2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-6

［命题报告·教师用书独具]
考查知识点及角度
题号及难度
基础中档稍难
指数幂的化简求值1、6
指数函数的图象与性
质2、3、
5
4、8、9、
10、11
12
指数函数的应用7
一、选择题
1．化简错误!的结果是（）
A．－错误!B。

错误!
C．－错误!D。

错误!
解析：依题意知x〈0，∴错误!＝－错误!＝－错误!。

答案:A
2．(2013年杭州模拟)函数y＝a｜x｜(a＞1)的图象是( ）
解析：y＝a｜x｜＝错误!当x≥0时，与指数函数y＝a x(a＞1)的图象相同；当x＜0时,y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称，由此判断B 正确．
答案：B
3．(2013年西安模拟）已知a＝错误!，函数f(x)＝a x,若实数m，n 满足f(m）＞f(n),则m、n的关系为( )
A．m＋n＜0 B．m＋n＞0
C．m＞n D．m＜n
解析：∵0＜错误!＜1，
∴f(x）＝a x＝错误!x,且f(x)在R上单调递减，
又∵f(m）＞f（n）,∴m＜n，故选D。

答案:D
4．（2013年宁化质检)当x＞0时,函数f（x)＝(a2－1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A．1＜|a|＜2 B．|a｜＜1
C．｜a|＞错误!D．|a|＜错误!
解析：∵x＞0时，f(x）＝(a2－1)x的值总大于1，
∴a2－1＞1，即a2>2.
∴｜a｜＞错误!。

答案：C
5．(2013年河源模拟）函数y＝｜2x－1|在区间（k－1，k＋1）上不单调，则k的取值范围是( )
A．(－1,＋∞) B．(－∞,1）
C．(－1，1) D．(0，2)
解析：由于函数y＝|2x－1｜在（－∞,0)上递减，在(0，＋∞）上递增,而函数在区间（k－1，k＋1）上不单调，
所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k〈1.故选C。

答案：C
二、填空题
6。

错误!－错误!×错误!0＋8错误!×错误!－错误!＝________。

解析：原式＝错误!错误!×1＋2错误!×2错误!－错误!错误!＝2.
答案:2
7．若函数f(x）＝a x－1(a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
解析：当a＞1时，x∈［0,2］，y∈［0，a2－1]．
因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝错误!.
当0＜a＜1时，x∈［0，2］，y∈［a2－1,0]．
此时，定义域和值域不一致，故此时无解．
答案：错误!
8．已知f(x）＝错误!x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g（x），则g(x)的表达式为________．
解析:设y＝g(x)上任意一点P(x，y），
P(x,y）关于x＝1的对称点P′(2－x，y）在f(x)＝错误!x上,
∴y＝错误!2－x＝3x－2。

答案：g（x）＝3x－2
9．（2013年太原模拟)函数f（x)＝错误!若关于x的方程2f2（x）－(2a＋3）f(x）＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是________．
解析：由2f2(x)－(2a＋3)f（x)＋3a＝0得f(x）＝错误!或f（x）＝a。

由已知画出函数f（x)的大致图象，结合图象不难得知，要使关于x 的方程2f2（x）－(2a＋3）f(x）＋3a＝0有五个不同的实数解，即要使函数y＝f(x）的图象与直线y＝错误!，y＝a共有五个不同的交点，结合图形分析不难得出，a的取值范围是错误!∪错误!。

答案：错误!∪错误!
三、解答题
10．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1，1］上的最大值是14，求a的值．
解析：令t＝a x（a〉0且a≠1），
则原函数化为y＝(t＋1）2－2（t>0)．
①当0〈a<1时，x∈[－1,1]，t＝a x∈错误!，
此时f（t）在错误!上为增函数．
所以f（t)max＝f错误!＝错误!2－2＝14.
所以错误!2＝16，所以a＝－错误!或a＝错误!.
又因为a〉0,所以a＝错误!。

②当a〉1时，x∈[－1，1]，t＝a x∈错误!，
此时f(t)在错误!上是增函数．
所以f（t）max＝f（a）＝(a＋1）2－2＝14，
解得a＝3（a＝－5舍去）．综上得a＝错误!或3。

11．已知函数f(x）＝3x，f(a＋2)＝18,g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为［0，1］．
（1）求a的值；
（2)若函数g（x）在区间［0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．
解析：解法一（1）由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32。

(2）此时g(x）＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1,因为g（x)在区间［0,1]上是单调递减函数，所以g(x1）－g（x2)＝(2x1－2x2）（λ－2x2－2x1）>0恒成立，
即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.
解法二(1）由已知得
3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.
（2）此时g（x）＝λ·2x－4x,
因为g(x）在区间［0,1]上是单调减函数，
所以有g′（x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝2x ln 2·（－2·2x＋λ）≤0成立，所以只需λ≤2·2x恒成立．
所以实数λ的取值范围是λ≤2.
12．(能力提升)已知函数f（x)＝错误!ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2）．
（1)求a的值；
（2)若g（x)＝4－x－2，且g(x）＝f（x)，求满足条件的x的值．解析：（1)由已知得错误!－a＝2,解得a＝1。

(2）由（1）知f（x)＝错误!x，又g（x)＝f(x)，则4－x－2＝错误!x，即错误!x－错误!x－2＝0，
即错误!2－错误!x－2＝0,
令错误!x＝t,则t2－t－2＝0,即(t－2)（t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即错误!x＝2,解得x＝－1.
[因材施教·学生备选练习]
1．已知函数f（x）＝错误!｜x－2｜,若f(0）＝错误!,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A．[2，＋∞）B．(－∞，2］
C．［－2,＋∞) D．（－∞，－2］
解析:因为f（0）＝错误!，所以错误!2＝错误!,
因此a＝2，所以f(x)＝错误!|x－2｜，
由于函数y＝|x－2|在［2,＋∞）上单调递增,
由复合函数的“同增异减"可知f(x）在［2，＋∞）上单调递减，故选A.
答案：A
2．若曲线｜y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点,则b的取值范围为________．
解析：画出曲线｜y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示
由图象可得｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈［－1,1］．
答案：［－1，1］
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