 〃= 0 万 nA"'1
(/?>2)
1 0、
1 0、
3 22 1、 A 2 =0 2 1 0 A 1
— 0 2A 、0 0 刃
<0 0 A ;
0 0 A 2 / 3
A 2 3/T
A 3 = 2 0 A 3
3A 2
0 0 A 3
P 55 7.设人=0 0 解
首先观察
/
<1
用数学归纳法证明：
当n = 2时，显然成立.
假设n = k时成立，则n = k +1时,
2
、
5>
|A| = 1
A*
A.
Uz
故 A
-1
A?2 > f
5 \-
2
(5 -V \-2 1 ? -2、
1 >
A -1 = -p-r A"。

+ 1)吐1 A k+]
(k + l)k -
2- (A + 1)#T
P 55 8.设A,B 为〃阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B 「AB 也是对称矩阵.
证明 已知：A 7' = A
贝 Ij
(B T AB)T = B T (B T A)T = B T A T B = B T AB
从而
B T AB 也是对称矩阵.
P 55 9.设A,B 都是〃阶对称矩阵，证明A8是对称矩阵的充分必要条件是AB = BA.
证明 由已知 A 『 = A B T
=B
充分性 AB = BA^ AB = B 1 A 1 AB = (AB)1
,即AB 是对称矩阵.
必要性 (AB)，= AB n B 1
A 1
= AB BA = AB.
10 .求下列矩阵的逆矩阵:
《1 2、
<2 5, q
<2 九=5,心
=2x(-1), & = 2x(-1), A 22= 1
"cos 。

一sin9、 qin 。

cos 。

/
解 W = l/0, 故A 」'存在
S'—'
k 〈k-V) ,_2
A*】 =A*・A =
2
A k
°) 1
由数学归纳法原理知:
A 〃 =
〃(〃一1) i
2
nA n ~}
〃
从而
y%! =sin。

& =—sin。

A
〈cos 。

sin。

、 。

2
4 -4
3 、5 |A| 二 2, & =-
4 A” = —13 %=—32 -2 . 故妃存在
Aj =2 人22 = 6 &/14 < -2
_13 "T ' i-16 ' \
A -1
=
=
W
/
a 2
a
n)
由对角矩阵的性质
11.解下列矩阵方程:
1 3J <4 <2
V "2
-6 ‘2 1 X 2 1 J T
Ai =0
右2 =T 心=-2
0 ) ~2
（叩2。

°）
A -1
—6) (3 2八2 3
1 J
"4 a
\ 1
-5Y4 3
、
2
a
n)
一6、
<2
(0
-23、
(1 4、 -1 <3 1、 （2 0、 -1 _ 1 <2 -4、 1 1、 Q 0、 、T >) <0 -b 、T b
~n <1 1> 、0 -1； J 2,
1
12
0 1 0>
r
l 0 0> <1 -4 3、 ⑷
1 0 0
X 0 0 1 2 0 -1
<o o
h 1 o>
J -2 0 ; \ /
0 1 0、 q -4 3、 q o o>
/
1 0 0
2 0-1
0 0 1
、0 0 1,
、1 -2 0,
<0 1 0；
\
x 1-x 2-x 3 =2
(2) < 2工］一易 一 3易=1 工］+ 2X -5X
Xj + 2X 2 + = 1
2x l + 2X 2 + 5易=2
—3x, + 5X 2 + V = 3
<1 2 3 x,
解（1）方程组可表示为 2 2 5
—— 2 5
\ b
/ 、 <1 2 3、 -1 <
1
故
—
2 2 5 2 0
<3 5 1；
x \ =
1
从而有
《易=0
工3 =°
X] — X )— X3 = 2
2x )— Xj — 3工3 = 1 3Xj + 2X 2-5X 3 =0
q -1 /
、
解(2)方程组可表示为
2 -1 -3
X 、
Av ——
1
7 -1 3、
♦ 1 -1、
-1
_
-1 3、
(1 0 1、
<-2 2
1x
2 1 0
—
-2 3 -2
— 8 2 <4 3 2,
3 4 3 2,
--5——
\ / J -1 1>
\ /
「3 3 0 ；
< 3
解
c 1 4、 X ，2 0>
<3 1、
<-1 2,
<-1 1 <o -⑶
<0 1 0、 -I <1 -4 3、 fl 0 0、 x =
1 0 0
2 0 -1 0 0 1
<0 0 1; <1 -2 o> <0 1 0> 解
X
(6 <3
6V1
1 0、
2>
°八
1 2 1 1
P 55 12.利用逆矩阵解下列线性方程组: -1 3。

