中考数学 专题13 二次函数(知识点串讲)(解析版)
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(0 , 0) ������轴
������ > 0时,������随������的增大而减小;������ < 0时,������随������的增 大而增大;������ = 0时,������有最大值0.
1.(2019·辽宁中考模拟)下列关于二次函数 y 2x2 的说法正确的是( )
A.它的图象经过点( ‒ 1, ‒ 2) B.它的图象的对称轴是直线������ = 2
A.������ = (������ ‒ 1)(������ + 2)
C.������ = 1 ‒ 3������2 【答案】D 【详解】
y 1 x 12
B. 2
D. y 2 x 32 2x2
把每一个函数式整理为一般形式, A、������ = (������ ‒ 1)(������ + 2)=x2+x-2,是二次函数,正确;
B.y =‒ 2x + 1
C.y = x2 + 2
1
D.y = 2x ‒ 2
【答案】C
【详解】
根据二次函数的定义,形如y = ax2 + bx + c(其中 a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,所给函数
中是二次函数的是y
=
2
x
+
2。故选
C。
3.(2018·安徽中考模拟)下列函数不属于二次函数的是( )
1
②y=������2,分母中含有自变量,不是二次函数; ③y=x(1−x)=−x2+x,是二次函数;
④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1,是二次函数.
二次函数共三个,
D.4 个
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故答案选 C.
2.(2013·湖南中考真题)下列函数是二次函数的是( )
A.y = 2x + 1
开口方
对称
������的符号
顶点坐标
向
轴
性质
������ > 0
向上
(0 , 0) ������轴
������ > 0时,������随������的增大而增大;������ < 0时,������随������的增 大而减小;������ = 0时,������有最小值0.
������ < 0
向下
1
2.(2019·山东中考模拟)给出下列函数:①y=2x﹣3;②y=������;③y=2x2;④y=﹣3x+1.上述函数中符合
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条件“当 x>0 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小”的是( )
A.①③
B.③④
C.②④
D.②③
【答案】C
【详解】
①y=2x﹣2,当 x>0 时,函数值 y 随自变量 x 增大而增大,故此选项错误;
A.y=2(x﹣1)
B.y=(x﹣1)2﹣x2 C.y=a(x﹣1)2
D.y=2x2﹣1
【答案】D
【详解】
A、y=2x﹣2,是一次函数, B、y=(x﹣1)2﹣x2=﹣2x+1,是一次函数, C、当 a=0 时,y=a(x﹣1)2 不是二次函数, D、y=2x2﹣1 是二次函数.
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故选 D. 考查题型一 待定系数法求二次函数解析式 1.(2018·广东中考模拟)二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值如下表:
������ < 0
向下
(0 , ������) ������轴
������ > 0时,������随������的增大而减小;������ < 0时,������随������的增 大而增大;������ = 0时,������有最大值������.
1.(2013·江苏中考模拟)关于二次函数 y=2x2+3,下列说法中正确的是 ( )
【思维导图】
专题 13 二次函数
考点总结
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【知识要点】
知识点一 二次函数的概念 概念:一般地,形如������ = ������������2 + ������������ + ������(������ , ������ , ������是常数,������ ≠ 0)的函数,叫做二次函数。 注意:二次项系数������ ≠ 0,而������ , ������可以为零. 二次函数������ = ������������������ + ������������ + ������的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2. ⑵ ������ ,������ ,������是常数,������是二次项系数,������是一次项系数,������是常数项.
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解得 m=0 或 m=1 又∵m﹣1≠0 即 m≠1; ∴当 m=0 时,这个函数是一次函数; (2)根据二次函数的定义,得:m2﹣m≠0 解得 m1≠0,m2≠1 ∴当 m1≠0,m2≠1 时,这个函数是二次函数. 知识点 2:二次函数的图象和性质(重点) 二次函数的基本表现形式: ①������ = ������������2;②������ = ������������2 + ������;③������ = ������(������ ‒ ℎ)2;④������ = ������(������ ‒ ℎ)2 + ������;⑤������ = ������������2 + ������������ + ������. 第一种:二次函数������ = ������������������的性质(最基础)
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
…
y
…
4
0
-2
-2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A.抛物线的开口向下
B.当 x>-3 时,y 随 x 的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2
5
D.抛物线的对称轴是直线 x=-2
【答案】D
【详解】
将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数 y=ax2+bx+c 中,
C.当 x 0 时,������随������的增大而减小
D.当������ = 0时,������有最大值为 0 【答案】C 【详解】 A. 它的图象经过点( ‒ 1,2),A 错误; B. 它的图象的对称轴是直线������ = 0,B 错误; C. 当������ < 0时,������随������的增大而减小,正确; D. 当������ = 0时,������有最小值为 0,D 错误.
{ { 0 = 16������ ‒ 4������ + ������
������ = 1
得: 0 = ������ ‒ ������ + ������ ,解得: ������ = 5,
4 = ������
������ = 4
∴二次函数的解析式为 y=x ²+5x+4.
