苏科版八年级上册 3.1 勾股定理 导学案(无参考解析)

（股）
b
勾股定理
知识点一:勾股定理
1.我国古代把直角三角形中的较短直角边称为“勾”，把较长的直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.“勾三股四弦五”实际上就是勾股定理的具体应用之一.如图①所示：
① ②
2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图②，在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，BC=，AC=，AB=，则有.
a b c 222c b a =+例1：如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 长度的平方为（ ）.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 25
知识点二：勾股定理的验证
1.我国古代数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，证明了勾股定理.这个图形称为“弦图”或“勾股圆方图”.
若设直角三角形的较短直角边长为，较长直角边为，斜边长为，则围成的a b c 大正方形的面积为，四个直角三角形的面积之和为，中间围成的小正方
2c ab 2形的面积为，而，由此得到.
2)(a b -222)(2b a a b ab +=-+222c b a =+2.如图，用四个全等的直角三角形，可得到一个以为边长的小正方形和一个以为c )(b a +边长的大正方形.因为大正方形边长为，所以其面积为.又大正方形还可以)(b a +2)(b a +看成由4个全等的直角边分别为的直角三角形和一个边长为的正方形组成，所以其b a ,c 面积为：
，即：2214c ab +⨯⨯2
222222,2
14)(c ab ab b a c ab b a +=+++⨯=+
所以，其中，为直角三角形的直角边，为斜边.
222c b a =+a b c 例2：如图，以为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角b a ,c 形拼在一起，使A ，E ，B 这三点在一条直线上.请利用这个图形证明勾股定理.
拓展例题
拓展点一：计算求值问题
例1：一个零件形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm ，求CD 的长.
拓展点二：实际应用问题
例2：如图，这是一个底面周长为12m ，高为5m 的圆柱形储油罐，现准备从点A 开始，环绕储油罐建造一架梯子，使其正好到点A 正上方的B 点，那么梯子最短应造多长呢？拓展点三：证明问题
例3：已知直角三角形纸片的两条直角边分别为和，过锐角顶点
m n )(n m <把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）.
A. B.
0222=++n mn m 0222=+-n mn m C. D.0222=-+n mn m 0
222=--n mn m 拓展点四：折叠问题
例4：如图，在长方形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为 .
基础巩固
1.下列说法正确的是（ ）.
A.已知是三角形的三边，则.
c b a ,,222c b a =+B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方.
C.在Rt△ABC 中，∠C=90°，所以.
222c b a =+D.在Rt△ABC 中，∠B=90°，所以.
222c b a =+2.已知直角三角形的两直角边为6和8，那么斜边上的高为（ ）.
A. 6
B. 8
C. 4.8
D. 2.4
3.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）. A. B. C. D.
4.一直角三角形的三边分别为2、3、，那么以为边长的正方形的面积为（ ）.
x x A. 13 B. 5 C. 13或5 D. 4
5.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位mm ）计算
两圆孔中心A 和B 的距离为 mm.
6.如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于D ，AC=20，BC=15，DB=9.
（1）求DC 的长；
（2）求AB 的长.
7.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边
形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH 等于（ ）.
A. 8
B. 6
C. 4
D. 5
8.如图，A ，B 是直线同侧的两点。

作点A 关于直线的对称点A′，连接A′B.若A ，B l l 到直线的距离分别为2和3，则线段AB 于线段A′B 之间的数量关系是（ ）.
l A. B.1322'=-AB B A 24
22'=-AB B A C. D.2522'=+AB B A 26
22'=+AB B A
9.如图，所有三角形都是直角三角形，所有正方形都是正方形，已知
，则
10,8,9,44321====S S S S
.
=S 10.有一只喜鹊在一棵3m 高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m 远的一棵大树上，大树高14m ，且巢离顶部1m ，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果飞行的速度为5m/s ，那它至少需要多长时间才能赶回巢中？（画出符合题意的示意图并求解）.
11.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D 、E,F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE=∠CBE.
（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明，若不相等，请说明理由；
（2）求证：.222EA GE BG =-。