2 -5, 1*3 )<
*fl -1 -
1、
十2)
故尤
2—
—
2 -1 -
3 1 0
<3 2 -5；°<
3
— 5
故有* x2 =0
W = 3
'而=2一+2一 + 为
P5513.已知线性变换＜x2=3凹+力+5为求从变量尤1，工2,尤3到变量乂必见的线性变
换• 工3=3乂+2力+3为
/ 、◎ 2 1、
解由已知尤 3 1 5
<3 2 3,
Z \
(2 2 1
、-
1
/
、
<-7 -4 9、
*
故 3 1 5 工
2— 6 3 -7 x2
6 <
3 2 3
>
<3 2 -4>
y x =-7%j -4X2+9X3
< y2 = 6工]+3X2-7X3y3 = 3x, + 2X2-4X3
P55 14.设A为三阶矩阵，|A| = g，求|(2A)T—5A*.
解由|A| 二；。

0可知A可逆，所以有
=\A\A~[ =^A~[, (2人尸=!曰，
・・.(2 A)-1 - 5 A* = - A-1 - - A-1 = -2 A-1. 2 2
故|(2A)T -5A] = |-2|=(-2)3|A-I|=-23«2=-16.
‘ 0 3 3、
& 15.设A= 1 1 0 ,AB = A + 2B，求B.
l-l 2 3J
解由AB = A + 2B可得(A-2E)B = A
'-2 3 3、-
1
“ 0 3 3、 F 3 3、
故B = (A-2EY]A = 1 -1 0 1 1 0 -12 3
厂1 2 2 3；(110,
0 1
P56 16.设A= 0 2 0,且AB + £ = A2 + B,求B.
J 0 b
解由A B + E = A? + B可知，
(A-E)B = A2-E = (A-E)( A + E)
q 0 1、'1 0 0、。

o r
而A-E =0 2 0 0 1 0 —0 10,
<i o i> <0 0 b 」。

o>
0 0 1 A-E\=0 1 0 =-1^0 1 0 0
‘2 o r
/. A-E可逆，故B = (A-E)_,(A-E)(A + E) = A4-E= 0 3 0
Il。

2,
& 17.设A = diag(l,-29l)f A BA = 2BA-8E f求B.
解用A左乘关系式A f BA = 2BA-8E可知，
AA'BA = 2ABA-8A f
用A—】右乘上式可得AA B = 2AB-8E f
而A4*=|A|E, .-.\A\B = 2AB-8E. (V |A|=-2#0)
因而(2A + 2E)8 = 8E,所以(A + E)B = 4E.
而A + E = dicig(l,-2,1) + 力建(1,1,1) = diagQ,-l,2)是可逆矩阵，
且(A + 5)T=mg(：,-l，!)
故B = 4(A + EY{ = diag(2. -4,2).
P56 18.己知矩阵A 的伴随矩阵4=diog(l,l,l,8),且ABA'1 =BA-'+3E,求B. 解先由A*来确定|A|.
由题意知妒存在，有#=|人俱-|,得园=|郁因而A* =8,故|A| 二2.
再化简所给矩阵方程ABA'1 = BA'1 -i-3E => (A-E)BA'l=3E => (A-E)B = 3A => (E-A-,)B =
3E.
由 | A| = 2 ,知AT =吉A* =；如g (1,1,1,8) = diag (以,：,4),
£*-Q =diQg(?，C，-3) •
得(E-A-1)-1 =^g(2,2,2,-|).
J，
于是B = 3(E-AT1 )-1 = 3diag(2,2,2,--) = diag(6.6,6,-1).
1 1 1
= PA 8(5E-6A + A 2)P _,
而 A 8(5E-6A +A 2) = diag (1,1,58)• diag(\2,0,0)=。

