平面问题的有限单元法.ppt

5.3.3 单元分析 （略）
对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
vm
m
um
vvi
Vm
(a)
i ui m
Um
Vj
j
Uj
e
Vi
i Ui
(b)
结点位移
ui

vi

qe

u

v
j j

um

vm
• 结点力
•
平面应力问题
平面应变问题
y
平面
应力
问题
0
y
t/2
t/2
z x
ͼ 1-10
厚度为 t 的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且 不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于 薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均 有：
3) 对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的 边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于 相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点 在公共边界上位移的连续性。
• 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收 敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛 于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下 列条件：
Ui

Vi

ui*
vi*
uj*
vj*
um*
vm*

Uj Vj

Um
q* eTFe
Vm
28
根据虚功原理，得
q* eT Fe * T tdxdy
这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之 间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出：
此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对 称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的 位移，即 w = 0
因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平 面应变问题。
4
5.3 平面问题的有限单元法
有限单元法的概念 有限单元法的计算步骤 单元位移函数 单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 单元载荷移置 边界约束条件的处理
写成矩阵形式

ui uj


1 1
xi xj
um 1 xm
yi yj

aa12

ym a3
12
令 1 xi yi
1 x j
y
j


T
1 xm ym
T 2A
A为三角形单元的面积。
13
则
a1 a2 a3
• 令 S = DB，称为应力矩阵。
•有
Fe [B]T[D][B]tdxdyqe
•令
Ke [B]T[D][B]tdxdy
•则
Ke [B]T[D][B]tdxdy At[B]T [D][B]
At[Bi B j Bm ]T [Si S j Sm ]
•


有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求 解。
5.3.1 单元与结构离散化
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来 的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散 体。
一维问题 杆单元、梁单元
平面问题 三角形单元、四边形单元、曲边单元等
空间问题 四面体单元、六面体单元、曲面六面体单元等
ci xm xj 0
aj xmyi xi ym 0
bj ym yi 0
cj xi xm a
am xi yj xj yi a2
bm yi yj a
cm xj xi a
由三角形的面积
a2 A 2
1
1
x
Ni 2A( ai bi x ci y) a2 ( 0 ax 0) a
ui

vi


Ni

0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u


v
j j

um

vm
ui
qe


qi qj
qm



vi

u

v
j j

um

vm
由位移函数可知：当ui=1, uj=0, um=0 时，u = Ni； 当vi=1, vj=0, vm=0 时， v = Ni ，即函数Ni 表示了当节点 i 产生单位位移而节点j、m分别产生零位移时，单元产生
的位移分布形态。
19
形函数具有如下性质： 1）在节点上形函数的值有
2）在单元内任一点各形函数之和应等于1，即 Ni + Nj +Nm =1
这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点 荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安 置一个铰支座或相应的连杆支座。
• 单元划分的原则： • 1）各相邻单元体必须同边、同顶点； • 2）结构厚度或弹性常数突变处应作为单
元间的分界线； • 3）单元的大小主要根据计算精度和计算
（由例子可知）有限单元法的基本思路：
(1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 (2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线 性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。 (3) 将结点的位移与结点的力联系起来。 (4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。 (5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单 元中的应力。
Nm

1 2A(am
bmx
cmy)

1 a2
(
a2

ax
ay)

1
x a

y a
1
1
y
Nj 2A(aj bj x cj y) a2 (0 0 ay) a
x
[N]

a
0
0 x a
y a 0
0 y a
1
x a

y a
0
0

1

x a

y a
有限单元法的基本未知量是结点位移用结点的平衡方程来求531单元与结构离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散一维问题杆单元梁单元平面问题三角形单元四边形单元曲边单元等空间问题四面体单元六面体单元曲面六面体单元等这些单元在结点处用铰相连荷载也移置到结点上成为结点荷载

