2021年浙江省台州市中心中学高三数学理模拟试题含解析

2021年浙江省台州市中心中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=( )
A．14 B．16 C．18 D．20
参考答案：
D
如下图所示，设，则.由抛物线的定义知，.易知
，所以.选D.
2. 已知向量，满足|+|=||=||，则向量与+夹角的余弦值为（）
A．B．﹣C．0 D．1
参考答案：
A
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得，即，再由已知||=||，可得向量与+夹角为，夹角的余弦值为．
【解答】解：由|+|=||=||，得：
，即，
解得：，
∵||=||，且，
∴向量与+夹角为，夹角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．
3. 已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上一点，，则的最小值为（）
A．B． C．4 D．
参考答案：
D
设椭圆的右焦点为，
由，则，
根据椭圆的定义可得，
所以
4. 设抛物线的准线为，点在抛物线上，且在第一象限内，若圆与相切，在轴上截得的线段长为6，则圆的标准方程为（）
A．B．
C. D．
参考答案：
C
5. 各项均不为零的等差数列中，若,则（）A． B．
C． D．
参考答案：
D
试题分析：由题设可得,解之得,故
,应选D.
考点：等差数列的通项及性质的运用.
6. 已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，
，.若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为
（）
A．1 B．2 C．4
D．8
参考答案：
D
7. 函数f（x）=的定义域为（）
A．（﹣1，1] B．（﹣1，0）∪（0，1] C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）
参考答案：
B
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
分析：由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．解：要使原函数有意义，则，解得：﹣1＜x≤1，且x≠0．
∴函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，1]．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．
8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框中应填入的条件是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
9. 已知l1，l2分别是函数图像上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）
A．(0,1) B．(0,2) C. (0,+∞) D．(1,+∞)
参考答案：
A
由题意得．设，由导数的几何意义可得切线的斜率分别为，
由条件可得，所以，故．
又切线的方程为，切线的方程为，即
，在两切线方程中，分别令可得切线与y轴的交点分别为
，故．
由，可得点．
∴（由于，故等号不成立）．
∴的面积的取值范围是
．选A ．
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，满足约束条件，则的取值范围为
．
参考答案：
12. 如图，AB 为的直径，C 为上一点,AP 和过C 的切线互相垂直，垂足为P ，过B 的切线交过C 的切线于T ，PB 交
于Q ，若
AB=4，则
.
参考答案： 3
13. 若复数满足
，其中i 是虚数单位，则复数的共轭复数为________.
参考答案：
解：
，则
，所以复数的共轭复数为
14. 若的方差为3，则的方差为 ．
参考答案： 27 略
15. 已知x >0，y >0，且，若x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________.
参考答案：
[－4,2] 【分析】
由，可得
展开，利用基本不等式可求得最小值，不等式等
价于
，据此求出
的取值范围即可.
【详解】由，可得，
而恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
解得， 故答案为：
.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题.
16. 已知实数满足
，下列五个关系式：①
②
③
④
⑤
，其中不可能成立的关系式
为 。

（填序号）
参考答案：
①④
17. 若存在实数满足，则实数的取值范围是________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知向量m=，n=，函数=m n.
（1）求函数的对称中心；
（2）在中，分别是角A,B,C的对边，且，，且，求的值．
参考答案：
（1），
………2分
. ………4分
令得,,∴函数的对称中心为
. ………5分
(2），，
C是三角形内角，∴即：………7分
即：．………9分
将代入可得：，解之得：或4,
，………11分
………12分
19. 已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.
（1）求的值；
（2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求
|AB|·|CD|的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）设，因为，所以设AB的方程为，代入抛物线方程得，所以为方程的解，从而，…3分
又因为，，因此，即，所以．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，得到交点．…9分
由点P在圆内得，又因为，，其中d为O到直线AB的距离．…11分
所以. 又的方程为
，所以
以，从而．
所以，当m=2时，．…15分
20. （本题满分13分）已知是正数，，，．
（Ⅰ）若成等差数列，比较与的大小；
（Ⅱ）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；
（Ⅲ）若，，（），且，，的整数部分分别是求
所有的值．
参考答案：
所以．
21. （本题满分16分）
已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数单调递增区间；
（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.
参考答案：
⑴因为函数，
所以，，…………………………………………2分
又因为，所以函数在点处的切线方程为．…………4分
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数，………………………………8分
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．………………………………………………10分
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，所以只要即可．……………………………………………12分又因为，，的变化情况如下表所示：
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值
，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．………………………………………14分所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．………………………………16分
22. 已知函数，
（1）若，求证：函数有极值；
（2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证：
参考答案：
解：（1）由得
∵∴且．
∴函数有两个零点，则可设为
∴若，则．
∴
有极值． （2）由，得， 记，则，
由函数与
的图象有两个相异交点知函数有两互异零点
若
单调递增，则
最多1个零点，矛盾．
∴．此时，令，则
．
列表：
∴
∴
．
略。