诙(12,0,0). 所以
低(A) = PA' (5 E — 6 A + A 2) a 】
(\ 1 1) "12 0 0、 "2 2 2、
<4
4 4
、 1 0
-2 0 0 0 1 r 3 0 -3
4 4 4 J -1
<0 0 0> 0
<1
-2 1> <4 4 4>
P 56 21.设藤=0 (k 为正整数)，证明(E-Af 1
=E + A+A 2
+••• + A
A
-1
.
证明
一方面，E = (E-AY\E-A)
另一方面，由A k
=O 有
E = (£-A) + (A-A 2) + A 2
--------- A*-' + (A”」'-A k
)
= (E+A + A2+..・ + /)(£：-A)
故 (E-A)-\E-A) =(E + A + A2+・・・ + A*T )(E —A) 两端同时右乘(E —同)t
就有(E - A)T = E + A + 妒 + …+ / 另证・.・4*=0
< _ j _4、
P,6 19.设 P —'AP = A ，其中 P 二 56 U 1 J
r-i 、
0、 2> ，求AL
< 1 .1 < 1
p =3 P =
[T b PT =— 3 <-l -b X 解 P']AP = A 故 A = PAP —' 所以 A" =PA ,,P _, 而 A" 1 0、
21
1 r-i
、 n
4
>
1 -4Y-1 0、 3 3 _<2731 2732、
j i Jb 2七 1 1 683 -684,
<~3 ~3
故A"
<0 H 1 1
Jl P 56 20.设 AP=P\f 其中 P = 1 0 -2 ,A = 1
J -1 1 \ /
<
5
(p(A) = A 8(5E-6A + A 2
). 求
・・.(E-A)(E+A + A2+・..+ A*T)
=厅 + /1 + 人2+..・ + /-A-4 ---------- A k~] - A k
= E-A k =E.
于是(E —A/】=E+A+A2+..・+A*T
& 22,设方阵A满足A2-A-2E = O t证明0及A + 2E都可逆，并求人一】及(A + 2E)-1.
证明由A2-A-2E = O得A2 — A = 2E
两端同时取行列式：|A2-A|=2
即|A||A-E| = 2,故 |七0
所以A可逆，而A + 2E = A2
A + 2E| = |A2| = |A|2 ^0 故A + 2E也可逆.
由A1-A-2E = O^A(<A-E) = 2E
=> A-A(A_E) = 2A~l E => A ' = S(A-E)
又由A2-A-2E = O^>(A + 2E)A-3(A + 2E) = -4E
=>(A + 2E)(A-3E) = -4E
.•.(A + 2E)-1(A + 2E)(A - 3E) = —4( A + 2E)~l
/.(A + 2£)-1=-(3E-A)
4
P56 23.设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵也可逆，且(A*)T=(AT)*
证明・.・A可逆,.・.|A|r0且逆矩阵为A\ ・.・A*A = |A|/ .・・A*=|A|A 由于|A*o,妃可逆且(A-,)(A-,)*=|A-,|Z可得(妒)*=寿人另一方面，由
^'(A-i y= AAT l^A = I 由矩阵可逆定义知，A*可逆，且(A*)T=(A—')*
P56 24.设〃阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：
⑴若|A| = 0,则”| = 0;
(2) =
证明由A'A = \A\E,两边取行列式得：=
(1)若|A| = 0,可分为以下两种情况：