A. a=1>0,抛物线开口向上,A 不正确;
如下表:
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
那么关于它的图象,下列判断正确的是( ) A.开口向上 B.与 x 轴的另一个交点是(3,0)
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C.与 y 轴交于负半轴 D.在直线 x=1 的左侧部分是下降的 【答案】B 【详解】 A、由表格知,抛物线的顶点坐标是(1,4).故设抛物线解析式为 y=a(x﹣1)2+4. 将(﹣1,0)代入,得 a(﹣1﹣1)2+4=0, 解得 a=﹣2. ∵a=﹣2<0, ∴抛物线的开口方向向下, 故本选项错误; B、抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣1,0),对称轴是 x=1,则抛物线与 x 轴的另一个交点是(3,0),故本 选项正确; C、由表格知,抛物线与 y 轴的交点坐标是(0,3),即与 y 轴交于正半轴,故本选项错误; D、抛物线开口方向向下,对称轴为 x=1,则在直线 x=1 的左侧部分是上升的,故本选项错误; 故选:B. 考查题型二 根据二次函数的定义求参数值 1.(2012·山东中考真题)抛物线y = ax2 + bx ‒ 3经过点(2,4),则代数式8a + 4b + 1的值为( ) A.3 B.9 C.15 D. ‒ 15 【答案】C 【详解】 ∵抛物线y = ax2 + bx ‒ 3经过点(2,4),∴4 = 4a + 2b ‒ 3,即4a + 2b = 7。 ∴8a + 4b + 1 = 2(4a + 2b) + 1 = 2 × 7 + 1 = 15。故选 C。 2.(2018·安徽中考模拟)已知函数 y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1. (1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; (2)若这个函数是二次函数,则 m 的值应怎样? 【答案】(1)、m=0;(2)、m≠0 且 m≠1. 【详解】 解:(1)根据一次函数的定义,得:m2﹣m=0
其中正确的个数有( )
A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个
【答案】B
【详解】
①∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故本小题错误;
������ 5
5
B. −2������=−2,当 x⩾−2时,y 随 x 的增大而增大,B 不正确;
59
9
C. y=x²+5x+4=(x+2) ²−4,二次函数的最小值是−4,C 不正确;
������ 5
5
D. −2������=−2,抛物线的对称轴是 x=−2,D 正确.
故选 D.
2.(2018·上海中考模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值
C.抛物线的对称轴是直线������ =1
D.抛物线经过点(2,3)
【答案】B
【详解】
A、a=2,则抛物线 y=2x2-3 的开口向上,所以 A 选项错误;
B、当 y=0 时,2x2-3=0,此方程有两个不相等的实数解,即抛物线与 x 轴有两个交点,所以 B 选项正确;
C、抛物线的对称轴为直线 x=0,所以 C 选项错误;
1
②y=������,当 x>0 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项正确;
③y=2x2,当 x>0 时,函数值 y 随自变量 x 增大而增大,故此选项错误;
④y=﹣3x,当 x>0 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项正确;
故选 C. 第二种:二次函数������ = ������������������ + ������的性质
1.(2017·甘肃中考模拟)下列函数中,是二次函数的有( )
①������ = 1 ‒
2������2②������
=
1
������2③������
=
������(1
‒
������)④������
=
(1
‒
2������)(1
+
2������)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
【答案】C
【详解】
①y=1− 2x2=− 2x2+1,是二次函数;
B、
12
1
1
=2x2+x+2,是二次函数,正确;
C、������ = 1 ‒ 3������2,是二次函数,正确;
D、 y 2 x 32 2x2 =2x2+12x+18-2x2=12x+18,这是一个一次函数,不是二次函数,
故选 D.
4.(2018·上海中考模拟)下列函数中是二次函数的是( )
A.它的开口方向是向下 B.当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小
C.它的顶点坐标是(2,3) D.当 x=0 时,y 有最大值是 3
【答案】B
【详解】
A、∵a=2>0,故它的开口方向是向上,故此选项错误;
B、在 y 轴左侧,y 随 x 的增大而减小,故当 x<﹣1 时,y 随 x 的增大而减小,正确;
C、它的顶点坐标是(0,3),故此选项错误;
D、当 x=0 时,y 有最小值是 3,故此选项错误;
故选:B. 2.(2017·黑龙江中考模拟)二次函数������ = 2������2 ‒ 3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是
()
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A.抛物线开口向下
B.抛物线与������轴有两个交点
D、当 x=2 时,y=2×4-3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以 D 选项错误,
故选 B.
3.(2019·山东中考真题)已知抛物线 y=-x2+1,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与 x 轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是 y 轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到的.
开口方
������的符号 向
顶点坐 标
对称 轴
性质
������ > 0
向上
(0 , ������) ������轴
������ > 0时,������随������的增大而增大;������ < 0时,������随������的增 大而减小;������ = 0时,������有最小值������.