26
•任意虚设位移，结点位移与内部应变为
vuii**

q*
e

vujj**

vumm**

*


x*
y*


* xy

27
• 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为
T ui*Ui vi*Vi uj*Uj vj*Vj um*Um vm*Vm
abmm
ui uj

cmum
a4

a5
a6

1 2A
abii
ci
aj bj cj
abmm
vi vj

cmvm
u

1 2A
[(ai

bi
x

ci
y)ui

(a
j

b
j
x

c
j
y)u
j

(am bmx cm y)um]
v

1 2A
[(ai

bi
x

ci
y)vi

(a
j

b
j
x

c
j
y)v
j

(am bmx cmy)vm]
17
令
1 Ni 2A(ai bi x ci y)
（下标i，j，m 轮换）
简写为
d
u
v


Nqe
[N]称为形态矩阵，
Ni 称为位移的形态函数或 简称形函数或插值函数。
9
对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该 单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位 移模型、位移场。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，
u a1 a2x a3y a4x2 a5xy a6y2 ...
v b1 b2x b3y b4x2 b5xy b6y2 ...


1 2A
ai bi ci
aj bj cj
am ui
bm
u
j

cm um
同样，将垂直位移分量与结点坐标代入，可得
aa54

a6

1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm


vi vj
• (1) 位移模式必须在单元内连续，并且两相邻单元间 的公共边界上的位移必须协调；
• (2) 位移模式必须包括单元的刚体位移； • (3) 位移模式必须包含单元的常应变状态。
21
例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。
ai xj ym xmyj 0 bi yj ym a
机的运算速度确定。
8
5.3.2 单元位移函数 如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何
方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连 续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描 绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分 成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移 变化情况可近似地用简单函数来描绘。
d

u v

1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y

aa43

a5

a6
将水平位移分量和结点坐标代入
ui a1 a2 xi a3 yi
u j a1 a2 x j a3 y j
um a1 a2 xm a3 ym
Ui

Vi

Fe

U

V
j j

U
m

Vm
25
•
考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力
为：
•
Ui

Vi

•
F


Uj Vj

Um Vm

x

y

xy

cm vm
14
其中
ai

xj xm
yj ym
x j ym xm y j
1
bi

1
yj ym

ym
yj
1 ci 1
xj xm
xj
xm
(i, j, m)
15
最终确定六个待定系数
a1

a2
a3


1 2A
abii
ci
aj bj cj
平面应变问题
y
ͼ 1-11
0
x
一纵向(即Z向)很长，且沿 横截面不变的物体，受有平行 于横截面而且不沿长度变化的 面力和体力，如图1-11所示。
由于物体的纵向很长(在力学 上可近似地作为无限长考虑)， 截面尺寸与外力又不沿长度变 化；当以任一横截面为xy面，任 一纵线为Z轴时，则所有一切应 力分量、应变分量和位移分量 都不沿Z方向变化，它们都只是 x和y的函数。
31
把单元刚度方程写成分块矩阵的形式，有
Fi

F
j
e


kii k ji
kij k jj
kim k jm
e
qi

q
j
e
Fm kmi kmj kmm qm
单元刚度矩阵中某一子矩阵（或元素）k i j 的物理意义为：
当 j 节点产生单位位移而其它节点被完全约束时，在 i 节点处 产生的节点力。
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单元刚度矩阵的性质
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精 确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。
三结点三角形单元
位移函数如下：
u v

a1 a4

a2x a5x
aa36yy
所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标
的线性函数，位移模式很简单。
a1
a2

位移函数写成矩阵形式为：
ε * T (Bq* e)T q* eT[B]T
代入虚功方程
q* eT Fe q* eT [B]T tdxdy
Fe [B]T σtdxdy
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• 接上式，将应力用结点位移表示出 σ D B q e
kii k ji
kij k jj
kim k jm

kmi kmj kmm
30
Fe Keqe
由此，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， [K]e 称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元 的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决 定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的 位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。
5.2.3 两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，
任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间 力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑 所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果 所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊 外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题， 只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。