1°)若A = 0,则A*=(),因而A* =0,结论成立.
2°)若A壬0,此时必有A* =0,
因若AJ0,,则A*可逆，于是在A：A = \A\E = O两边左乘(4尸, 得A = 0,与A壬0矛盾，即此结论成立.
(2)若|A|^O,S|A*||A|=|A|\则有|A[=|A|"T.
若| A| = 0由⑴知| A j = 0此时命题也成立，
故有A* =|A「q 2 1 o
0 1 0 1
0 0 2 1
< 0 0 0 V.
琮25 .计算0
1
3
2
-2
1、-1 3
则人=
o 、
"0
"| = |刈网| = |那|纣=10】6 p 4 0 次修：o) 0 54
A = ,= O
24 0
2,
其中
(O
27.设〃阶矩阵A 及s 阶矩阵8都可逆，求(1)
(O
O)
分块为
G)
G 为sx 〃矩阵,
C'
为SXS 矩阵
AY 1
0,
(2)
[C B
由此得到＜
<2 0)
C 3为矩阵，C4为〃xs 矩阵
AG = E =>C3 = A -'
AC 4 = O ^C 4 = O (/T 存在)
BC 】=OnC 】=O (3一| 存在) BG = E ，nC2 = B 一'
q 2 1 o 、 '10 3 1 "12 5
2
0 10 1 0 12-1 0 12-4 0 0 2 1 0 0-23
0 0-43 ,0 0 0 3,
「0 0 0 一3/
,0 0 0 -9；
解
(
O R
A"
O J
<A
0、
-1
=X
A -1
-fi-'CA'1
为此，根据原矩阵的分块情况，对X 作一样的分块，x = 其中X]], X 】2，X )], X”是未知
矩阵(为明确起见，它们依次是nxn.nxs.sxn.sxs 矩 阵)，把上式代入(*)式得到
0、 (A 0、
J 、
'叫
碎、
〔
E “
B )
&
X"
〔CXu + 敬
CJ + BXJ
比较上式两端两个矩阵，有
AX“=E〃 n Xu"T
=0 n X l2=0
1乙
1 £
CXf + BX^ = F => BXg = E° n X” = B 1.
CX” +8X21 =0 => BX 2] =-CX }] = -CA']
=> X 2I =-B~'CA-1
, 于是得
P 56 28.求下列矩阵的逆矩阵:
(
A
" °,
B'x 另法
(
于是
(2)
U'1
O)
(1)因A 和B 均可逆, 作分块矩阵
、
A\ 0)
可逆，且
B) 的逆矩阵,
[0 由分块矩阵乘法规则,
=E“+s
矿1)
U'1
就是求〃 + s 阶方阵X,
使得
0)
X = E n+S . (*)
(1)
解
|F|=1 0
-2 =-6^0，所以 F 可逆，则有 A = PAPL 1 -1 1
解(1)将矩阵分块A=
其中而A -1
-2 -2
-3 所以 A =
(2)将矩阵分块A
u.
i -2 0 0 -2 5 0 0 0 0 2 -3 0 0 -5 8 0
、 A?
，其中Ai =
1-5
0 o 、 A
二
8 J 。

o 、 ，4]= <2 1
> ，A 2 =
，3 0、 J 2) J 2
J 4,
7
A-i
1
2； 心'=iLi
、
3
、\
0 ‘4 0、 (2 1、 1 '2 0、
、T 3) U 2； . . 2 、T b
4>
1 < 12
1 p
2 24^3
所以A'1
24 0 0 0 -12 12 0 0 -12 -4 8 0
3
-5 -2 6 1 24 24； J _ 2 £
j_
2
J 6 5 24
12
1 4>
<2 2 2
且p-{=- 3 0-3
6
所以^(A) = A\5£-6A + A2 * * * 6)
二PA'kQFP-' -6FAP-' + PA2P-1)。